I v^zf/r—j j V5z.,/f

MAXIMA ET MIRIMA DES INTÉGRALES DOUBLES. l3l

-h/ 1 ySx,.dr— j V3.ri.df. -

Quoiqu'il semble évident que si l'on n'apporte aucune restriction ni à la fonction z ni aux limites de rinlégrale, celle-ci pouvant croître ou décroître indéfiniment ne sera susceptible ni de maximum ni de minimum ^ cependant, comme le problème absolu est en quelque sorte le type du problème relatif, nous admettons d'abord que les variations êz, Sji, Jj'2, ^J^i-, c^J^s sont toutes arbitraires et indépendantes les unes des autres, en nous réservant de faire subir aux équations de condition obtenues dans cette bypotbèsc, les modifications qui conviendront aux diverses restrictions. Cherchons donc, en l'absence de toute restriction, les équations dans lesquelles se partage la condition fondamentale oS= o. "^

Le premier terme de JS fournit d'abord Téqualion indéfinie

de dr

qui doit subsister pour toutes les valeurs de jr^j^, comprises entre les limites de l'intégrale double, ou pour tous les points du plan jcy situés dans l'intérieur du quadrilatère ABDC,/^. I, p. 76,

Les quatre ternies suivants, renfermant ^z sous un signe de substitution, font naitrc les quatre équations aux limites

l32 CALCUL DES > ARIATIOKS.

qui doivent subsister pour les points du contour ABDC, la première le long de la courbe inférieure AC (y = y,), la seconde le long de la courbe supérieure BD (y^rj-j), la troisième le long de la droite AB (x=nXi), la quatrième le long de la droite CD [x = x^). On peut, du reste, réunir les deux premières conditions dans cet énoncé unique que Qdx — P^' doit être nul le long des deux courbes AC, BD, les diflerenlielles dx^ dy étant relatives à ces courbes. On énonce de même les deux dernières conditions à la fois en disant que P doit être nul le long des deux droites AB et CD; or, comme ces droites sont perpendiculaires à l'axedes x^ dx est nul pour cbacuned'elles, et l'équation P = o entraîne celle-ci (^dx — Vrly = o ; donc, pour que Tensemble des (onditions (2) soit satisfait, il faut et il suffit que Ion ait

QfIj: — Vdf=o

le long du contour entier auquel s'étend le cliamp de l'intégrale double, les différentielles dx, dy étant relatives à ce contour.

Cet énoncé comprend évidemment autant de conditions distinctes qu'il y a de côtés dans le contour limite. Le plus souvent il y eu quatre; mais rien n'empèclie que leur nombre soit })lus grand, et que les fonctions j^,, y^ ou les courbes AC, BD cessent d'ètie continues ou soient formées de plusieurs paities de nature dilîérente. Quelquefois aussi il peut arriver (jue les côtés rectilignes AB, CD disparaissent et (jue le contour se réduise à deux courbe? ou même à une seule courbe continue et fermée de toute part. L'équation Qdx — Pdf=o. ou l'ensemble des équations (2), représente donc un nombre de conditions plus ou moins grand selon la nature des limites de 1 intégrale.

Enfin les ({uatre derniers t(;rnies de dS contenant les

MAXIMA ET MINIMA DES INTÉGRALES DOUBLES. l33

variations êxi, ôx^f ôfn Jjj, dont les deux premières, ou âXi, âxi sortent du signe intégral parce qu elles sont indépendantes de y, donnent les quatre nouvelles équations aux limites

dont les deux premières exigent qu'on ait V = o pour tous les points des deux courbes AC, BD, et les deux autres que l'intégrale /V^^, prise le long de la droite AH ou le long de la droite CD, soit nulle.

07. 1^'équation indéfinie (i) reste toujours la même, quelles que soient les restrictions apportées aux limites de l'intégrale ou aux valeurs limites de z, p, g-^ c'est une équation aux différences partielles du second ordre. Supposons qu'on sache l'intégrer et qu'elle conduise à une équation primitive entre x, j^, z et deux fonctions arbitraires. On disposera de ces fonctions pour satisfaire à doux équations aux limites, lesquelles seront différentes selon les restrictions admises, que nous allons discuter.

i" Les limites de l'intégrale sont données. — Les quatre derniers ternies de oS disparaissent avec les variations dxxy à Xi, J/i , ojsj qui sont nulles, elles équations (3) cessent d'avoir lieu. Les équations aux limites se réduisent alors au système (2) ou à la condition

(4) - Q^-Pr/j = o,

(jui doit subsister pour tous les points du contour limite et. à laquelle les deux fonctions arbitraires doivent satisfais». Or, pour (lot<M'miner complètement ces fonctions, il

l34 CALCUL DES VAKIATIOKS.

suffit de deux équations, tandis que la condition (4) représente, comme on l'a vu, autant d'équations distinctes qu'il y a de côtés ou de courbes différentes dans le contour limite. Il en résulte que si les côtés rectilignes AB, CD ne sont pas nuls, ou mieux, que si dans la composition du contour limite il entre plus de deux courbes distinctes, le problème n'aura pas de solution, à moins toutefois qu'il n'arrive accidentellement que les formes des fonctions arbitraires qui conviennent à deux de ces courbes, conviennent en même temps à toutes les autres.

Lorsque z représente l'ordonnée d'une surface qu'il s'agit de déterminer de manière à rendre l'intégrale S maximum ou minimum, l'hj'jiotlièse ou la restriction que nous venons de considérer, signifie que la surface cherchée doit être comprise entre certaines parois cylindriques normales au plan xy et données par les équations

1^ Les limitas rie Vinlégrafe sont données, ainsi que las valeurs limites rie la fonction z. — Tous les termes de âS affectés de substitution sont identiquement nuls et les équations aux limites ('i) et (3) disparaissent par conséquent. Mais la suriace cherchée est alors assujettie à passer par certaines courbes dans l'espace, courbes qui sont connues, puisqn'on a (îonné non-seulement leurs projections sur le plan .ry, ou le contour limite, mais aussi les valeurs conespondanles de Tonlonnée z. Or, quand on aura fait passer la suiface par deux courbes données, les deux fonctions aibilraires seront déterminées 5 si le nombre des courbes ou des côtés du contour limite était plus grand, on aurait donc plus de conditions que ne peuvent en vérifier, généralement, les fonctions arbitraires, et le problème serait inj possible.

3*^ La valeur de z aux limites de Vinléi^rale est

MÀXIMÀ ET MINIMA DES INTÉGRALES DOUBLES. l35

constante et donnée, ces limites étant elles-mêmes variables. — Cela veut dire que la surface clierchée est seulement assujettie à se terminer dans un plan donné parallèle au plan xj. Puisque nous supposons

k étant une quantité constante et donnée, nous aurons, en prenant (n^ 30) la variation des deux membres de ces équations

Si, dans la variation de l'intégrale, on réunit deux à deux les termes affectés de la même substitution, on obtiendra quatre expressions déCnies renfermant chacune deux variations devenues fonctions l'une de Fautre en vertu des relations qui précèdent. Donc, en éliminant une de ces variations et égalant à zéro le cocfîicient de l'autre, on en déduira quatre équations aux limites, qui devront remplacer les systèmes (2) et (3). Considérons, par exemple, les deux termes affectés de la substitution j^ =^1, qui,

réunis en un seul, deviennent

après avoir éliminé âz à Taide de la relation âz-{-q^yi=:o^ qui doit avoir lieu, comme on Ta vu tout à riicure, j)oni la limite inférieure de y^ égalons à zéro le cocflicient de ây^-^ il viendra

l36 CALCUL DES VARIATIONS.

On aura également pour la limite supérieure dey ,

Les deux termes de oS, affeclés de la substitution X =^ Xi, donnent de même la somme

V^x, + V§z)dx;

éliminant Jz, en se servant de la relation dz -{- pdxi=o, qui doit être vérifiée pour la limite inférieure de x, et égalant à zéro le coefficient de la variation âXi, qu'on aura fait sortir du signe intégral, puisqu'elle n'est au fond qu'une constante arbitraire, on trouvera

{y—l^p)dy=o,

et, de même, pour la limite supérieure de j:,

/ / (Y—Pp)dj=:o.

En résumé, il résulte de cette discussion qu'on doit avoir /( V — l?p) dy = o, l'intégrale étant prise le long de l'une ou de Tau ire des droites AB, CD [fig- i), et

V — (Q — V -—\ q = o pour chacune des deux courbes

AC, BD, la dérivée ~ étant relative à ces courbes. Mais,-

puisque z est supposée constante le long des courbes dont il s'agit, sa diiîcieuliellc totale dz=:pdx-\-qdy sera nulle pour chacune d'elles, et l'on aura, par conséquent,

dy p

pd.r ^- <idy --. o , — — ;

dx (j

MAXIMA. ET MlJVIiMA DES INTÉGRALES DOUBLES. l^y

donc, en définitive, l«s nouvelles conditions aux limites exigent qu'on ait ^

(5) \ — Vp — qq=o

pouf chacune des courbes r :=:jr.,i,j =y^-, et

(6) f{\-Pp)dr::=0 : y.

pour chacune des droites x = Xi, a: =3:3, l'intégrale étant prise le long de ces droites entre les limites j^i et^a de la variable y.

4° Les "valeurs limites de x,y, z sont liées entre elles par des relations données quelconques. — C'est le cas où la surface cherchée est seulement assujettie à avoir son contour limite sur une ou plusieurs surfaces données que nous appellerons surfaces terminales. Soit i; = f(x, j^) l'équation de l'une de ces surfaces, par exemple, de celle qui correspond à la limite inférieure

dej^, et désignons par p' ^ <7'les dérivées partielles —5 — ?

de z relatives à cette surface; la restriction ; ainsi établie

entraînera

et permettra d'éliminer dz de la somme

ril

V^j.+ (q-P^) ^z\dj

des deux termes qui, dans la variation de l'intégrale, sont affectés de la substitution y = 7^1. Ces termes alors ne

fourniront plus qu'une seule équation,

qu'on pourra écrire simplement

en ajoutant qu'elle doit subsister pour l'intersection de la surface cherchée et de la surface terminale, ou plutôt pour tous les points de sa projection sur le plan xy, la dérivée

^ étant relative a cette même projection. Cette dérivée

est d'ailleurs facile à déterminer. En effet, puisque les équations différentielles des deux surfaces dont il s'agit,

clz= pdx + qdy^ dz -= p'dx -f- q'dj,

, subsistent simultanément pour leur intersection commune, on aura pour cette même intersection

pdx-\-cidy=zp'd.x^q'dy, ou ^-f- =, — ^ ~ ^ ,

dx q — q'

valeur qui, substituée dans l'équation (7), lui fait prendre la forme plus symétrique

Nous n'avons pas besoin d'ajouter qu'une équation toute semblable doit avoir lieu pour la surface terminale correspondante à la limite supérieure dey, avec la seule modification, bien entendu, que//, q' signifieront alors les dérivées partielles de l'ordonnée z de cette dernière surface. En général, quel que soit le nombre des surfaces données qui doivent limiter la surface cherchée dans le sens des y, la condition (8) aura lieu pour l'intersection de chacune d'elles avec cette dernière surface.

Considérons à présent le cas plus particulier où la surface donnée z = f (x, j), dz z=p'dx -f- q'dj, doit servir de limite inférieure dans le sens des a, où, par conséquent, son intersection avec là surface cherchée est assujettie à se projeter sur le plan xj suivant une droite perpendiculaire à l'axe des x.

La condition ainsi établie

entraînera

J \bz-\-[p-p')§x]=:o,

et permetlra d'éliminer ^ z de la somme

des deux termes qui dans la variation de l'intégrale sont affectés de la substitution x = Xi. Ces termes alors ne fourniront plus qu'une seule équation

j'J ]\.-¥(p-y)\dr = 0:

qu'on pourra écrire simplement ' '

(,o) J^Y-V{p-p')}dx=o,

en ajoutant que l'intégrale doit être prise le long de la projection sur le plan xj de rinterseciion dont il s'agit, c'est-à-dire le long de la droite AB (j^^. i). Une équation semblable aurait lieu pour la limite x^, ou pour la droite CD, s'il existait de ce côté une seconde surface terminale.