THÉORIE DES MA.XIMA ET DES MIMMA. 9I

un minimum qu'autant que Ton donnera aux fonctions inconnues qu'il s'agit de déterminer des valeurs ou des formes telles, que la variation de l'intégrale s'évanouisse, quelques déformations que Ton fasse subir à ces mêmes fonctions, ou de quelque manière qu'on les fasse varier avec le paramètre z, à partir des valeurs ou des formes primitives dont il s'agit. Il faut en outre que la variation seconde â^S, pour toutes les déformations possibles, reste constamment soit positive, soit négative, sans devenir nulle, la valeur positive correspondant au minimum et la valeur négative au maximum de l'intégrale S.

Quelquefois la condition dS =: oo peut aussi donner une solution du problème. Dans le cas, par exemple, où l'on cliercbc le maximum ou le minimum de l'intégrale

la condition JS = o donnerait }' = o, valeur inadmissible, puisqu'elle rend l'intégrale imaginaire, tandis que la condition (îS=oo donne j = dz f [x) , valeur qui correspond évidemment à un véritable minimum de l'intégrale. Si nous ne tenons pas compte de ces solutions singulières correspondantes à une valeur infinie de la variation JS, c'est qu'elles ne se présentent pas dans les applications ordinaires.

46. Lorsque les inconnues Xj, .rs, }',,j) ,,,.., ?/, t^, iv,... ne sont assujetties à aucune restriction particulière, c'està-dire lorsqu'on clierche le maximum ou le minimum absolu de l'intégrale S, les variations

(îx,, dx-,, ^Vi, o/j,-., ô/^, rh>, eut',...,

contenues dans (JS, sont toutes complètement arbitraires, et l'équation âS = o doil subsisicr quelles que soient les

valeurs ou les formes qu'on leur attribue. Seulement on se rappellera que, par leur définition même, ces varialions ne sauraient jamais contenir d'autres variables que celles qui entrent respectivement dans les fonctions

^i, •^•.'» jr., j.,.-, ", V, «',.. ;

dans le cas actuel, âx^. ox^ seront donc des constantes arbitraires; ôj^^ ây^ des fonctions arbitraires de a:; cJzj , âz^ des fonctions arbitraires de x, y^ etc., et âu^ c^p», Ju^, ... des fonctions arbitraires de toutes les variables principales x.y, z, . . . , t.

Mais le plus souvent la nature même du problème établit certaines conditions auxquelles doivent satisfaire les fonctions inconnues, de sorte que leurs variations ne sont j)lus entièrement arbitraires ou indépendantes les unes des autres. On ramène ce second cas au premier, soit en faisant servir les équations de condition à réliminalion <lu plus grand nombre possible de variations, soit en introduisant de nouvelles inconnues, constantes ou variables, dont on puisse disposer à la fin du calcul pour satisfaire aux conditions du problème. Par cette élimination ou cette introduction de nouvelles inconnues, les variations qui entrent dans l'équation cJS = o transformée redeviennent arbitraires et indépendantes les unes des autres.

Les conditions aux([nellcs on doit satisfaire dans la recherclie des maxima et des minima relatifs sont de trois espèces : i" des relations finies entie les diverses fonctions inconnues ou entre leuis valeurs limites; li" des valeurs constantes imposées à certaines intéi^rales ou à certaines expressions définies; 3*^ Toblii^atlon de vérifier certaines équations dillerenlielles ou aux dérivées j)artielles. ?fous allons consldérci successivement ces trois espèces d(^ conditions.

THÉORIE DES MAXIMA ET DES MINIMA. g^

Al. Toute relation finie de la forme ...

qui doit subsister dans l'étendue entière de Finlégraic

f proposée, détermine l'une des inconnues //, ^^, ii^, . . . en

[ fonctions des autres, et peut servir à l'éliminer de Tinté-

\ grale S toutes les fois qu'on sait résoudre l'équation F = 0.

; Mais alors même que cette résolution est impossible,, la

" relation donnée conduit toujours à une équation linéaire

entre les variations c?//, Jp», d^v^. . . au moyen de laquelle

on peut en tout cas éliminer Tune de ces variations de

l'équation dS =0. En eifet, si l'on prend la variation de

F = o, on trouvera JF = o, ou

Pour (ju'on puisse mettre à profit cette dernière relation, il n'est pas même nécessaire que la fonction F soit donnée en termes finis ^ il suffirait évidemment de coiniaitrc sa diflércntielle totale ou seulement ses dérivées partielles relatives à «, i^, ^v, ....

Si les fonctions inconnues étaient assujetties à vérifier plusieurs conditions semblables

^ZF

dF

fh>

en

du

di'

on aurait

r?F = o, (ÎF, z= o, fTF, — o,

équations dont on pourrait disposer pour éliminer un nombre de variations Jw, op». âu\. . . égal à celui des conditions données.

Si la relation F = o ne devait pas avoii- lieu dans l'étendue entière de l'intégrale S, mais seulement à la limite de Tune des variables, par exemple, à la limite

inférieure de z, de sorte qu'on eût

elle ne suffirait plus à l'élimination complète de l'une des fonctions u, p», iv, . . , , ou de l'une des variations au, â^^ â^v,..., mais elle fournirait toujours une relation linéaire entre les valeurs de ces variations correspondantes à la liuiite dont il s'agit et la variation dzi de cette limite, relation dont on pourrait disposer encore pour éliminer soit ôzi , soit la valeur limite de l'une des variations Ji/, du^ âw^, ... En prenant la variation des deux membres de l'équation (4)i <^ii trouvera, en effet,

ou, en développant dF et—,

/^ fdF , dF, /rlF r/F du dV dv \ ^ ^

Il est inutile de rappeler (jue âz, ou la variation symbolique de la variable indépendante 2, représente ici dz^ , ou la variation de la limite inférieure de z, en raison du signe de substitution qui l'aflcf te.

S'agit-il, par exemple, de déterminer la forme d'une courbe plane, jouissant d'une certaine propriété de maximum ou de minimum, et dont l'extrémité, correspohdante à la limite inférieure de x\ est assujettie à se trouver sur une ligne donnée par l'équation j z=zf{^x)^ la ibnction inconnue j^ devant satisfaire à la condition

THÉORIE DES MÀXIMÀ ET DES MIKIMA. p5

on aura, eu prenant la variation, et considérant que celte fois y est une fonction inconnue de or,

^' étant la dérivée dey relative à la courbe cherchée. Dans ce cas on pourrait donc éliminer soit âxi, soit la valeur limite de ây.

De même, s'il s'agit de déterminer dans l'espace une courbe dont l'extrémité doive se trouver sur une surface donnée, ayant pour équation z =:J'{^x, y), on devra avoir

et, par conséquent, puisque y et z sont des fonctions inconnues de X, ^

y' et z' étant les dérivées dey et de z relatives à la courbe cherchée. Dans ce cas on pourrait donc éliminer soit dx^ , soit la valeur limite de Tune des variations 3y, âz.

Supposons encore qn on veuille déterminer une surface courbe avec la condition que la partie de son contour correspondante à la limite inférieure de y, ou déterminée ^par l'équation y =y, , soit comprise dans une surface donnée, ayant pour équation z =:J(x^ y), on aura

et par suite, puisque z est une fonction inconnue de .r, y\

(^6 CALCUL DES VARTAT!OÎS'S.

p^ jetant des dérivées partielles de z relatives à la surface clierchée. Dans ce cas ou pourrait éliminer soit la variation cJr, , soit la valeur limite de la variation àz.

48. Les conditions de la seconde espèce consistent en ce que certaines expressions définies, le plus souvent certaines intégrales Si, Sj,. . ., doivent conserver des valeurs constantes Cj , Cj , . - - , c'est-à-dire que les valeurs ou les formes des fonctions inconnues ne doivent être choisies que parmi celles qui vérifient les équations S, =c, , S, =:^ Cs 5 etc. Telle est, par exemple, dans le fameux problème des isopérimèlres, la condition que l'arc de la courbe dont on cherche l'équation, ait une longueur donnée. Une condition de ce genre ne suffit pas.à déterminer ou à éliminer l'une des fonctions inconnues*, car il est une infinitédc fonctions qui, substituées à celle sur laquelle portent les signes d'intégration et de substitution dans l'expression déGnie Sj, lui feraient prendre'Ia même valeur constante c, ; c'est ce qu'on peut même affirmer en général de toute fonction renfermant une constante arbitraire à laquelle on donne une valeur convenable.

Dans ce cas, qui se présente très-fréquemment et qui cependant a été traité par les auteurs d'une manière assez peu rigoureuse, on tourne la difficulté par un artifice bien simple. Concevons pour un moment que chacune des fonctions inconnues renferme plusieurs paramètres X, x,', y/', . . . , indépendants les uns des autres, et dont le nombre soit égal à celui des expressions définies S, S,, S» , . . . •, on pourra considérer ces expressions comme dés fonctions de x, /.', yJ' , - . . ,

ITHÉORIE DES MAXIMÀ ET DES itflNlMA. gj

et la question se réduira à trouver parmi toutes les valeurs de X, /, y/,. . .. qui satisfont aux conditions S, = c, , 85 = 04,. .., celles qui rendent S maximum ou minimum. On la résout, d'après les principes connus du calcul difiérentiel, en clierchaut le maximtim ou le minimum absolu de la somme

S-r-rt,S,4- «,82-1- . . . .,

rtj, dis,.., étant des constantes indéterminées dont on dispose à la fin du calcul pour satisfaire aux conditions

S, =<:, , Sj = c,.

On arriverait encore au même résultat en cherchant le maximum ou le minimum absolu delà somme

S+«. (S, — r.) -h «-3(82 — Ci) -h . . . ,

dans laquelle on fait varier avec le paramèlnî z non-seulement toutes les inconnues du premier problème, mais aussi les coefficients <7,, «j,.... En elFet, la variation totale de cette somme

devant être nulle pour toutes les valeui-s des variations indépendantes qu'elle renferme, et parmi lesquelles se trouvent J«i, da^^ . . .., on aura nécessairement

o S -+- ^/, d S, -h ^3 0 Si -f- . . . = o , S, = c, , S;=r r,,

La première de ces équations donne évidemment le maximum ou le mininmm de S -h a, Si H- «5 Sj +• • • •> dans riiy.potlièse précédemment admise, c'est-à-dire pour des valeurs quelconques mais invariables àa a ^^ «25- • • > les autres exigent que ces valeurs soient précisément celles qui vérifient les conditions primitives du problème.

Au reste,' pnis(ju(^ la somme S -h «'z, (S, — c,) -h . . . ne IV. • 7

98 CALCUL DES VAKl ATIQINS. •

peut être un uiaximum outuii minimum absolu sans que l'on n'ait Si = c,, Sj = Cg, . . . , c'est-à-dire sans que la somme se réduise à son premier terme S, il est évident que les valeurs des inconnues z/, t^, iv, . ,. , x^, x^^ ji, js,..., correspondantes à ce maximum ou minimum absolu, sont parmi toutes les valeurs qui remplissent les conditions S, = c,, S2 = c,,. . . , celles qui donnent à l'intégrale S sa plus grande ou sa plus petite valeur. Ainsi le dernier problème revient identiquement au premier*, sauf qu'il conduit en outre à déterminer certaines quantités a,, «2,. . . , étrangères à la question primitive.

49. Il reste à considérer les conditions de la troisième espèce .'Admettoîis que les fonctions u, p, tv,. . . , et leurs dérivées de divers ordres soient liées entre elles par une équation

Les variations du, di^^ Jiv,. . . et leurs dérivées seront de même liées entre elles par l'équation

ce])endant, toutes les fois qu'on ne pourra pas remonter de ces équations diflerentielles ou aux dérivées partielles aux équations en termes finis dont elles dérivejit, elles ne pourront pas servir à léiimination.de 1 une des fonctions inconnues ou de l'une des variations. Mais il est toujours facile de ranicn<M* ce cas à celni (jue nous venons d'examiner. En eflét Téquation lJ=:Oj qui a lieu dans toute l'étendue; de lintégrnlc S, entraîne; nécessairement la snivanfe

T — I I I . . .u'V.^. . . dzdjdx rr: O

a étant une fonction ,irbitrair<' de r, )^, 2:, . . . , et, récipi'oqnomenl, cellc-ti ne {u'ul avoir lieu sans qut; l'on ail

•ruèORÏE DES AfAXiMA ET DES MIMMA. 99

U = 0. L^équatioîi T = o équivaut donc à la condition donuée U=: o et peut ia remplacer identiquement. Cela posé, il suffira, comme dans le cas précédent, de cliercher le maximum ou le minimum absolu de la somme S-f-^iT, ou, ce qui revient au même, de Tinlégrale

(V-}->U). . .dzdydx.

j dans laquelle on représente par ). la fonction rtp.*U dont I la forme peut varier arbitrairement avec z. Ce problème { résolu donnera non-seulement les valeurs de .Tj, ,r,, y,, I y,,. . ., //, ^^, ^v, . . . qui conviennent au maximum ou [ au minimum relatif de l'intégrale S; il déterminera en I outre la fonction À, qui n'entrait pas dans la question I primitive.

On arrivera au même résultat si Ton cherche le maximum ou le minimum de Tintéffrale

en regardant 1 comme une fonction inconnue mais invariable^ pourvu qu'on la détermine à la fin du calcul de manière à remplir la condition U =o. En eQet, pour résoudre le pioblème dans le cas où / change de forme* . il faut égaler à zéro 1.» variation de l'intégrale ^^^

fff. . .( V -h A IJ) . . .dzdrd:r.

et l'équation qui en résulte doit (\\.\\\ vérifiée pour toutes les valeurs de JÀ. Ov fff. . .UcJÀ. . .dzdrfix est le seul teime de cette équation qui contienne J/ ; on devra donc avoir, et cette conclusion sera l)ientôt justifiée, U= o. Los autres termes de l'équation dont il s'agit sont les menues que dans l'h^^pothèsc où / est invariable de form<; ^ ainsi il suffira de chercher le maximum ou le minimum de l'intégrale J'Jj\ . .(A -h AU). . .dzdyâx dans

lOO CALCUL DES VARIATIONS.

cette dernière hypothèse et de dcterminei ensuite / par la condition U = o, ainsi que nous l'avions avancé.

Si dans la recherche du maximum ou du minimum de l'intégrale S on avait à remplir plusieurs conditions semblables

il suffirait de chercher le maximum ou le minimum absolu de

Jx^ Jy^ Jz,

X, X, , . . . étant de nouvelles fonctions à formes variables. On pourrait même regarder /, )>i,. • . comme invariables déforme, et se réserver le droit d'en disposer à la (in du calcul de manière à vérifier les équations

11 est facile de voir qu'on pourrait traiter de la même manière les conditions de première espèce (11"^ 47). Cela est évident pour le cas où l'équation

doit avoir lieu dans toute l'étendue de l'intégrale S. Mais si cette équation n'avait liciu qu'à la limite d'un • des variables, de sorte qu'on eût, par exemple,

on la remplacerait par la condition équivalente

.^^F-. . .chdx 1— o,

a étant une fonction arbitraire de x ., y. z,..., et !<.' problème, en verln de eequi ])récède, serait ramené à hi

TIlÉOllIE DES MAXIM A ET DES MIMMA. lOI

recheicho du maximum ou du minimum absolu de la i somme

! /»^i /V: /»-'. /»-^sPi f*^t

\ f j j . • y. -dzdydx -h j j j . ..IF... (hdx,

• dans laquelle on est libre de regarder la fonction X, représentant le produit de ti^ F par une constante indéterminée, comme variable ou invariable de forme ^ dans le dernier cas, il resterait à déterminer la valeur de ). par la condition F = o, qui doit avoir lieu à la limite àcy.

50. Il reste donc acquis que, dans tous les (*as, le problème se ramène à la recherche du maximum ou du minimum absolu d'une expression définie ou d'une somme 2 de plusieurs expressions définies, et que sa solution dépend en définitive d'une équation

dans laquelle les variations de toutes les inconnues sont indépendantes les unes des autres. Supposons actuellement que par les procédés indiqués on ait donné à ô'Z une forme telle, que les dérivées des variations ne soient plus prises relativement aux variables d'intégrations ; supposons de plus qu'après avoir décomposé les signes de substitution dou])]e en signes de substitution simple, on ait réuni en un seul terme tous ceux (pii renferment la même dérivée de la même variation sous les mêmes signes de substitution et d'intégration^ le premier jnembre de l'équation J2 ==: o sera en général la somme de plusieurs termes ou expressions déiinics, dont chacun contient ime seule variatioii ou sa dérivée, et se distingue de tous les autres soit par cette dérivée môme, soit par les substitutions et les intégrations qui lui sont propres. Donc si l'on égale successivement à /-('mo toutes les variations à

102 CALCUL DES VAKlATIOKS.

l'exception d'uue seule, ou aura une série d'équatioiis dont chacune renferme une seule variation avec ses dérivées, et doit se vérifier quelle que soit la valeur ou la forme de cette variation.

Considérons en particulier une de ces équations

W=rO, '

ne renfermant que la variation au avec ses dérivées. Le seul terme qui ne soit pas alFeclé de substitution est nécessairement de la forme

tous les autres renfermeront un ou plusieurs signesde substitution^ et nous rappellerons dès à présent que les substitutions peuvent se faire immédiatement, ou avant les intégrations; à la condition qu'on les fera une seconde; fois dans les limites des intégrations (n'^ 5). Cela posé, faisons avec M. Sarrus

,o=z{x — jc,) [x — j:,) {x — r<) ( J — Ji) (z — 3.) (z — --')• • • y

et posons poui un instant

ou — Mw-",

n étant an nond:)re assez grand pour que toutes les déri- \ées de du renfermées dans W aient encore w en facteur. Puisque m s'annule chacjue fois que l'on donne à Tune (juelconque des variables x, y, z,... sa valeur limite inférieure ou supérieure, les termes de W alfectés de signes de substitution s'évanouiront lous^ il ne restera que le seul terme (A), (pii devra être nul séparément et <|ui donne

r...,/z,ijci..

THÉORIE DES MAXIMA ET DES MINIMA. ï o5

équation impossible à moins que Mo)" ne soit constamment égal à zéro. Or évidemment le facteur w ne peut pas être nul dans les limites de l'intégrale ^ il faudra donc que l'on ait dans toute cette étendue

Cette première condition à laquelle doivent satisfaire les inconnues du j)robIèrac, fait disparaître le terme (A) quel que soit du\ et l'équation W =z o est remplacée par une autre . .

dont tous les termes sont allectés d'un ou de plusieurs signes de substitution, et dans laquelle au est encore entièrement arbitraire.

51 . Les termes de celte seconde équation Wj = o qui no renfermenl qu'un seul et même signe de substitution, relatif, par exemple, à la limite inférieure de y^ seront tous de la forme

nj>'^—-

Admettons que celui des termes dans lequel la dérivée d<! du est de Tordre le plus élevé 772/, soit

laisons, pour abréger,

''*' — ■ __ — (x— x,){.r — xj) (/ — r 2) (z — z,)(z — ?,)..., et posons pour un instant

n étant un nombre entier assez grand pour que chaque dérivée de du qui se trouve dans l'équation W, = o, contienne Wj en facteur. Tous les termes de Wj non compris dans la forme (B), ou affectés d'un signe de substitution

autre que / , disparaîtront avec le facteur o)i • de plus

les termes compris sous la forme (B). mais dans lesquels la dérivée de du est d'un ordre inférieur à ni'^ disparaîtront avec le facteur y — j^ ; il ne restera que le seul terme (B') qui, devant être nul lui-même, pour que Féquation W, = o soit vérifiée, donne

iT£--^^'<'

. (Iz d.T. zr= o

Cl cette équation évidemmeni ne peut avoir lieu qu'autant que l'on ait

dans toute l'étendue des intégrations, c'estrà-dire entre les limites X", et x, de .r, / Zy et / z, de z, etc. Or le fac-

teur

..„(.-/'v)(^-fA.,..

ne peut pas s'évanouir entre ces limites; il faut donc qu'on ait constamment

fs' ~

THÉORIE DES MAXIMA ET DES MINIMA. lo5

seconde condition à laquelle devront satisfaire les fonctions inconnues, et qui fera disparaître le terme (B') indépendamment de toute valeur ou forme particulière assignée k ou. On a donc le droit de supprimer ce terme dans W, , et comme après cette suppression l'équation Wj = o devra encore être vérifiée quel que soit dw, on pourra répéter le même raisonnement et prouver : i*' que chaque terme de la forme (B) renfermant un seul signe de substitution relatif à y, fournira séparément une équation de condition qui le fera disparaître; 2" qu'il en sera de même pour tous les termes de W, renfermant un seul signe de substitution relatif à une vaii.ible quelconque, et que par conséquent l'équation W^ = o se réduit à une nouvelle équation

dont chaque terme est aHecté de deux signes au moins de substitution, et dans laquelle du reste encore entièrement arbitraire.

52. Tous les termes de Téquation Wj = o qui ne renferment que deux signes de substilulioiî déterminés, par

exemple./ et / , ont nécessairement la forme

Choisissons dans ce groupe les termes pour les([uels / a sa plus grande valeur /', et parmi ces derniers le tennt!

dans lequel m a sa plus grande ^aleur tn' \ faisons, pouj'

106 ■ ' CALCUL DES VARIATIOKS.

abréger, -- ' :

(.r — .r.)(r — jO(- — -.){=— -»)••♦,

et posons pour un inslaiît

n étant un nombre entier assez grand pour que toutes les dérivées de du qui entrent dans W, , <ionliennenl eucore (O2 en facteur. Tous les termes deW, qui ne sont pas compris dans le groupe (C) ou qui renferment d'autres signes de substitution que ceux relatifs à j:, , }^i , disparaîtront avec 0)2 ; dans ce groupe, en outre, cbaquc terme (|ui contient une dérivée de du relative à x d'ordre inférieur à /' disparaîtra avec.r — x^^ et chacjue terme renfermant une dérivée de Su relative à r d'ordre inférieur à m' disparaîtra avec y — ri ", il ne restera donc que le seul terme (C), devenu

/Y'J:..(PV).....,

et pour que l'équation Wg = o soit vérilîée, il faudra que cette dernièie expression soit elle-même nulle, ou que l'on ait

/ '/ pv;==o

dans toute Tétendue des intégrations, c'est- à-diie entre les limites / / r:, et 1 / z^ de z, etc. Mais cette fois

encore/ / ^)2 ne devient pas nul entre ces limites^ il

THÉOUÏE DES MA.X1MA ET DES MIKIMA. . lO^

(audra donc que l'on ait " v'^- - ,^^:^Vr--\^-^' - ^i;^.: .

nouvelle relation entre les inconnues du problème qui fait disparaître le terme (C) quel que soit du. Ce terme supprimé, l'équation Wj = o devra encore être vérifiée pour toutes les valeurs ou formes de du. En appliquant de nouveau le même raisonnement, on est successivement conduit à égaler à zéro les coefficients de au et de ses dérivées dans tous les termes renfermant deux signes de substitution seulement, ce qui réduira Téquation AV, à une nouvelle équation

dont cliaque terme renferme au moins trois signes de substitution et dans laquelle Su reste encore arbitraire. En continuant ainsi jusqu'à oc qu'on ait épuisé tous les termes de Téquation AV=:o, et étendant les mômes raisonnements à toutes les variations indépendantes contenues dans l'équation primitive oS = o, on anive enfin aux conclusions suivantes :

Pour trouver toutes les relations gui doii^ent exister entre les inconnues du problème en vertu de V équation <J2 = o : \^ on réunira en un seul terme toutes les expressions définies qui dans JS renferment la même d.criuée d'une même ^variation sous les mêmes signes de substitution ,• i'^^ on égalera à zéro le coefficient de cette dérivée dans chaque terme : oîi obtiendra ainsi autant d^ équations quily a de termes, chacune de ces équations dei^ant être vérifiée dans l'étendue entière du terme qui lui a donné naissancc^cest-à-dire pour toutes les valeurs des "variables x, y, 2> . • • , déterminées par les substitutions ou comprises entre les limites des intégrations dans le ferme dont il s'agit.

*o8 CALCUL DES VARIATIONS.

Par exemple, le terme -

(jue nous supposons faire partie de (Î2 et dans lequel Q représente soit la variation du de l'une des inconnues zi, soit une dérivée quelconque de du relative aux variables de substitution , fera naître Féquation

qui doit subsister dans toute l'étendue des intégrations.

o3. Jusqu'ici nous avons supposé que les inconnues et leurs variations étaient fonctions de toutes les variables X, j^, 3,. . . ,^, et il peut arriver, au contraire, qu'elles ne dépendent que do quelques-unes de ces variables. Dans ce cas, la règle que nous venons d'énoncer a besoin d'une légèrcî modification. Admettons, pour rester dans l'exemple choisi, que Q soit une fonction arbitraire de x^j^ mais <|u'elle ne doive pas renfermer d'autres variables, et faisons, pour abréger,

R'^/"...j%..,.; le ternie (K) pourra s'écrire

Or/x,

le nouveau coeflicienl II' étant fonction des seules variables XjY'^ on reviendra ainsi au <as précédent, et il faudia encore que Ton ait

THÉOniE DES MAXIMA ET DES MINIMA. lOC)

pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites Xi et Xi.

En général, lorsqu'une inconnue ne dépend pas de quelques-unes des variables, on fera sortir sa variation et les dérivées de sa variation des signes j et J relatifs à ces variables et Ton appliquera ensuite la règle du numéro précédent.

54. Il peut arriver que dans une des expressions définies qui composent la varialion dS, les deux limites d'une intégration coïncident par suile des substitutions qu'on aura faites^ il peut arriver encore que deux expicssions définies ne diiîei^nt Tune de l'autre que par les limites accolées aux signes de substitution,

0f...Ke... .£/'/■■. ..KO...,/.,

par exemple, se détruisent par la coïncidence des valeurs substiluées, ou par la relation

Dans ces deux cas, évidemment, les termes ou expressions définies dont il s'agit s'évanouiront identiquement sans fournir aucune équation de condilion enlie les fonctions inconr)ues et les variables indépendantes.

Oi). La lègle énoncée iî" 52 revient à dire\pie, dans Texpression de cîS, ordonnée comme elle doit l'être, on peut regarder k-s variations et leurs dérivées contenues dans les diflerents termes comme des quantités arbitraires et indépendantes les unes des autres. Nous savons d'ailleurs que les valeurs limites (]c<, variations et de leurs^dérivées sont liées aux variations tics valeurs limites des

IIO ' CALCUL DES VAUIA.TIO^S.

fonctions inconnues et de leurs dérivées par des relations simples et linéaires, d'où il suit qu'on pourrait encore regarder ces dernières variations comme arbitraires et indépendantes les unes des autres. Donc, si Ton avait introduit, au moyen des relations dont il s'agit, les variations des valeurs limites, et qu'on eût ordonné JS par rapport à elles, de manière que chaque terme renfermât la variation soit d'une inconnue, soit de la valeur limite d'une inconnue ou de sa dérivée prise toujour. par rapport à une ou plusieurs variables de substitution, on trouverait encore les diverses conditions du maximum ou du minimum, en égalant à zéro le coefficient de la variation pour chaque terme séparément. Seulement si, par sa nature même, la variation était indépendante de certaines variables, on devrait la faire sortir des signes de substitution et d'intégration relatifs à ces variables, avant d'appliquer la règle. Cette règle pourrait d'ailleurs se déduire facilement du princij)e qu'on peut assujettir une fonction indéterminée Il à conserver des valeurs fixes quelconques aux limites de certaines variables, tout en la faisant varier arbitrairement entre ces limites. Mais nous croyons inutile d'entrer dans les détails d'une nouvelle démonstration ; il nous suffira d'avoir donné celte indication d'une manière générale.

Pour faire disparaître ce qui semblerait peut-être »

un peu vague dans ces considérations abstraites, et pour établir en même temps des fornuiles générales dont nouSf ferons plus tard des applications particulières, nous allons chercher successivement les conditions du maximum ou du minimum des intégrales simples, doubles et triples, en discutant pour chacune d'elles les diverses restrictions relatives aux limites qui peuvent se présenter.

MÀXIMA ET MIKIMA DES INTÉGRALES SIMPLES. 1 l l