SIGNE DE SUBSTITUTION

donner la valeur j-, à la variable/, et ensuite à la variablex la valeur a'i. De même la notation / / V signifie

qu'il faut i° remplacer tour à tour dans V la variable r par les valeurs j, et j,, et retrancher le premier résultat du second; 2*^ donner lour à tour à x, dans la différence ainsi obtenue, les valeurs a,', et a:,, et retrancher de nouveau les deux résultats l'un de l'autre, de sorte que

CMXM'

On aurait de même

: w'Hrp-iTMTp l w^HîP-mHi'p-

f Pour retrouver avec leurs signes les différents termes

k du second membre, il suffira de formel- le produit sym-

f bolique

[Mtr-mr-f

Ces deux exemphîs montrenl déjà la simpliljcalion considérable (ju'on peut tirer en certains cas de l'emploi des signes de substitution double.

2. Les substitutions simples ou doubles se mêlent souvent à des intégrations, quelles peuvent précéder ou

4 CALCUL DES VAUlATIONS.

suivre selon les circonstances. Ainsi / j ^cly indiquera qu'il faut d'abord intégrer ^dy entre les limites Ti et ^5 et remplacer ensuite x par Xi. Au contraire

1 / \ dx exige qu'on substitue d'abord j^, àj^ dans la

fonction V, et qu'on intègre ensuite le résultat multiplié par dx^ entre les limites .r, et x^. A la rigueur on devrait écrire

/ (b\ V au lieu de / / ydx;

mais par la même raison que dans les intégrales multiples on ne sépare pas les signes fj. . . par les différentielles dx^ dy^ etc., nous préférons la seconde manière d'écrire, où' les signes y et \ se succèdent immédiatement. Pour la justifier, s'il était nécessaire, on pourrait dire que la différentielle ^.r n'étant pas fonction i\^y^ n'est pas atteinte par les substilutions qu'on peut faire relativement à cette variable.

Pour ne laisser rien d'obscur, considérons encore la notation

Elle exige que l'on fasse d'abord dans la fonction V la substitution double relative à z\ qu'on intègre ensuite par rapport à y le résultat obtenu multiplié par dy^ et qu'on procède enfin à la substitution double relative à la variable x.

3. Une fonction à la(|uclle on a fait subir soit des intégrations entre certaines limites, soit des substitutions simples ou doubles, relatives aux variables dont elle dépend, s'appelle expression définie. Elle n'est plus

SIGKE DE SUBSTITUTION. 5

fonction de ces variables, que nous nommerons variables principales, el ne dépend que des paramètres ou constantes indéterminées qu'elle peut renfermer. Dans ce qui suit nous désignerons en général j)ar

les variables principales qui entrent dans la fonction donnée, par

les limilesL inférieures de ces variables, par

leurs limites supérieures, par y. un paramètre indéterminé^ et nous supposerons toujours, à moins que nous ne disions le contraire, que les substitutions et les intégrations ont lieu successivement par rapport aux variables » principales dans l'ordre inverse des letties x^y^ -s,. . . , ■y, t\ de sorte que la première opération soit nîlalive à t^ la dernière relative K x. Nous admettrons aussi que les limites x^ et x^ de x sont indépendantes de toutes les variables principales, tandis que les limites de j' pourront être fonctions de x^ (-elles de z fonctions de x et/, et ainsi de suite jusqu'à la variable /, dont les limites seiont en général fonctions de x, i , 2,..., s. Quant au païaniètre z, il pourra entrer non-seulement dans la fonction donnée V, mais aussi dans les valeurs limites de toutes les variables principales a:, y, ^,. . ., f, quoiqu'il doive être bien entendu ([ue ces variables elles-mêmes sont entièrement indépendantes l(;s unes des autres etde x.

•i. Vrop viciés (lu s/gFiej. — Le signe de substitution simple, ])lacé devant une fonction composée quelconqu(\ porte sur cbacun des élémcnits (pii entrent dans sa formation, i\c sorte qu'on a

De ce principe général on peut tirer plusieurs conséquences parmi lesquelles il nous suffira, pour le moment, de noter les deux suivantes :

I** Lorsque la somme algébrique de plusieurs fonctions est soumise à une ou plusieurs substitutions successives, simples ou doubles, on peut efiectuer séparément les substitutions indiquées dans chacune de ces fonctions et prendre la somme al«;ébrique des résultats ainsi obtenus. On aura, par exemple,

On pourrait énoncer cetle propriété en d\saini {jne la subslitiUion de la somme est égale à la somme des substitutions.

2" Lorsque le produit de plusieurs fonctions est soumis à une ou plusieurs substitutions simples, on peut effectuer séparément les substitutions indiquées dans chaque facteur et former le produit des résultats obtenus. On aura ainsi

Dans le cas de substitutions simples, la substitution du produit est égal au produit des substitutions.

Si la quantité qui se trouve engagée sous un signe de substitution simple, est constante, ou seulement indépendante de la variable à laquelle se rapporte la subslitulion indiquée, le signe / est sans ellet aucun et peut êlrc supprimé. On a évidemment

/ k — k, j k=:k, I kuz^k //, / ka = k u,

lorsque A est constant ou indépendant de x, et par suite

SIGWE DE SUBSTITUTIOIV. «

Les fadeurs constants restent en dehors des substitutions^ la substitution double d'une constante est nulle.

5. Lorsqu'une expression définie quelconque est soumise à une nouvelle substitution simple, au lieu de reffcctuerdans le résultat définitif de toutes les opérations indiquées par les signes f et /, rien n'empêclie de la faire séparément dans la fonction V et dans les limites de chacune des variables auxquelles se rapportent ces opérations. On pourrait même faire la substitution seulement dans quelques-unes des quantités V, ^i , /g ? -^i , ^2 j • • • , qui constituent l'expression définie proposée, mais alors on serait obligé de la renouveler à la fin du calcul.

Supposons, pour fixer les idées, que V contienne trois variables indépendantes x,y, z^ et qu'on veuille calculer

I I I ^^^O'i ^^^* ^^"'^' X = X, dans j / \dyy

expression qui est évidemment fonction de la seule variable X. Puisque cette variable x enlre dans la fonction \ ainsi que dans les limites 2,, z^^ Tn J^«i sans être atteinte ni parla substitution relative à 2, ni par lintégration relative à y, on arrivera au même but, en faisant séparément .i:zi=zXi dans. chacun des éléments \, ;:, , 2j,j^, ,^3, qui constituent, poui- aiiisi dire, l'expression doiniée. Mais il est évident (pie si Ton ne faisait .r = .Tj que dans cpiel- ({ues-nns de ces éléments, la variable r ne sciait pas ! complètement remplacée ; il fiudrail par conséquent

renonvel(M' la subslllulion .r = x, dans h? résultat obtenu. Ces raisonnements conduisent sans peine à la conclusion générale, que dans les expressions définies ou peut faire les substitutions simples autant de fois et à teli<* place qu'on veut, jxmrvn (pTen dernier lien on les fasse a

8 CALCUL DES VAlllATlOJSS, ^ .

la place ou dans l'ordre indiqué par la no la lion primitive. On aura par exemple identiquement

G. Ce même principe de la répéthioii des substitutions simples peut servir à réduire une expression définie à la forme d'une intégrale délinie toutes les fois que les substitutions qu'elle renferme sont simples. Il suffit en elfelpour cela d'efîecluer séparément les substitutions dans la fonction V et dans les limites des intégrations. Prenons pour exemple l'expression

frci'"'""''

V étant supposé fonction (les (juatre variables x,y, z^t. Si l'on elïectue les substitutions indiquées dans chacune des quantités V, Zj, /,, ) i,ya, et qu'on désigne respectivement par V, t', , /', , y\ , j',, les résultats de ces substitutions, de sorte que

r,— / / ^, /, =r/ / r, J.= / J'> ^'~\ •'''' l'expression proposée d(î^ iendra

et prendra ainsi la forme d'une intégrale définie. Ajoutons que, par suite des substitutions effectuées, V est fonction de Y et /^ /', et t\ sont fonctions de j, tandis que

siGKE de' substitution. g

Y\ ety\ sont constantes; de sorte que y et t sont les seules variables qui figurent réellement dans celte intégrale.

Si l'on ne tenait pas à rendre les substitutions visibles, on pourrait supprimer les signes jj et écrire simplement

I / .Yiitdx, au lieu de j j j j ^cfr^J»

en sous-entendant qu'on devrait faire préalablement z = Zi et X =:zXx dans celles des fonctions V, î,, f^îjKiîJTai qui dépendent des variables z et x.

Lorsque: l'expression donnée renfermera des substitutions doubles, on les décomposera d'abord en substitutions simples et l'on transformera séparément chaque terme du résultat, ce qui donnera une suite d'intégrales définies.

Une expression définie est invariable tant que les constantes indéterminées qu'elle renferme conservent des valeurs fixes. Mais si Tune de ces constantes /., devenue paramètre variable, change de valeur, l'expression définie variera elle-même, en tant que fonction de ce paramètre, et pourra être diiîérentiéc par rapport à lui. Le calcul des variations, comme nous le verrons dans la suite, se réduit en clfel à la recherche des dérivées des cxpiossions définies- il faut donc avant tout exposer les rèi^lcs générales de la difiérentiation de ce génie d'expressions, qui sont de (rois espèces : i*' (expressions définies par suhstitulioii^ ou qui lésultcnt uniquement de substitutions- 2" expressions définies par infêgralio/i^ on intégrales définies; 3" ex])ressions définies m/x^e.ç, ou qui résultent à la fois de substitutions et d'intégrations se succéd.int dans un <)rdi(î (pielconque.

7. Nous considérerons successivement ces trois espèces d'expressions définies et nous clLL^rcherons leurs dérivées relatives à un paramètre x, contenu tant dans la fonction

lO CALCUL DES VARIATIOINS.

donnée V que dans les limites des variables x^y^z^. , .^ t\ mais avant tout, pour simplifier les formules, qui sans cela deviendraient très-complexes, et pour leur donner toute la clarté, toute la symétrie possibles, nous ferons une nouvelle convention. Comme les variables x, j:, ;^', z,..., t sont indépendantes les unes des autres, on ne saurait attacher aucune idée aux quotients différentiels

Ty.-

dv."

Tr:'-

■' Ta:'

Tx'--

cependant nous ferons usage de ces symboles précédés d'un signe de substitution, et nous leur donnerons la significalion déterminée par les formules

T' c^x clx, r ' liy __ cIy, / ' ' dy dy ,

j d-A dy.^ j dy. d /. j d.r dx

r-- dx dx^ V' dj__cir^ Y' '!z . ^

/ dy~ dy.'' j dy dy j <lx dx

c\îst-n-dire que la dérivée de Tune quelconque des variables indépendantes a:, r, 2,..., ^ laquelle en elle-niénie n'a aucun sens, représentera j)our nous la dérivée de celle des limites inférieuic ou supérieure de celte même variable accolée au signe de substitution. Cette convention s'élen- <h'a également aux dérivées dos ordres supéricnirs.

11 n'est pas même nécessaire que le signe de substitution pré(;ède immédiatement la dérivée symbolique pour' <'n déterminer le sens; il pourrait en être sépaié jiai (rautres signes soit de substiluiion, soit d'intégration, on par un facteur, sans (jue la signilication de la dérivée cessât dètre déterminée.' C'est uih' conséquence naturelle du principe (\c la r('pétition des substitn(i(

SIGNE DE SUBSTITUTION. Il

On aura par exemple /"•/-^' dxdy rr* l^^dxl'^dy /^'K' d.r:,dx.

de même

dy'"'-

/ i, / ''' ''y ' I j,, / ''- <iy ^

L'avantage principal de celle notalion symbolique est de permettre de réunir en un seul terme plusieurs expressions définies qui renferment les dérivées correspondantes des deux limites d'une ou de plusieurs variables, ce qui simplifiera beaucoup la recheiche des vaiiations des intégrales multiples.

12 CALCUL DES VAIUATIOINS.