V - P./ = o, ou, en substituant les valeurs de V et de P

a étant une constante arbitraire. Il on résiilie

j = ±: , dx = ,

et, en intégrant de nouveau,

x-l^ + aP-^'^^"-''-

h étant une nouvelle constante arbitraire. De cette dcriiière équation, on tire successivement

rt:

y -f- y r' — «' - = ne

206 CALCUL DÉS VARÎATtOIVS.

et par suite

équation d'une chaînette, qui est la courbe cherchée. Si l'on appelle directrice la droite par rapport à laquelle la chaînette a la propriété caractéristique d'avoir son rayon de courbure égal à la normale, on peut ajouter que la chaînette a pour directrice l'axe même de révolution.

Les limites de l'intégrale, ainsi que les valeurs limites dej^, étant (îxes, il nV a pas d'équations aux limites; on disposera alors des constantes a et Z>, de manière à faire passer la chaînette par les deux points donnés. Si ces points n'étaient pas fixes, mais seulement assujettis à se trouver sur deux courbes données, et que y =r: f (x) fût l'équation de Tune ou de 1 autre de ces courbes, ou aurait pour la limite correspondante

V — [y — r(x)]p, =ro, ou I -h/r(x) = o;

la chaînette devrait donc être normale à chacune des courbes limites.

i03. Nous venons de dire que, lorsque les deux points extrêmes sont donnés, les (onstantcs «, h doivent être déterminécîs par la condition même (ju(î la chaînette passe par ces points. Mais pour que cela soit possible, c'est-àdire pour (pi'on puiss<; joindre les deux points donnés par une chaînette ayant pour directrice l'axe de révolution, la distance entre ces points ne doit pas excéder une (certaine limite ([ui dépend de leurs ordonnées ou de leurs distances à l'axe. Remarquons d'abord que si l'on prend pour origine des coordonnées le point de l'axe au(|uel correspond la plus petite ordonnée y = «, on aura h = oi

• ^ COURBES TLANES. 207

l'équation de la chaînette prendra la forme plus simple

(3) y = ^ye'+e~

ei l'on trouvera, en divisant par a:,