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L'analyse nous à démontré que l’are de chaîneite "cesse d’engendrer une surface de révolution minima, lorsqu'il s'étend depuis À jusqu’à D, et il est maintenant facile d’en trouver la raison. En diminuant très-peu et dans un même rapport le paramètre a et les distances CA, CD, CO, on détermine les trois points A, D',O", ainsique lanouvelle chaînette AD" ayant son sommet au-dessus de O’ et tangente aux droites CA, CD dans les points 4’, D’. D'après le théorème que nous venons de démontrer, Parc A'D' et la Higne brisée A’CD’ décriront aussi des surfaces de révolution égales. On pourrait done, sans altérer l'aire de Ja surface dà révolution, substituer à la chaînetie AD le polygone mixtiligne AA’ D'D; qui en différera aussi peu qu'on voudra, et en continuant ainsi on passerait par des déformations insensibles de la chaîneite AD à la ligne brisée ACD. On pourrait mème aller plus loin et substituer à ACD des courbes qui descendissent au-dessous de

n l'axe des x; l'intégrale proposée prendrait alers des élé-

ments négatifs et serait susceptible de diminuer sans limite.

Si le minimum analytique cesse d’avoir lieu pour l'arc de chainette AD, c’est parce qu’on peut la déformer d’une manière continue sans que la surface de révolution augmente, et non pas parce qu'il existe d’autres courbes d'union entre les points À et D qui donnent des surfaces plus petites. Pour l’arc de chaînette AB toutes les conditions analytiques du minimum sont remplies, quoiqu'il soit certain qu’on peut mener entre À et B une infinité de courbes qui, sous la condition de franchir l’axe des x, et quelquefois même sans cette condition, donnent pour l'intégrale proposée des valeurs plus petites. C’est qu'on ne saurait déformer l’arc AB par degrés insensibles sans que la surface de révolution augmente d’abord, sauf à diminuer-ensuite ; et tel est, à proprement parler, le caractère analytique du minimum. En général, dans le calcul.des variations, comme dans le calcul différentiel, le maximum ou le minimum analytique n’est pas toujours la plus grande ou la plus petite de toutes les valeurs possibles, et il peut y avoir quelquefois plusieurs maxima ou minima,

ProBzème IV.

106. Parmi toutes les courbes de méme longueur, trouver celle qui par sa révolution autour d’un axe donné engendre la plus grande ou la plus petite surface.

Prenons l’axe de révolution pour axe des-x. La longueur de la courbe et la surface engendrée par sa révolution étant respectivement

JVi+ y" dx “et or fyVi+ y DE le problème se ramène à chercher le maximum où mimimum absolu de l'intégrale

Xe Î (y—c) Vi+y"° dx,

dans laquelle c est une constante dont on disposera pour donner à la courbe la longueur assignée. Ici :