MAXIMA ET MIMMA DES INTÉGRALES SIMPLES. I

n'a point de solution. On comprend d'ailleurs à priori et sansqu'il soit besoin d'aucune discussion analytique, qu'en faisant varier arbitrairement avec les fonctions j^, z les limites Xj, jTsî on rendrait chimérique la recherclie de maximum ou minimum de l'intégrale S, puisqu'il est évident qu'elle pourrait alors croître ou décroître indéfiniment.

60. L'intégrale S n'est donc susceptible d'un maximum ou d'un minimum qu'autant que les limites Xi, Xj ou les valeurs limites dey, z et de leurs dérivées sont assujetties à certaines restrictions. Ce qu'il y a de plus simple, est de supposer constantes les limites Xj, Xj. Leurs variations (îxi, èx^ étant alors nulles, les deux derniers termes de (JS disparaissent d'eux-mêmes et les équations (3) n'ont plus lieu. Les équations (2) serviront alors à déterminer les 2 (/72-f-/?) constantes arbitraires amenées par l'intégration des équations indéfinies (i).

Au lieu de supposer fixes x,, x,, on pourrait faire d'autres hypothèses relatives aux valeurs limites de x, y^ y,...j j('"-')^ z^ z\..., z^"~^\ et on les mettrait en jeu exactement de la même manière que dans le cas précédent. Ces hypothèses modifieraient de différentes manières les équations aux limites (2) et (3) sans altérer en rien les équations indéfinies (i) ^ mais le nombre total des conditions à remplir resterait toujours le même, et sufïirait en général à déterminer les inconnues du problème. JNous disons en gênerai, car il j)eut arriver pour certaines formes particulières ou certains modes de composition de la fonction V que le nombre des constantes aibitiaiies soit inférieur ou supérieur à celui des équations aux limites, et que le problème soit, par conséquent, indéterminé ou impossible.' Il sufîira d'avoir signalé Texistence de ces anomalies, dont la discussion, d'après ee cpii précède, ne souffre plus de difficulté.