L'équation différentielle du premier ordre

dy = (ajr* -h bx") dx,

connue sous le nom d'équation de Riccatij a été l'objet des recherches d'un grand nombre de géomètres qui ont trouvé un nombre indéfini de cas dans lesquels l'intégration devient possible, en ce sens que l'intégrale générale peut être exprimée a l'aide des seuls signes algébriques , exponentiels et logarithmiques , et du signe f de l'intégration indéfinie, ou, plus simplement, en ce sens qu'elle peut être ramenée à une équation dans laquelle les variables sont séparées.

Le plus simple de ces cas est celui oùm = o; alors, en effet , on a immédiatement

dy l rV^â

dx = -, -, x = — — = arc tang - — -= -+- C.

* + V \/Ta b l/î

Posons y = -s", on aura dy = nzn^idz9 et , en substituant dans l'équation de Riccati , nzP~*dz = az*"dx -h bxmdx\

TRENTE-UNIÈME LEÇOH. 4^9

cette équation, transformée sera homogène, et «par conséquent intégrable , si Ton a

n — i = an = m, ou n =2 — i, m = — a,

et deviendra x%dz 4- ba*dx 4- ax*dx = o.

Après avoir considéré ces deux cas particuliers, passons à la recherche générale des cas d'intégrabilité. Pour arriver plus vite au but, posons^ = — f 1 — - J , d'où

*"""«• **~*""P~' ^-ÔW + o*.34"**'

Substituant ces valeurs dans l'équation N

dy — (ay% 4- bx")dx =0, il viendra %. toutes réductions faites,,

x*dz = — baf^^dx — azjdx^

ou , en faisant x = - , d* = (az% 4- burm-k)>dn.

Cela posé , si l'équation de Riccati est intégrable dans le sens que nous avons dit pour une certaine valeur p. de m, elle le sera encore lorsqu'on fera m = — jm — 4 ? car> en substituant pour m cette valeur dans l'équation transformée

dz = (<w? 4- *«r*"*) «/«,

elle devient

efe = (ûz* -h io«a) du,

qui , par hypothèse , est séparable. Or nous avons vu que l'équation de Riccati est séparable -lorsque m = o ; elle le sera donc aussi lorsque m = — 4* Reprenons l'équation

dy = (qy* 4 *«") <*r,

4jO CJLLCVL IHTÉGAàl..

et faisons/ = — ^ d'où ây = -, 3 tiendra

<& = bz%JtPdx -h <*<**, et en posant xm+1 = a, xrdx = ,

«fc = rtH a «te;

m-f- i ft-M

donc, si r équation de Riccati est intégrable pour une valeur m = /x, elle le sera encore pour m = -— $car,

en substituaut cette valeur dans l'exposant , il se

réduit à fx. Or nous avons démontré qu'elle était sépa~ rable et intégrable pour m = — 4 > elle le sera donc encore pour m = , = — {. Puisqu'elle sera intégrable pour m = — | , elle le sera encore pour

et par conséquent aussi pour m = a = — {.En

continuant ce calcul, qui repose sur ce théorème que, si r équation est intégrable lorsque m = jx, elle l'est encore

lorsque m = — fx — 4, et th = — ^^— , on en conclura que

l'équation de Riccati est intégrable lorsque l'exposant de la variable x est égal à l'un des termes de la suite infinie

(a) o, -19, -4, -1, -{, -j, -V, -if, -V,.«,

dont le terme général, à partir du troisième terme, est — — — . fci Ion lait tour a tour n = o et n = oo, ce

2« ip I 7

TREHTE-UW1ÈME LEÇON. £jl

terme général donnera les deux premiers termes de la série o et — a.

188. Considérons comme cas particulier l'équation dy = y%dx -f- xr — *dx;

l'exposant de x étant — |, qui est le cinquième terme de la série , nous sommes surs que l'équation donnée est se* parable, et parce que l'exposant — f occupe une place impaire dans cette série 9 nous comparerons la proposée avec l'équation/fe = (az% -+- burm~*)du, ce qui nous donne

substituant dans l'équation dy = (a jr* + bxm) dx , il vient

dyt = y\dxx -+- ajf,"~ **&?,.

Comparant cette dernière équation avec la transformée

rfi =r a'aa H « du ,

ou trouvera

/w-f-i ' m 4- i '/it-4-i 3*

d'où a = — 6, 4 = — 3, m = — 4 5 substituantde nouveau dans la formule dy = (ay* + bxm)dxJ on aura

dy% = — 6y\dx> — *7<dr„ équation qu'il faudra comparer de nouveau à

dz = b (az* -+- a"*"4) du, ce qui donnera a = — 6, b = — 3, m =o. Substituant dans l'équation dy = (a>'f -f- bxm)dx, on aura

rfr3= — 3<k?3 — 6/î<£rjf ou i ./?„*=— d***

fyj% CALCUL INTÉGRAL.

équation dont l'intégrale est

arc \wa%yi\/% -+- C.

Mais en remontant des valeurs de xt et de y% à celles de x et de y y on trouve

**=Zï» *» = - — » x«==;^

Jl — £ j

d'où

substituant ces valeurs de x9 et de jrt , on aura définitivement pour l'intégrale demandée

-5 — =-5— arc tang - — "*~ ^

l/i ]/2 3l/i(i -h xy) )/x

Cet exemple indiquera suffisamment la marche qu'il faudra suivre dans chaque cas particulier. Si l'exposant de X% dans l'équation proposée, est égal à l'un des nombre» occupant une place impaire de la série (a), il faudra la comparer d'abord avec l'équation

dz = b(az% -f- urm~*)du,

pour déterminer les valeurs des constantes a, 6, valeur» que l'on substituera dans l'équation

dy = {ay% -+- b*F)dx.

TRSHTE-UHIÈMB UÇOK. 4j#

On aura ainsi une nouvelle équation qu'il faudra comparer à la formule

dz = z**fa H u du ;

les nouvelles valeurs des constantes substituées dans

dy = (tfj* -+- baf*)dx,

conduiront A une nouvelle transformée qu'on comparera à

dz sss 4(a«» -f- uTr-^du,

et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on parvienne à une équation dans laquelle l'exposant de x , qui a diminué de valeur à chaque opération, se trouve enfin 05 alors on n'a

dv

plus qu'à intégrer l'équation séparée dx = , . .

Si l'exposant de x dans la proposée était un des termes occupant une place impaire dans la série (a) , on commencerait par la comparer avec l'équation

dz = «»<*« -h a da,

et Ton continuerait à opérer comme précédemment.

189. Les cas d'intégrabilité , ou les cas dans lesquels les variables de l'équation de Riceati, peuvent être séparées, sont donc très-limités; on les a obtenus par des artifices particuliers , et la méthode qui les a fait connaître ne prouve pas qu'ils soient les seuls possibles. M. Liouville a démontré le premier, par une analyse exacte, qu'ils sont en effet les seuls admissibles quand , pour exprimer y en x, on se borne à introduire dans le calcul les signes algébriques, exponentielles et logarithmiques,

474 CALCUL IHTÉamAL.

et le signe/ d'intégration indéfinie relatif à la variable x: il nous est impossible de donner même une idée dé la marche qu'il a suivie. Dans ses savants Mémoires sur la classification des fonctions , cette même méthode Tarait conduit à la solution d'un grand nombre de questions jusque-là vraiment inabordables.

Toute équation différentielle de la forme

dy = by*x*dx -f- axPdx,

dans laquelle n représente un nombre quelconque différent de l'unité, pourra être ramenée à l'équation de Riccati. En effet, posons ofdx = dz, d'où

=rz, * = [(*-4-l)*f'

3 » H- idz "+L

en substituant ces valeurs, on arrivera immédiatement i la transformée

n —m n— m dy=za [n -H \)n + lz n + ldz + by'dz.

On peut encore essayer de réduire à l'équation de Riccati l'équation a quatre termes

ay = ay%dx -f- byxmdx -f- cx*dx.

Pour cela , posons j* = z -f- aocT, a et r étant deux quantités constantes et indéterminées; on en tirera

dy = dz -+■ ruaf'dx, dz = — mxr~ldx 4- ai*dx -f- iaz*xrdx -f- a**x*rtlx

-4- bzxndx -f- bMX*+rdx -h cx"<£x.

Pn pourra rendre homogènes les premier , quatrième et

TREHTE-UHlàME LEÇOH. 4?5

sixième termes, en posant

r — i = ar = r -+- a, ou r = — i, ji = — i; on a alors l'équation

Les deux premiers termes s'évanouiront et la transformée coïncidera avec l'équation de Riccati , si Ton a

*«* -4- b* -+- « = of aa« -H & = o, d'où

a aa 2

et il en résulte que les équations à quatre termes, de la forme

dy = ay*d# £-£ -f- c&*dxf

peuvent se transformer en l'équation de Riccati. En faisant, dans l'équation

dy = aytxmdx -f- by&dx -4- acPdx,

jPdx = dz9 d'où x^1 = (m -4- i)*, ii — m n — m

«•«&=(«+ if+>,» + ,AI

on la ramène à la forme

P" m p-rm n —m H—m

dy = ay*dz -f- <?(iw -f- i J*"*-1* m"+-I<fe -f-6(*i-f- \)m+lyz m'hld3x que l'on pourra réduire à l'équation de Riccati si l'on ^

ou

et par conséquent si l'équation proposée est

dy = ay%x a dx -f- byx~ldx -+- cxFd*.

Cette dernière , en effet , se ramène a l'équation de Riccati , en posant

dx , i

P •+■ a 7 ' os

Enfin , si dans l'équation de Riccati on pose

1 A fc A

r=--x» ab = — A>

<« rfr'

elle devient -7-7- = Aza^î cette dernière équation de-

dx vient à son tour

l*z in dz rf*« w(/i — 1)