I. On cherche le niaximuni ou le niininiuni de Vin

lêgrale

S dans laquelle

y étant une Jonction inconnue de .r, c( j'^y"^. . ., ses dèris^èes successi\^es .

La varijihon do celle ink'gralc (ii" 32), ordonnée <:onnne elledoll l'être (ii" oO), eoniprend les lernics snivanls :

{I) / \v)Syd.r

{JII) ' h/ Vo.r, -/ VrT.r,.

En égalant à zéro le premier terme, on trouve d'abortl Téqualion indéfinie (P) = o, ou

qui doit subsister pour toutes les valeurs dex comprises entre les limites .2:, et x^. Celte équation différentielle, i|ui est en général de l'ordre in ou contient les dérivées de ^jusqu'à j'('"\ donnera par Tintégration la valeur de y en fonction de x et de m constantes arbitraires.

Les termes (II), égalés à zéro, fourniront à leur tour in équations aux limites :

Il '(P.)=-o, I \\\)^o,..., j '(\\) = o,

auxquelles on joindra les deux équations

(jui^doivent leur existence aux termes (111).

Telles sont les diverses co.ditions du maximum ou du minimum absolu de i intégrale S. On satisfera aux équations (2) au moyen des m constantes arbitraires contenues dans la valeur générale de r , et ces constantes se trouveront ainsi déterminées ou exprimées en fonctioils des limites x^ , x,. Il ne restera alors qu'à déterminer ces limites, et il semble au premier abord qu'on puisse le faire au moyen des deux dernières équations (3). Mais si l'on considère plus atlentivenient la forme de ces équations, on verra que dans le cas actuel elles ne conduiraient à aucun résultat ulilc. En eiVet, commeb^s éqnations (2), qui servent

MAXIMA ET MINIMA DES INTÉGRALES SIMPLES. Il3

à l'élimination des zn constantes arbitraires, forment deux séries composées la première en jc, , comme la seconde l'est en x^ , ces deux limites entreront de la même manière dans la valeur définitive de ^, qui sera nécessairement symétrique par rapport à x, et x^ . Il en sera de même de la fonction V, d'où l'on conclura que si l'une des équations (3) prend la forme /"(xt , Xf) = o, l'autre ser3if[Xi , x^) = o. Résolues tour à tour par rapport à Xi et j:,, ces deux équations donneraient donc la même valeur, ou Xi=Xi, ce qui rendrait l'intégrale S nulle quelle que fut la fonction r ^ ^^ dès lors, évidemment, il ne pourrait plus être question ni de maximum, ni de minimum. C'est du reste à quoi l'on devait s'attendre-, car si la fonction y et les limites x^ , x^ peuvent se déformer en même temps, sans être assujetties à aucune restriction, il est clair que l'intégrale proposée pourra elle-même croître ou décroître indéfiniment, et qu'il n'y aura plus lieu à chercher sa valeur maxima ou minima. L'analysi* et le raisonnement s'accordent donc à montrer que le problème n'aura de solution qu'autant que les valeurs limites de quelques-unes des quantités .r, J', J^^J>'^^ - • • ? .f^"~*^ serontdonnécs ou assujetties à remplir certaines conditioîjs. Ces conditions ou restrictions relatives aux limites peuvent être très-diverses ou formulées de plusieuis manières; le plus souvent elles rentrent dans lune des Iwpothèses suivantes.

r)7. i^ Les liinùcs de I ' in té î^ rat ion .r,, x^ sont données.— En vertu de cette restriction, on a (Jxi=o, Jxî = o-, les termes (111) sont identiquement nuls et les é([uations (3) n'ontplus lieu. La solution du problème dépend alors de l'équation indéfinie (i),qui donne la valeur de }^ avec o.n constautos arbiliaires, et des in équations aux limites (2) (jui servent à déterminer ces constantes, IV. 8

Il4 CALCUL DES VAlir\T10NS.

2" Oji a donné les limites a', , x^ et en outre les valeurs limites de quelques-unes des fonctions y, y\ y"^...^j^"~^K — Par la même raison que dans l'hypothèse précédente, les équations (3) n'existent plus. 11 résulte d'ailleurs des équations (2), n° 33, que dans le cas on aXi = ^Xi = o, les valeurs limites des variations

coïncident respect ivemiMît avec les variations des valeurs liinites de

dy (P y (i.r iix '

lesquelles seront nulles, si ces vahmrs limites doivent rester fixes. Or c'est ce <|ue nous supposons avoir lieu poui" quelques-unes d'entre elles ; donc aussi les valeurs lin)ites

de quelques-unes des variations Jy, -—-?•••<? seront

nulles, ce qui fera disparaître un certain nombre des termes (11) et celles des équations (2) qui leur correspondent. Mais ces équations seront remplacées par les conditions mêmes qui assii:;nent à <juelques-unes des fonctions r, y':,y"-) ' ' •' } '^"~'' des valeurs limites tiéterminécs, conditions dont \v nombre est toujours égal à celui des équations disparuc^s. Ces conditions piimitives, jointes à celles des é({uations (2) (|ui restcjit, sulliront donc encore à déterminei' les o.n constanles arbitraires.

Supposons, pai" exenq)le, qu'on ait donné ou rendn tjxes la limite .r, et les vahnirs limites correspondantes de >-, r', de sorte fjn'on ait

f^r, --=0, <H )—.<), 01 j'rr-o;

MAXIMA Eï MIMMA DES IKTÉGKALES SIMPLES. Il5

on aura en même temps . .. . > r - ^ ' - l^: -%

par suite les deux premiers termes (II) relatifs à jr, sont ideutiquenieni nuls et les deux premières équations (2) n'ont plus lieu ^ mais elles se trouvent remplacées de fait par les conditions de fixité des valeurs limites dey et d^y.

3** Les valeurs limites rie quelques-unes des fonctions

y-i y,y -i' • -, .7'^""^^ sont fixes et données, sans que les limites a:,, x,, soient déterminées. — Supposons qu'on ait donné les valeurs dey, r', ;) 'S • ■ . , J'^"~^^ correspondantes à la limite inférieure x^. Les variations de ces valeurs fixes étant nulles, les relations (2) du n*' 33 deviennent

Si Ton substitue ces valeurs dans les n termes (II) relatifs à oTi, ces termes ramenés à ne plus contenir que la variation Jo:, se réuniront au second terme (III) dans une seule expression définie

et ne fourniiont plus (ju une seule équation

(4) / 'lv-MP,;.>' — ^«^}.-'"- •••-(?") r^"^]=o,

laquelle se joindra aux n conditions de fixité pour reni-

Il6 CALCUL DES" VARUTIONS.

placer les n premières équations (2) et la première équation (3).

Si l'on avait fixé seulement les valeurs limiles inférieures de J-^y, les deux premières équations (2) et la première équation (3) seraient remplacées parTéquation unique

h laquelle on ajouterait les deux conditions qui assignent à Yf j^'des valeurs limites déterminées.

4° Les valeurs limites de x, y^j', j"^ . . . , J'^"~'^ soîit liées entre elles par des relations données. — Soit

une condition à laquelle doivent satisfaire les valeurs limites de j:, js 7', . . . ,y^"~^^ En prenant la variation et désignant, pour abréger, par V la dérivée totale de f relative à .r, ou posant

^f di , d{ „ d{

dx df dr dj(" '>

on trouve ( n" 30 )

équation dont on peut se servir pour éliminer des n-{-i termes (II) el (III) n^lalifs à a:,, soit Jxi, soit la valeur

limite cie l une dos variations ûy. — — ? - • •? -— -• JJes

dx dx"~*

lors ces termes ne fourniront que // écjnalions qui, jointes

MAXIMA ET MINIMA DES INTÉGRALES SIMPLES. il^

à la condition primitive (5), remplaceront les n premières équations (2) et la première équation (3).

Admettons, par exemple, qu'a la limite inférieure de l'intégrale, y doive coïncider avec une fonction connue f (j:), de sorte que l'on ait

il) I '[r -!■(*)] = <',

Cl, par suite, les deux termes

lie contiendront j)lus qu'une seule variation indépendante <;t s'uniront pour fournir une seule équation *'

laquelle, jointe à la condition (7), remplacera la première équation (2) et la première équation (3 ).

Quelles que soient les restrictions auxquelles on assujettisse les limites Xj, ^3 cl les valeurs limites de la fonction y et de ses dérivées^', j", . . . , j^"~*\ on a en général autant d'équations que d'inconnues, et à moins qu'il n'arrive par des suppositions particulières que ces équations deviennent équivalentes ou incompatibles, elles sufIJront toujours pour délerminer la fonclion y avec ses 211 constantes arbitraires, et les limites j',, x^ de l'intégrale.

58. Au lieu d'éliminer immédiatement une ou plusieurs variations, comme nous l'avons fait dans ce ([ui

Il8 CALCUL DES VARIATIONS.

précède, on pourrait tenir compte d'une restriction quelconque / 0^= o, dans laquelle U est fonction de

X, y, j\ y\. . ., en introduisant un facteur indéterminé (n° 48), c'est-à-dire en cherchant le maximum ou le minimum absolu de la somme

U faudrait alors ajouter à la variation déjà calculée de l'intégrale ou du premier terme, celle du second terme

Xy élaiît la dérivée totale de U relative à x,

^^, dV dU , d[] „

''=-d^^-d7''^dy' -^'■-

et égaler à zéro la somme des deux variations, ce qui donnerait : i*^ la même équation indéfinie (P) = o qu'auparavant, 1^ les équations aux limites

j/ (V+flU')r=0, / (V-f-^U')=o.

Si u ne renferme les dérivées de j que jusqu'à l'ordre ;/ — I inclusivcmenl, ces équations aux limites seront en nombre '?.n i- i, et .•^ullimnl i;cnéraleincnt à flélnminei