CINQUIÈME LEÇON

Maxima et minima des intégrales et en général des expressions définies.

— Maximum ou miuimum absolu. — Maximum ou minimum relatif.

— Diverses espèces de conditions ou de restrictions. — Équations auxquelles doivent satisfaire les fonctions inconnues pour rendre nulle la variation de 1 intégrale ou de l'expression définie.

45, Dans les questions de maxima et de minima qui dépendent du calcul des variations, on clieiclie à déterminer la forme dune ou de plusieurs fonctions inconnues, contenues dans une intégrale définie soit simple, soit multiple, ou, plus généralement, dans une expression définie, de manière que celte intégrale ou celte expression définie atteigne sa plus grande ou sa plus petite valeur. Entre ces questions et les problèmes de maxima et minima qu'on sait résoudre par le calcul dliVérentiel , il y a donc une différence essentielle : dans ces derniers problèmes on clierche les valeurs des variables indépendantes ({ui rendciit maximum ou minimum une fonction dont la iorme est donnée, landis que dans le calcul des variations on cherche la forme même de la fonction ou la relation générale qui la lie aux variables indépendantes. Cependant ce second problème se ramène facilemenl au preuiier, et voici cojunient :

Concevonf^ pour un momenl (ju'on ail déjà déterminé convenablement toutes les fonctions inconnutîs, et cju'on les fasse ensuite varier au moyen d'un paramètre arbitraire y, • soit x.o la valeur initiale de y. correspondante aux

formes de ces fonctions qui donnent à l'intégrale sa plus grande ou plus petite valeur. L'intégrale ou Texpression définie sera alors elle-même une fonction de x. -, pour qu'elle devienne réellement un maximum ou un minimum pour z =r xq, il faut donc que sa dérivée par rapport à y. s'évanouisse pour x = Xo, sans que cette valeur du paramètre z rende nulle la dérivée du second ordre, dont le signe servira à distinguer le maximum du minimum.

Pour mieux fixer les idées, désignons par V une expression qui renferme explicitement non-seulement les variables x, y, z,. . .^ mais une ou plusieurs fonctions inconnues //, p», iv,. . . de ces variables, et supposons qu'il s'agisse de déterminer les fonctions u, p», ^v, . . . ainsi que les limites j:,, Xs, j'i, y^, z^, z^, . . j de manière que l'intégrale

devienne un maximum ou un minimum. D'après ce que nous venons de dire, on peut supposer que les inconnues M, p», ii^, . . ,, ainsi que les limites de l'intégrale, dépendent toutes d'un paramètre arbitraire z, et qu'il faille trouver la valeur Xo de ce paramètre qui fasse acquérir à l'intégrale S sa plus grande ou sa plus petite valeur. Puisque, dans cette hypothèse, l'intégrale S est elle-même fonction de x, la première condition du maximum ou du minimum sera

ou bien, en nous servant de la notation adoptée dans le

calcul des variations,

Ainsi Tinlégrale S uc pourra devenir un maximum ou