NEUVIEME LEÇON

Ucitliei-cliu do courbes planes ayant des propriétés de niaxinuun ou minininni. — Li{;nc la plus courte entre deux })oints. — C-ourhc de longueur donnée renrcrmanl l'aire niaxima. — Ciuirlic qui engendre la s\ir(a(e de rcvolulion niiiiiina. — Courl»e de longueur donnée qui en{;cndre la itlus rraiule ou la plus pelile surl'ace de révolution. — Courbe de lon- ;;ueur donnée »jui enjjcndre le solide de révolution du plus grand ou du plus petit volume. — Courbe génératrice de la surface de révolution q«û sous une étendue superficielle donnée rejiferjne le plus grand ou le plus petit volume.

99. Parmi les applications du Calcul des "variations à la Gcomclric, les plus simples sont celles où l'eu clierclie lies courbes planes jouissant de certaines propriétés tic maximum ou de mininuim. L'équation de la courbe etanl rapportée à un système de coordonnées rectangnlaircîs .r, y, la question rcîvient toujours à déterminer j^ en fonction de x àa manière à faire acquérir à une ceriaine intégrale ou à une certaine expressiou définie sa plus grande ou sa j>lus petite valeur. La marche à suivre pour résoudre toutes les (jueslions de ce genre ayant été expli(]iiée avec détail dans la sixième leçon, il nous suffira i.\c. passer en revue d'uPi coup d'oeil rapide les formules dont nous aurons besoin.

Dans les problèmes dont la résolution sera l'objet de cette leçon, 1 inlégiale qu il s'agit de rendre maximum ou minimum ne riinferme avec la vaiiable x et la fonc-

lion j^ que la dérivée du premier ordre y' . La question à résoudre est donc celle-ci :

Etant donnée une fonction V de x^ y^ y'\ trouver la relation entre y et x pour laquelle tinté grale

Vdx

devienne maximum ou minimum.

Si l'on appelle P, Pj , les dérivées partielles de V relatives ày, j^i , la variation complète de l'intégrale sera

La forme cliercliée de la fonction y doit rendre oS nulle et par conséquent satisfaire d'abord à Téqualion différentielle du second ordre

laquelle, par deux iiité^ralions successives, donnera la relation cherchée entre x,y^ avec deux constantes arbitraires.

L'é(jualion (1) s'intègre iinraédiatement une première fois lors(pie ^ ne renfcime pas la variable x, mais seulement y-i y't et elle conduit alors (n"01) à l'équation' diiïéientielle du premier ordic

c étant une constante arbitraire.

Lorsque V ne rcnfeime pasy, on a P = o. et l'équa-

lion (i), devenue --— ^ =r o et intégrée, donne

P, = constante.

Dans le cas plus particulier encore où V et par conséquent Pi est fonction de la seule dérivée y, il en résulte y' = constante, et, par suite, en désignant par a alb des constantes arbitraires ^

é(|nalion d'une droite qui est alors la ligne cherchée.

Les équations aux limites se modifient selon les. restrictions imposées aux valeurs limites de x, y, ou aux points extrêmes de la courbe cherchée. On remarque surtout les cas suivants :

1" La courbe doit être menée entre deux points fixes. — i^es valeurs limites de ;r, y., étant données, la variation 'ÎS ne fournira aucune nouvelle condition relative aux limites.

2" La courbe doit être menée entre deux droites fixes parallèles à V axe des y. — Les valeurs limites de x étant données et celles dey restant variables, on aur; (n*^57, i^) les nouvelles conditions

on les énonce plus simplement en disant que l'équation

doit être vérifiée aux' deux limites de la couibe.

3" Lja courbe doit être menée entre deux droites fixes parallèles à l'axe des x. — Les valeurs limites de r étant données et celles de x restant variables, on aura

(n** 57, 3°) les équations aux limites

ou , plus simplement ,

pour chacune des limites de la courbe. Dans le cas particulier où V ne renferme pas x, nous avons vu que l'équation générale de la courbe prend la forme V — P ^ i '= c-, la condition (4) exige alors qu'on ait c = o.

4" La courbe doit être menée entre deux lignes quelconques. — Soit y = f ( j:^) l'équation de Tune ou de l'autre de ces lignes- les coordonnées de l'extrémité correspondante de la courbe étant assujetties à vérifier cette même équation doivent en outre (n^ 57, 4^^) satisfaire à celle-ci

condition qui, en vertu de Téqualion (2), se réduit simplement à c -l-Pif'(x) = 0, lorsque V ne contient pas x.

Les équations aux limites, jointes aux restrictions posées à priori, serviront toujours à déterminer soit les points extrêmes de la courbe, soit les constantes arbitraires contenues dans son équation.

Les formules simples que nous venons de rappeler suffisent à la résolution des problèmes suivants :

PnoiîLiùME 1 .

iOO. Trouver la ligne la plus courte entre deuX points donnés.

La longueur d une couibe plane étant en général exprimée par l'intégrale

il s'agit de déterminer^ en fonction de x de manière que cette intégrale soit un minimum. En conservant les notalions du numéro précédent, on a

et l'équation indéfinie P ^ = o devient

Il en résulte

= o, ou P, = constante.

et en intégrant

y^ax-^ h.

équation d'une droite qui est la ligne cherchée. Les constantes arbitraires a et h seront déterminées parla condition que la droite doit passer par les deux points donnés.

L'examen de la variation seconde (n" 97) montre que le minimum a réellement lieu, pourvu que les deux conditions suivantes soient remplies, à savoir : i" que le

rapport des deux dérivées — -> -— ne prenne pas la même

^ da du ^ ^

valeur pour deux valeurs diQércntes de .r, comprises entre les limites de l'intégration ; 2" que la dérivée par-

lielle du second ordre -—- reste constamment positive

dy '

entre ces mêmes limites. Or, on a dans le cas actuel

da d'\ 1

± ' ' dj db

valeurs qui satisfont évidemment aux conditions dont il s'agit. Donc la solution (i) correspond à un vrai minimum de l'intégrale proposée.

Considérons maintenant quelques modifications du problème que nous venons de résoudre.

i^ Si Ton ne fixe que les limites de x, en laissant indéterminées les valeurs limites dey, ce qui revient à clierclier la ligne la plus courte entre deux droites parallèles à Taxe dasj, Téquation indéfinie (i) restera la même et l'on aura en outre

P, = o, ou jr'=o,

pour les deux limites, ce qui prouve (jue la ligne minima est perpendiculaire aux deux droites parallèles.

2*^ Si Ton fixe, au contraire, les valeurs extrêmes de }, sans déterminer celles de x, c'est-à-dire si l'on cherche la ligne la plus courte entre deux droites données parallèles à l'axe des j", l'équation

qui alors aura lieu aux deux limites, donne

(;t piouve ainsi que la ligne cherchée est encore perpendiculaire aux deux droites doiniées.

3" Considérons enfin le cas plus généial où les exirémités de la ligne cherchée sont seulement assujetties à se trouver sur deux courbes données. Soit y = f (x) l'pquation de l'une de ces courbes, par exemple de celle qui correspond à la limite inlerieure, de sorte que la foiictiony soit assujettie à priori à la restriction

' ■ ÇOIJ^BES PLANES. *ao3

on aura pour la même limite la condition > >'.

V— [j'-r(x)]P.=:0, ou H-/f'(^)=:0,

et on en conclura que la ligne cherchée, qui est toujours une ligne droite , est normale à chacune des courbes limites données.

Problème IL

lOi. Une courbe plane étant donnée, trouver une seconde courbe de longueur donnée et telle ^ que Vaire comprise entre les deux courbes soit un maximum.

Soitj^ = f (x) Téquation de la courbe donnée; l'aire qu'il faut rendre maximum, et la longueur de lare qui doit rester constante, étant exprimées respectivement par les intégrales

ie problème se réduira à chercher le maximum absolu de la somme

\y-{(a:)-csji-^y'^\da:.

c étant une quantité constante, mais inconnue, dont on disposera à la fin du calcul de manière que l'arc de courbe cherché ait la longueur requise. On aura

■.y—{(^a:) — cs,li-^y'\ P=i, P,

la fôrnuile P r- = o donnera successivement

dP, dx

dz(x — a)dx

Slc^-[x~af

2o4 CALCLiL DES VÂRÏATIOKS.

et, en iiitëgiant, .

équation d'un cercle qui est la ligne cherchée.

Puisque les extrémités de l'art; doivent se trouver nui ia courbe donnée, les valeurs limites dex,y sont liées eiUre elles par les conditions

dont il faut tenir (■om])te dans la reclierchc des é(|ualions aux limites. On trouve alors (n^^ 57, 4'M pour chacune lies limites

(2) i-hr'r(x) — o,

équation qui exprime que les deux courbes sont normales l'une à l'autre aux points de leurs intersections.

Il en résulte, en particulier, que si la première courbe t'st une droite, la seconde, dont la longueur est donnée et qui cij'conscrit avec la première la plus grande aire possible, scia une deiui-circonféi'ence.

INous avons supposé, dans ce qui ])iécède, <pie les points extrêmes de Varc. cberehé pouvaient se déplacer sur la courbe donnée j=: f (x). Si, au contraire, ces points étaient entièrement fixes, il n'y auiait plus d'équation aux limites, et les constantes r/, /;, c seraient déterminées par les conditions c|ue l'arc de ceicle doit passer par les points iixcs et avoir entre ces points une longueur donjiée.

Probliîme 111.

102. Entre deux points donnés^ mener une courhe telle, que la surface eJigendrce par sa ré\'olution aal ont (l'un axe donné soii un niiniinuni.

COURBES PLANES. 2o5

Si Ton prend l'axe de révolution pour axe des x, F intégrale qu'il s'agit de rendre minimum est

On a donc

v=rv !-+-/% p = vT+7^, p, =

ii-\-y"'

et la fonciion j doit satisfaire à l'équation

Or, comme V ne renferme pas explicitement la variable indépendante x, cette équation différentielle du second ordre s'intègre immédiatement une fois (n° 61 ) et donne