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révolution autour de cet axe soit un minimum. Prenons
sur cet axe un point C également distant de À et de B, et menons les droites CM, CN, faisant l’une et l’autre un angle de 56° 28' avec l’axe XX: Cela posé, le problème de minimum n'aura pas de solution si les points A, B se trouvent en dehors de l’angle MON. Lorsqu'ils sont compris dans cet angle, la courbe cherchée est une chaïnette tangente aux deux droïtes CM, CN. Or, par les points A, B on peut évidemment faire passer deux chaînettes distinctes MABN, AM/N'B, tangentes l’une et l’autre à ces droites. Sur la première les points de contact M, N se trouvent au delà des points A, B; sur la seconde, au contraire, les points de contact M’, N’ sont compris entre À et B. C’est la première chaïînette qui donne seule la solution du problème.
On comprend d’ailleurs facilement pourquoi la At nette AM'N'B ne peut pas être la courbe cherchée; car, en admettant qu’elle donnät le minimum, et en prenant sur elle deux points a, b au-dessous de M’, N’et à des distances égales de l’axe XX’, ce ne serait plus l’arc ab, mais la nouvelle chaînette amnb qui donnerait le minimum, et ainsi de suite.
105. Nous ajouterons encore quelques considérations géométriques qui serviront à répandre une nouvelle lumière sur les résultats de cette discussion. La différentielle de l’aire U engendrée par la révolution de la chaînette étant
dU = 277 Vi+y" dx,
si l’on exprime dx par dy et qu’on élimine Vr +7"? au moyen de l’équation (1), on aura
27 y? dy
Er
212 GALCUL, DES VARIATIONS.
et en intégrant
U—=r\y Vr— a + a°l
Si l'aire U et les abscisses x sont comptées à partir du cercle engendré par la plus petite ordonnée y = a, cette
expression deviendra
U=r(yVy—a +ax)=ra(yy +x),
+, Y. Étant les coordonnées de l'extrémité de l'arc. Si par le point x, y ou D (/g. 3) on mène une tangente à la chaînette, la partie de cette tangente comprise entre la
: courbe et l'axe, ou la droite DC, sera
D V ER ( / à | NTM TRS
et la surface conique engendrée par cette droite
K—7#+ra (+5).
La différence des deux surfaces engendrées par l'arc PD
et la tangente CD est donc
U—K—Tra (:-2)= ra.OC., y
En désignant par UÜ,, K, les surfaces engendrées par l'arc
AP et par la tangente AC, on trouve de même EX RE K, =" ra.OC:
Ajoutant & transposant, il vient
CAAU+UI=K+K.
vi # » « co Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
Si par un point C pris sur la directrice d’une chat-
J'EN TEA + const.
nette on mène deux tangentes CA, CD à la chaïnette, l'arc AD et la ligne brisée ACD décriront des surfaces
égales en tournant autour de la directrice.
dE Fig A.
