PREMIÈRE LEÇON

Sifync de suhslitulion simple el double.— Expressions définies.— \'juial)loî principales et leurs limites. — ProprioU-s du sifjne de substitution. — Uéduclion dune expression définie <|uelconque à la forme d'une intéfjralc délinio.— r.lassinr.jlion des expressions d«Hlnies.— Notation svni-

f 1 . Dans le calcul des variations il arrivi; conslaninjcnt

i qu'une ou plusieurs variables qui entrent dans une fonc^ j . lion, doivent recevoir des valeurs spéciales, el si ce ( alciil a été longtemps arrêté dans ses développements, c'est qu'il manquait d'un signe pour bien exprimer cette pailicularisalion. On doit à M. Sarrus la première idée d'un semblable signe, idée que M. Caucliy a accueillie avec empressement, mais avec une modificalionbeureuse des nota- ; lions, que nous adopterons en les simplifiant encore. Le signe dont nous ferons usage etque nous appellerons 5/i,v7e desuhstihition, consiste en un trait incliné, placéen avant de la fonction, auqu(îl on accole la valeur parliculièrc IV. ,

'2 CALCUL DES VAhlATIOINS

qu'on doil donner à la variable. Ainsi

/ V, ou simplement / V,

exprimera ce que devient la fonction V, quand la variable X reçoit la valeur particulière Xj. Le même signe \ avec deux limites, l'une inférieure Xi , l'autre supérieure JTg,

/ V, ou simplement / V,

exprimera la dilférencc entre les résultats des deux sub- * stilulions x = Xj, .r = .r., dans la fonction \ , ou ce que l'on obtient quand, après avoir fait tour à tour dans cette fonction a: = x, , x=^ Xç, on rclrancbe le premioi- résultat du second-, de sorte que

Un signe de substitution donhlc, tel que / , pourra donc

toujours être décomposé en deux sigiuîs de substitution

simple, I (^^ I •

Nota. Dans renseignement oral il est bon (ju'on puiss<' désigner verbalement le signe ou l'acte de la substitution. Nous proposons en conséquence de: dire substitution,^ comme on àilsoniiuc, et suhstilution .r,, substitution j;, , ou substitution Xi, a\, comme on dit somme depuis .7, jus(|u'à .ï's, ou somme x,, x^.

Par suite de cette même notation étendue au cas de

plusieurs Nailables, / / V exprimera qu'il faut d'abord