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a et bétant des constantes arbitraires. La courbe est donc

encore une chainette, dont la directrice, parallèle à l’axe

de révolution, est située à une distance égale à la valeur

numérique de c, au-dessus ou au-dessous de cet axe,

suivant que c est positif ou négatif.

Lorsque les points extrèmes sont fixes, on détermine les constantes a, b, c par les conditions que la chainette doit passer par ces points et avoir une longueur donnée. Or, il est en général possible de satisfaire à ces conditions, de deux manières différentes, ou par deux chaînettes dont l’une tourne sa concavité et l’autre sa convexité vers l’axe de révolution. La première chaïinette

donne la plus grande, | la seconde la plus petite surface de révolution, puisque — c, et par conséquent la dé-

rivée seconde d'V Y —cC dy"? =.

(1+y re

reste, entre les limites de l'intégrale, constamment négative si la courbe est concave, et constamment positive si la courbe est convexe vers l’axe des x, pourvu toutefois que dans lesecond cas la chainette n’atieigne pas l’axe de révolution.

Admettons maintenant que les points extrêmes ne soient pas fixes, mais qu'ils puissent se déplacer sur deux courbes Los soit y — f(x) l’équation de l’une ou Vautre-de ces courbes, on aura pour l'extrémité située sur cette courbe

V—{y'—f{(x)]P;=o, ou 1+7'f(x) =o.

Une équation semblable aura lieu pour la seconde extré-

mité, et l’on en conclura que la chaïînette doit couper normalement chacune des courbes limites données.