Trouver le centre de gravité du segment de sphère à une

17. Trouver le centre de gravité du volume engendré par la révolution de l'aire comprise entre une parabole, son axe et une ordonnée perpendiculaire, autour de la langente au sommet de la parabole.

18. Trouver le centre de gravité de la portion d'hyperbololde engendrée par l'hypei-liole

tournant autour de l'axe des x, et comprise entre les deu.x plans

19. Sur une droite et en des points également distants les uns des autres, on applique n poids dont chacun est représenté par un numéro d'ordre augmenté du poids précédent ; trouver la résultante et ie centre de gravité du système.

20. Dans n rondelles d'égale épaisseur et de rayons proportionnels à i, 3, 5, .... on découpe des secteurs ayant même angle au centre. On superpose ces secteurs dans leur ordre de grandeur et

de façon que leurs bords rectilignes soient situés dans deux plans verticaux. Montrer que les distances à l'intersection des deus plans, des centres de gravité de la pile ainsi formée et du premier secteur sont entre elles dans le rapport

21. Dans un ciJne de révolution dont l'ouverturQ est 2x on inscrit n sphères tangentes entre elles ; le rayon de la sphère la plus rapprochée du sommet étant i-, trouver la position du centre de gravité de ce système de sphères.

22. On donne une série de circonférences ayant leurs centres en ligne droite et tangentes entre elles extérieurement, de manière que chacune d'elles est tangente à celle qui la précède et à celle qui la suit. On suppose que les rayons forment une progression géométrique décroissante et l'on demande le centre de gravité du système prolongé à l'inlîni.

23. Un corps homogène est formé d'une sphère ayant mi vide intérieur également sphérique. On connaît les rayons des deux sphères et la distance des centres ; déterminer le centre de grarité.

On suspend ce corps par un point A de sa surface extérieure défini par l'angle du rayon OA avec la ligne des centres 00' ; calculer l'angle du rayon OA avec la verticale.

24. Soient le centre et ABCD la base d'un cube de côté A ; on enlève de ce cube la pyramide 0.\BCD et l'on demande de déterminer la position du centre de gravité du solide restant.

25. Deux boules sphériques pesantes A et A', de masses m et m', sont liées l'une à l'autre par un fil inextensible et sans masse, de longueur l ; A peut glisser sans frottement dans une rainure pratiquée sur un plan horizontal, et une fente pratiquée dans la rainure laisse passer le fil AA'. On écarte la boule A' de la verticale de manière que le plan de la rainure et de A' soit vertical, et on abandonne A' à elle-même sans vitesse initiale. Démontrer que le centre de gravité des deux boules décrit une verticale et trouver la trajectoire de A'.

26. Trouver le volume du tronc de cône circulaire ilroiL en appliquant le théorÈmB de Guldin.

27. Lorsque des forces se font équilibre autour d'un mfime point 0, ce point est le cenire de gravité d'un système de points également pesants placés aux extrémités des droites représentatives de ces forces.

28. Lorsque n forces sont appliquées au même point 0, leur résultante passe par le centre de gravité G d'un système de n poids égaux placés aux extrémités des forces, et elle est égale à n X OG.

29. On considère un système de n points matériels pesants A„ Aï,... A„, de poids respectifs pi,pi,... p,„ et une droite i; on mène les perpendiculaires AjOj, Asosi. ■ . A„(i„ sur i et l'on pose

S =pi. A, «i^-H ... +p„.A„aJ.

Soit i' la parallèle à A menée par le centre de gravité du système des n points, et soient A, ai,... A„ o^ les pei'pendiculaires abaissées de ces points sur a'.

On pose encore

So =i>i- Al a,' -h ... . -f-JJjv An 'J-i', et l'on désigne par d la distance des deus parallèles 4 et a' ; prouver que l'on a

S = Sj H- (p, -H Pj -H . . + p,i)d^-