MAXIMA ET MIMIMÀ DES INTÉGRALES SIMPLES

les 2/1 constantes introduites par rinlégralion, et les limites oTi, Xj. Quant à la nouvelle constante ^z, on en dis-

posera pour satisfaire à la condition / U = o. Mais

lorsque l'ordre des dérivées de y, contenues dans U, excède n — i, on aura plus d'équations aux limites que de constantes à déterminer, et le problème ne sera plus possible, si ce n'est dans des cas exceptionnels et très-particuliers. Donc, en général, pour qu'une intégrale S=yV^j: ait un maximum ou un minimum, il faut avant tout que les restrictions auxquelles on assujettit les valeurs limites de y et de ses dérivées successives, n'atteignent pas la dernière des dérivées contenues dans V, ni celles qui la suivent.

59. Il est des cas où l'équation indéfinie (i) peut s'intégrer une ou plusieurs fois sans qu'on ait besoin de connaître ou de déterminer complètement la forme de la fonction V. Il suffit, en effet, de savoir qu'elle ne renferme pas la première, ou les deux premières , ou les trois premières, etc., des fonctions j', y' tj" -, • . • , J'^"^ pour qu'on puisse effectuer immédiatement une, deux, trois, etc., intégrations successives. Supposons, par exemple, que V ne renferme pas y^ mais seulement ses dérivées^', y'\ . . . ,

(IN y^"\ Puisque alors la dérivée partielle -— =rr P est nulle,

l'équation (i) devenue

s'intègre immédiatement vX donne

Si \ ne contient pas non plus)', la dérivé*; partielle

20". - ■ CALCUL DES VARIAïIOSS.

— = P, est aussi nulle •, et Ton peut intégrer une seconde fois , ce qui donne

P.— ^4-...=t-^-^3^r=:r, — c-.x, OU {V,)=c,— c,x.

En général, si les m premières des fonctions y, y\ r"^ . . . , r^"^ n'entrent pas dans Texpression V, les m dérivées partielles P, P,, P2, . . . , P,„i et, par conséquent, les m premiers termes de Téquation (1) seront nuls 5 on pourra donc intégrer m fois de suite, ce qui donnera successivement

Le résultat définitif de ers intégrations, ou Féquation dinércnlielle

<lans la(juello, d'apiès les nol.illons admises, (P,„) repr<'>s<'nte

(h (tx"-'"

ne lenterniera évidemment cjuc les dérivées de 7'^ jusqu à yi^"-'") iiicliisivemenl-, Tordre de l'équation primitive (i) scia don<- abaissé de m unités.

Il s<' préscnle ici une particularité (pic nous devons faire

/ ^,fiil -■>':