Pour généraliser cette dernière espèce de restric

l4o CALCUL DES VARIATIOKS.

lion, supposons que la surface cherchée doive se terminer quelque pari, par exemple vers la limite inférieure dej, dans une surface donnée z= f (x, j)^ ou dz=p' dx-{-q' dr ^ et qu'en outre Fintersection des deux surfaces doive se projeter sur le plan xy suivant une droite donnée de direction. Soit a la tangente de l'angle compris entre cette direction et l'axe des X'^ on aura à la fois les deux conditions

fV-f(-r)!=o, |i

On tirera de la première

et de la seconde

' dx

h étant une constante arbitraire, ce qui réduit à

les deux termes de^S affectés de la substitution y =ij^^ lesquels alors ne donneront plus que la seule équation

(") /|V-Pb-y)-Q(î-9')j<ix = o,

l'intégrale étant prise le long de la projection rectiligpe dont il s'agit. A la différentielle de l'abscisse x on peut substituer celle de l'ordonnée y ou celle de la longueur / delà projection, puisqu'on a

dx dy . y/c^2 -f- dy"" dl

a étant une quantité constante-, l'équation (ii) prend

MAXIMA ET MIWIMA DES INTÉGRALES DOUBLES. Ij^ l

ainsi la forme plus symétrique '

(12) f[y-iHp-p')-Q{q-g')\di = or :■ ■

L'équation (10) n'est qu'un cas particulier de celle-ci; car en supposant la projection roctiligne perpendiculaire à l'axe des x, on a dx = o, dj = dl, et dz = qdy = (fdy^ on q — q'z=zo. Le résultat définitif de cette discussion peut donc s'énoncer dans les termes suivants :

Si la surface cherchée est seulement assujettie à se terminer dans une surface donnée, ^ = f(a:, j), ou ^z = z?'^ -i- <7W/^, l'équation (8)

doit avoir lieu pour tous les points de la projection sur le plan xy de Finlerscction commune des deux surfaces; mais s'il faut en outre que cette projection soit une ligne droite de direction donnée, il sullit que l'on ait (12)

l'intégrale étant prise le long de la projection dont il s'agit. Les restrictions admises dans la troisième hypothèse ne sont évidemment que des cas particuliers de l'hypothèse plus générale que nous venons de discuter. Ajoutons que dans ces deux hypothèses le nombre des équations de condition sera plus grand ({ue celui des fonctions à déterminer, chaque fois que le contour limite se composera de plus de deux parties ou arcs de courbe distincts; on seia donc le plus souvent forcé d'admettre que ces arcs se réduisent à deux, c'est-à-dire que les fonctions j^, et j\ deviennent égales pour les valeurs extrêmes de x.

09. 1V„ On cherche le niaxiinuin ou le nuiiiimun de V intégrale double

l42 CALCUL DES VARIATIONS. "

dans laquelle

z étant une fonction inconnue de x, y^ et p, rj, r, 5, t ses dériuées partielles du premier et du second ordre.

Nous avons déjà trouvé (p. 76) la variation de celte intégrale^ et pour lui donner la forme définitive qu'exige l'application de la règle du n^ 52, il ne reste qu'à décomposer les signes de subslitulion double en signes de substitution simple, en remplaçant en même temps les dérivées symboliques —1 -7-77 dej^ par les dérivées réelles

soitdej^i, soit dcj 2 q^i'cH^s représentent. Mais cette préparation tant de fois expliquée est trop simple pour qu'il soit nécessaire de récrire ici la variation de l intégrale sous .^a nouvelle forme, d'autant plus que la forme abrégée de la page y6 se prête tout aussi bien à la rcclierclie des conditions de maxinmm ou de minimum, et permet de les mieux embrasser d'un seul coup d'oeil, quand une fois on a bien saisi l'esprit de la règle dont il s'agit, et des notations admises. Il suflira donc d'énumérer les diflerentes équations que l'on obtient lorsqu'on égale à zéro la variation de l'intégrale, en y regardant d'abord les varialions de la fonction z et des limites x,, .T'a, J'iî.^'s comme aibitraires et indépendantes les unes des autres, [.e premier terme donne l'écjuation indéfinie

./P ./Q ti'K rPS r/'T

qui doit subsister pour toutes les valeurs de x^ y comprises entre les limites de l'intégrale double. C'est une équation aux dérivées partielles du quatrième ordre; et l'équation primitive, lorsqu'elle existe, ou la relation linie entre .r, j, z qui y satisfait de la manière la plus

j MAXIMA ET MIMMA DES IKTÉGRALES DOUBLES. l43

générale, renferme au plus quatre fonctions arbitraires, dont on peut disposer en général pour satisfaire à quatre équations aux limites. .

Les termes en dz et — r— sous les signes f^ donnent

( Ry^S/-hT = o,

équations qui doivent avoir lieu pour chacune des courbes limites y =}"i, y =j^2, les dérivées j)^,!^', étant lelalives à ces courbes.

/ ? - Les termes en oz et — -^ sous les signes // donnent de

même les deux équations

(3) ' <l-^ dy

qui doivent être vérifiées le long des deux droites .r =:t:,,

Le terme en àz sous les signes // fournit l'équation

qui n'a besoin d'être vérifiée qu'en chacun des (jualre points A, B, C, D (//^. i, p. 76), où les deux courbes rencontrent les deux droites, la dérivée 7^ étant en chaque point relative à la courbe qui y aboutit.

Enfin les termes renfermant les variations cJj) ,, ojg, (J,r,, àx^ qui sont indépendantes les deux premières dey, les deux dernières de x^ y^ donnent naissance aux équations

l44 CALCUL DES VARIAIIOKS.

dont la première se rapporte aux deux courbesy = y,, y= ji, et la seconde aux deux droites x =Xi^ x = Xt^ l'intégrale f^dj devant être prise le long de l'une ou de l'autre de ces droites.

Comme chacune des équations (2), (3), (5) doit avoir lieu pour deux courbes ou pour deux droites différentes, tandis que l'équation (4 ) doit subsister pour quatre points distincts, le nombre total des équations aux limites est seize,

70. Lorsque les limites sont fixes, les équations (5) cessent d'avoir lieu et il ne reste plus que douze équations aux limites. Ce nombre étant toujours supérieur à celui des fonctions arbitraires, il n'est pas possible en général de les vérifier toutes à la fois. Dans le cas, cependant, où les côtés rectiligncs disparaissent, c'est-à-dire où le contour limite se réduit à deux courbes, les équations (3) et (4) s'en vont et il ne reste plus que le système (2), qui se résout, comme on l'a vu, eu quatre conditions distinctes, nécessaires et suffisantes pour déterminer les fonctions arbitraires. Dans ce cas, on a donc lieu de penser que le problème du maximum ou du minimum admet une solution.

71. La première des équations (2) est peu symétrique à cause de la dérivée seconde j" qu'elle renferme-, mais en éliminant celte dérivée on rétablira la symétrie et l'on prouvera en même temps que les équations (2) comprennent comme cas particnliei" les deux é(jnalions (3). En effet, si l'on différentie la seconde éqnalion (2)

R/'— Sy H-T=:o,

en y regardant y comme'une fonction de x, ainsi que cela doit être, puisque ccHc équation se rapporte à l'une des

MAXIMA ET MIMMA DES INTÉGRALES DOUBLES. l /^^

courbes limites j)=j'i on }' =^5, oji aura

Entre celte équation et la première des éqilalions (a) on peut éliminer j^''; le résultat ne renfermera plus que y avec ses puissances seconde et troisième, cl on le rendra linéaire en j^ en faisant servir de nouveau l'équation

l\/' — Sj' -h ï = G

à l'élimination successive de j'^^ ^^j''- Quand on aura effectué ce calcul, qui ne présente d'autre difficulté que sp longueur, et qu'on aura multiplié par une puissance convenable de dx^ on verra le système (2) prendre la forme symétrique

\ R dy — S da: dy -h T dx'' =^ o .

Telles sont les conditions à remplir par la fonction z le long des deux courbes j^ ==^J'i5 J ^^J's) ou mieux le long de chacune des courbes limites, quel que soit leur nombre. On peut même, pour généraliser, les étendre aux côtés recliligncs x = x^.^ .r == x,, lorsqu'ils existent. En effet, la valeur nulle de la différentielle dx (|ui caractérise ces deux cotés, réduit les équations (6), la seconde; à