Remarque. — Le même triangle donne

•^^ - Pt'- „ QR sin PRO ~ sin POU ^ sin OPR' c'est-à-dire

P ^ Q Il sin(H.Q)^ sin(P.H) " sin(P.Q)"

d8. Produit géométrique de deux vecteurs. — On appelle produit géométrique de deux vecteurs ''1 le produit de leurs valeurs algébriques par le cosinus de l'un quelconque des angles formés par leurs directions positives; nous désignerons le produit géométrique de deux vecteurs a et b parle symboie ^(a.ô); c'est-à-dire que nous poserons symboliquement

ro (fl.i) = a.b. cos (a.b),

en désignant par le symbole (a.ô) l'un quelconque des angles formés par les directions positives des deux vecteurs.

(1) RÉSAi. (Traité de cini'matigiie pure, !863, jiagû 64).

10 PRELIMINAIKES

ly. Remarous. — En vertu de la définition, le produit géométrique de deux vecteurs est nul :

1° Quand l'un quelconque des vecteurs est nul ; 2° Quand les deux vecteurs sont rectangulaires,

20. Théorème. — Lorsque deux vecteurs a et h sont égaux chacun à la somme géométrique de plusieurs autres, le produit géométrique de ces deux vecteurs est égal à la somme algébrique des produits géométriques des vecteurs qui composent le premier par les vecteurs qui composent le second.

Soient w,, Wj,... Wn les vecteurs composants de a, et «1, Vj, ... vk les vecteurs composants de J; il s'agît de prouver que l'on a

le signe s s'étendant à loua les produits que l'on obtient en donnant à i toutes les valeurs depuis i jusqu'à n, et à j toutes les valeurs depuis i jusqu'à k.

Pour cela, projetons orthogonalement les vecteurs v„ «5 Vk el leur résultante b sur le vecteur a; en appliquant îe théorème des projections, on a

bcos{a.b) = o^COs(a.vJ-i-v^cos{a.v^)-\ [-i\cos(a.vk)r

et, en multipliant de part et d'autre par a,

'^{a.l,] = Tn{a.v,) + '^{a.v,)-i [-^(«.u*).

Mais en vertu de cette égalité, on a aussi

^(a.nft) = d («,,)>*) -H KjUj.u/j) H \-T^{Un.Vk);

il en résulte évidemment

ce qui démontre la proposition.