MAXIMA ET MINIMA DES IKTÉGKALES SIMPLES

mots. Admettons, pour fixer les idées, que V, avec x,jr^ r\ . . . , y^"^ contienne les valeurs limites inférieures de j?, y, j'j . . . , J^"~^\ valeurs que nous désignerons, pour abréger, par J, y?, >;',,.., y}^"~*^, en sorte que

; Conservant à P, Pj, Ps,... leurs significations, posons

rfx rr ç.

i en outre

\ dV

dn'.

nx. ^^ ^x,

I vsdx rrr (7, 1 T:r^dx =r c", , I ct-,

nous aurons

-f- CT(ÎÇ-|- rT,0/3 H- CT^Oïî' -f- . . . -f- CT,/y-/i(""~0,

Aux termes de la variation de rintégralc S que nous

avons considérés précédemment, il faudra donc ajoutei

ou, ce qui revient au même, puisque J|, Jt:, cJ>-/, . . . , ii dépendants de a:, peuvent sortir du signe /,

Or, d'après la définilion même des qualités J. y;, y;',. . on a

reiisemblc dos lerinos qu'on doit ajouter à la variation de l'intégrale peut donc s'écrire

Dès lors, en égalant à zéro la variation complète de l'intégrale S, on obtiendra la même équation indéfinie (i) et les mêmes équations pour la limite supérieure jTs <l«'a^paravant; mais les équations relatives à la limite inférieure Xi deviendront

On aura donc encore le même nombre d'équations qu'auparavant, mais ce nombre deviendra plus grand si V contient les valeurs limites de y^"^ ou des dérivées d'ordres supérieurs; le nombre des équations aux limites dépasserait alors le nombre des constantes indéterminées et le problème du maximum ou du minimum serait en général impossible.

Oi. II. On cJierche le maximum ou le m.inimuni rie r intégrale

dans laquelle

. , MAXIMA ET MIMMA DES IKTÉGRALES SIMPLES. 1 27

y et z étant deux fonctions inconnues de la variable x, et^\ y"^. . . , z\ z^' ^ . . . , leurs dérivées successives.

Quand on égale à zéro la variation de l'intégrale S trouvée n^ 36, en admettant que les limites x^^x^^ ainsi que les valeurs limites de j^, z et de leurs dérivées ne soient assujetties à priori à aucune restriction, les termes affectés d'intégration fournissent les deux équations indéfinies

{P) = o, (Q) = o, ou

' dx <lx.

d.c <lx, <lxf'^

\ ^ dx dx' dx"

les termes alFectés de subslilulion et renfermant dj^ J :: <»u leurs dérivées, donnent les 2(;7/-f-/?) équations aux limites

^ '(Q.)-o, ^ (Q..) = o, , I (Q.)-o, i\qn('ll<'s s'ajouloiU les deux nouvelles é(jUMt!ons

|nov<Mianl iK'S l(>rines en dx^ el cJ.î\,,

Les deux équations differenlielles simultanées (i), qui doivent avoir lieu pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites de l'intégrale, serviront à déterminer les formes générales des fonctions y et r. Or, puisque V et ses dérivées partielles P„, Q„ contiennent les dérivées àcy jusqu'à y^"'^ et celles de z jusqu'à ^^"^ inclusivement, la première de ces équations sera de l'ordre 2 m par rapport à y et de l'ordre m -h n par rapport à z, tandis que la seconde sera de Tordre tu -f- n par rapport h y et de l'ordre 1 n par rapport à z, c'est-à-dire que les deux équations indéfinies prendront les formes

Diflcrentiant la première 2 ?i fois et la seconde m -h // fois de suite, on aura m H- 3 /i -f- 2 équations renfermai! : les dérivées dey jusqu'à j)^^^"'+'"\ et celles de c jusqu'à z^'"'^^"^ inclusivement, et Ton pourra éliminer les //f -f- 3 « -f- 1 inconnues z, V, z"^. . ,, ^('"+3»)^ ^^ ^^^1 conduira à une équation diiTércntielle ne contenant plus que 7^ et ses dérivées jusqu'à l'ordre 2 m -H 2 //,

laquelle intégrée donnera la fonction y avec 2(m-|-«) constantes arbitraires. En remontant aux équations qui ont servi à l'élimination, on en déduira la seconde fonction inconnue z exprimée au moyen des mêmes constantes. '

Il resterait ensuite à déterminer ces constantes arbitraires et les limites .Ti, X9 au moyen des équations aux limites (2) et (3). Mais, bien que le nombre des équations soit égal à celui des inconnues, elles conduiraient, comme dans le cas précédent, à un résultat absurde qui avertirait que le problème, dans les termes où nous l'avons posé,