PROBLEME V

107. Parmi toutes les courbes de méme longueur, trouver celle qui, par sa révolution autour d'un axe donné, engendre le plus grand ou le plus petit volume.

Prenons l’axe de révolution pour axe des x. L’expression de l’arc étant f ÿ1 + y” dx, et celle du volume ensendré par sa révolution tr fy* dx, le problème revient à chercher le maximum ou le minimum absolu de l’inté-

grale J (2 — aVi+y?)dx.

On a LE LPPTE PRES LEE AE AN A OT EN A | | bi

EP id

Puisque V ne renferme pas la variable indépendante x, on peut immédiatement abaisser d’une unité l’ordre de c sm NE à 2 dP Ne é l'équation indéfinie P — ——— 0, en écrivant à sa place q Fe , V—P,y—c (n° 61). Substituant alors à V et à P,

leurs valeurs, on trouve.

c’est l'équation différentielle de la courbe élastique. Son intégrale en æ et y ne peut pas être obtenue sous forme finie; mais en différentiant l'équation (1) et désignant par p le rayon de courbure, on trouve

f/ 5 [41 € 27 — De Te PTE OÙ p— —.

(Gi+y")s À La ligne qui parmi toutes les courbes de mème longueur engendre le plus grand ou le plus petit solide de révolution, est donc caractérisée par cette propriété qu’en chaque point son rayon de courbure est en raison inverse de l’ordonnée.

# Les points extrèmes dela Éoure peuvent être fixes ou ôbiles sur des lignes données. Dans l’un et l’autre cas, les constantes arbitraires seront déterminées d’une ma-

nière analogue à celle que l’on a suivie dans les exemples

précédents.

La dérivée seconde d?V ts — à HU, CANNES «A (+ y)

dont le signe dépend uniquement de celui de la constante

a, montre qu'il faut prendre a positif pour obtenir le maximum, négatif pour obtenir le minimum de volume.