IZ(I

d'où il résulte ([uc les faces pianos Ai, Aj. sont également nulles. En résumé le solide maximum est enveloppé en tous sens pai' les deux surfaces Ci et C5, qui sont en réalité les deux nappes d'une même surface couibe, caractérisée pai* l'équation

d'ailleurs, les équations {■1) v\ (3) font voii- que les deux nappes sont perpendiculaires au plan xj. le long de leur arête commune, d'où l'on conclura ([ue les deux nappes se raccordent et se fondent rune dans lautre le long du contour commun ou font réellement une seule surface fermée, donc la courbure moyenne esl constaute et égale

La sphèi'c au ravou ia remplit cette condition, et

l'on sait par d'autres considérations que la splicie est en elfet la solution vraie et unique de notJC problème. Mais pour arriver par \v. calcul des variations à exclure toute autre solution, il faudrait prouver qucî la sphère est la seule surface fermée dont la courbure moyenne reste constante^ or cette démonstration est restée juscpi'ici aud<'ssus des forces de l'anaUse.

^^PLICATIOWS A DES INTÉGRALES TPaPLES 35 i

'«f Problême XXVIII.

179. Quelle doit être la loi de la densité dans un ^ corps dont la forme, la position et la masse sont connues, pour que, u exprimant la densité au point dont les coodonnées sont x^ y, zr, l'intégrale

soit un minimum? llc.st d'ailleurs sous-entendu que cette intégrale est prise dans toute V étendue du corps cherché. i.a masse du corps ayaiil pour cxi^esslon /Jfudzdydx, on doit chercher le minimum absolu de rinié^rale

le multiplicateur indélerminé étant représenté par -•

En faisant, pour abiéger,

'""";i^r' '^~ijy ''=Yz' .•=:v/'-+-/--4-7^4-/S et conservant d'ailleurs les notations du n" 7>i , on a N = l, p^P, ^^1^ ,,^^.

et l'on trouve l'équation indéfinie

(Iz

<)nl (Iricrmiiic la Kii i;('-iiôr:ili- de la dcnsilô

352 CALCUL DES VACI ATIOIVS.

Si l'on appelle x, /3, y les angles compris entre la iior- ^ maie à la surface du corps et les axes des coordonnées, on aura en outre (n° 75) en chaque point de la surface . -

P cos a. -\- Q cos p -h R cos 7 = 0, ou

( 2 ) p cos c/. -r- q cos p -f- r cos 7 = 0,

et c'est la condition unique à laquelle se réduisent les équations aux limites, lorsque les limites de l'intégrale, ou les suifaces limites du corps, sont données.

Parmi les intéi^ralcs particulières de l'équation (1), on remarquera la suivante

(3) (x — ly 4- (r — my 4- (z - n)' -h (a — /)' =r 9/3'

annlogue aux équations du cercle et de la sphère. Pour qu'elle représentât la solution véritable du problème, il faudrait que la densité assignée à la limite du corps ou sur toute sa surface fût précisément celle que l'on déduirait de l'équation (3) résolue par rapport à ii. C'est ce qui aurait lieu si le corps en question était une sphère dont la densité u fût constante et donnée en chaque point de la surface, et l'on en conclurait qu'en ce cas l'équation (3) représenterait la loi de densité pour laquelh* l'inlégrale proposée deviendrait minimum.

\M l L l»r;s VAIUATIONS.

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