CHAPITRE UNIQUE
21. Corollaire. — Lorsqu'un vecteur est la somme géomé' trique de plusieurs autres, le carré de ce vecteur est égal à la somme des carrés des vecteurs composants augmenlée de deux fois la somme des produits des vecteurs composants deux à deux par te cosinus de l'angle qu'Us forment.
Eq d'autres termes, supposons que le vecteur v soit la somme géométrique des vecteurs v^ , îj^, , , .v^ ; la proposition énoncée signifie que Ion a
«^ = Sui^ + SSw.iij cos {vi,vj).
Pour obtenir ce résultat, il suffit de former leproduit géométrique du vecteur V par lui môme.
22. Décomposition des vecteurs. — On appelle dé(;omposition d'un vecteur v en plusieurs autres l'opération qui consiste à trouver un système <ie vecteurs admettant v comme vecteur résultant. Je vais donner quelques exemples de décomposition des vecteurs,
23. Exemple 1. — Connaissant les directions de deux vecteurs et leur résultante, construire ces deux vecteurs.
En se reportant à la fig. 3, on voit que le problème revient à construire un parallélogramme connaissant la diagonale et les directions des côtÉs; ou bien encore à construire le triangle OPU connaissant un côté et deux angles.
24. Remarque. — A tout problème de construction du triangle OPR, connaissant le côté OR, correspond un problème de décomposition du vecteur OU en deux autres.
23. Exemple II. — Décomposer un vecteur en trois autres de même origine connaissant leurs directions non situées dans le même plan.
PRELIMINAIEliS
Soient OR le vecteur donné, Oa
2G. Remakque.
leur en plusieur une opération
, 0;/, Oj les direclions des vecteurs composants cherchés (^17. 6). Le problème revient évidemment à la construc- ^ tion d'un parallélépi-
pède , connaissant la P diag-onale OR et les di-
-/ * rections des arêtes ; en ^"^ contruisant le contour
OPQR on a en OP, PQ, ^ Qli, les longueurs des
vecteurs composants.
— En général, la décomposition d'un vecautres, dont on donne les directions, est ndéterminéo. Cherchons, par exemple, à décomposer un vecteur OR {/ig-T] en quatre autres ayant des direclions données Ox, O'j, Os, 01. Soit R^, la parallèle à 0( menée par R; sur Ox je prends p. j un point quelcon-
que A et Je mène par ce point la parallèle Aj/j à Oy ; pour achever le polygone des vecteurs il faudra mener une parallèle à Os s'appuyant sur Ay, et sur Ri, et l'on aura ainsi une première solution du problème, ou même une infinité, si les droites Ay, et R(, sont dans le même plan parallèle à Os ; en tous cas, en faisant déplacer le point A sur Ox, on obtient autant de solutions que l'on veut.
