X . dzdy

et la varialion complète de S peut s'écrire, pour abréger, de la manière suivante :

s :v . dz dy

i^y^-) rj.r idz.

Si l'on décomposait toutes les substitutions doubles en substitutions simples correspondantes, on aurait dixhuit termes au lieu de six (jue contient cette équation. Quant aux sii^ncs =h et zp dont nous avons fait usage, afin de res.-errer la formul<î dans le moindre espace possible, il importe peu, pour les conclusions cpie nous allons en tirer, que l'on prenne le signe supéiieurou le signe inféiienr-, il est ulilc cependant d'ijulicpu'i" quel

APPLICATIOAS A DES IIS'TÉGRALES TRIPLES. 34^

sigue il faut prendre. Dans les trois premiers termes , qui n*oiit chacun qu'un seul signe de substitution, le signe -H se combine avec la limite supérieure, et le signe — avec la limite inférieure de la variable à laquelle se rapporte la substitution. Dans les trois derniers termes, renfermant chacun deux signes de substitution , on prendra : i^ sous le signe întcgral , le signe -f-, lorsque les substitutions se rapporteront toutes deux aux limites supérieures ou toutes deux aux limites inférieures des variables, c'esl-à-dire aux combinaisons )',\z,, js Zg, x, Zi^ x^z^, .r,yi , 0^2/2 '-) 1<^ signe — , lorsque les substitutions se rapporteront l'une à une limite supérieure, l'autre à une limite inférieure, ou aux combinaisons^! r:,, 75^15 ^i^g, x^z^, ^iji-i ^îji '•) 2*^ cjL dehors du signe intégral, le signe — ou le signe -f-, suivant que la première des substitutions, en lisant de gauche h droite, se rapporte à la limite supérieure ou à la limite inférieure de la variable qu'elle concerne.

Cette formule est identique au fond avec celle donnée par M. Sarrus^ mais la simplilication appoitée aux notations nous a permis de réunir en six termes la variation ^S, qui se compose chez M. Sarrus de trente expressions défuiies. La forme abrégée a en outre l'avantage de représenter par une seule expression tous les termes de môme nature, dont la discussion s(* ferait de la même manière et donnerait lieu à des (onséquejices analogues.

178. Arrivons aux diverses conclusions que Vo]\ peut tirer de l'équation oS ==: o, lorsque les limites sont entièrement indéterminées ou n'ont été l'objcît d'aucune restriction.

On remarque d'abord (jue cliacpie terme (jul contient en facteur la variation oz^ laquelle représente soit oz^ , sait 0^2, selon le sii^nr de subslilutlou qui précède, four-

nit une équation distincte qui doit avoir lieu dans toute l'étendue de ce terme, à moins que cette étendue ne soit elle-même nulle. Ainsi le premier terme fournit l'équation indéfinie

lue

sji-Jrp'-ï-q

^ "^ dj sj'

lui

parla

ige en deux .

Eiulres, 1 I

relatives, la première à la surface supérieure Cj, et la seconde à la surface inférieure Cj. Ces deux surfaces jouissent donc de la propriété commune d'avoir en chaque jKjint la même courbure moyenne ; elles tournent seulement leur convexité en sens contraires.

Egalé à zéio, le coefficient de ^z dans le quatrième terme donne

V'i -l-A'-l-7'.Vi ■+- y""

le signe -4- se rapportant aux arêtes BjCa et B2C,, le signe — aux arèles Bi Ci, B2C2. Or le premier membre est évidemment le cosinus de l'angle sous lequel les faces B et C se rencontrent le long de l'arête que Ton considère \ donc, puisque ce cosinus est égal à l'unité, chacune des faces Cl, C, se raccorde avec les faces cjdindriques Bi, Bj, ou leur est tangente. Eu outre, réquation(2) fait disparaître ou rend iml identiquement le coefficient de ^j dans le quatrième terme.

Le cinquième terme fournit Téqualion

(jui aj>pailieta avec le signe f- aux arêtes Ait-», As^mj

APPLICATIONS A DES INTÉGRALES TRIPLES. 34g

*;* avec le signe — aux arêtes AjCj, A2C5. Elle exprime que les faces Ci et C? sont normales à l'axe de x le long des arêtes d'intersection, et que, par conséquent, ces faces se raccordent également avec les faces planes A, et Ag, ou leur sont tangentes. Ajoutons que l'équation (3) fait disparaître identiquement le coefficient de dx dans le cinquième terme.

La variation oj^ qui tient la place de dji ou de âj^-) suivant la substitution qui l'affecte, ne dépendant plus que de la variable a:, on la fera sortir des signes /et / relatifs aux variables } et 2 , et Ton réunira tous les termes multipliés par df, en deux groupes précédés l'un du signe

intégral I , l'autre du signe de substitution / 5 on éga-

lera ensuite à zéro le coefficient de dy dans cliacun Je ces groupes. Or puisque l'équation {2) a fait disparaître le coefficient de âj dans le qualriènie terme, celte variation ne figure plus que dans le second cl le sixième teinies. Egalant à zéro le coefficient de ây dans le second terme, on au in aux deux limites de y

cl ny'

<Ia: ^l, ^y

et en intégrant

équation qui se rapporlc avec le signe -j- à la face IL, avec le signe — à la face Hj.

Négligeant le second facteur, qui, éi^alé à zéio, donnerait un cylindre au ravon a. mais laisserait la valeur limite do z eiuièremenl indcterniinée. ou devra avoir

35o CALCUL DES VARIATIONS.

pour chacune des faces cylindriques B, et Bs ; ces deux ^ faces, par conséquent, se réduisent à zéro.

Cette relation en outre rend nul le champ du sixième terme qui disparaît ainsi sans donner lieu à aucune équation.

Reste enfin le troisième terme relatif aux faces planes Aj et As et qui donne pour chacune de ces faces

ci: