PRIXCIPK DUS VITESSES VIRTUELLES

avec les différentielles, désignons par as:, ôij, 3:, les composantes, suivant les mêmes ases, d'un déplacement quelconque ; nous devrons avoir, pour que le point matériel soit en équilibre,

et cela quels que soient ôcc, Sy, 03, ce qui conduit aux trois équations d'équilibre établies précédemment :

:SX/, .= 0, SY; = 0, Z'ii ~ 0.

2" Point matériel assajetti à glisser sans frottement sur ttne stcT'

Considérons maintenant un point matériel assujetti à glisser sans frottement sur une surface et soumis à l'action de plusieurs forces Fi, Fs, ...F,,. Nous avons vu que l'on peut considérer ce point comme libre, pourvu que l'on joigne aux forces Fj, Fa,..F„, qui sollicitent le point, la réaction normale N de la surface. Si donc X/, Y,-, 2; sont les composantes de la force F; suivant trois axes et X, Y, Z celles de N suivant les mêmes axes, on aura, en vertu du théorème précédent, et pour tout déplacement Si",

(1) (X + ï;X,)3^+(Y+ SYy)3y + (Z + ÏZ;)a; = 0.

Parmi les déplacements du point, considérons seulement ceux qui sont sur la surface ou, comme on a l'habitude de dire, ceux qui sont compatibles avec les liaisons ; tous CCS déplacements élant normaux à N, le travail de N est nul, de sorte que dans l'égalité (f) la somme XSa; -f- YSy -(- ZSî est nulle et l'égalité se réduit à S3?.2X( + Si/SYf+3;2Z; = 0,

sous la condition que Sat, 3j/, 3; sont les composantes d'un déplacement quelconque sur la surface. On conclut de là que si un point matériel assujetti à glisser sans frottement sur une surface est en équilibre, la somme algébrique des tranausi élémentaires des forces qui agissent sur le point est nulle pour tout déplacement conçu sur la surface.

La réciproque est vraie ; car si la somme des travaux élémentaires, pour tout déplacement conçu sur la surface, est nulle, la résultante des forces qui a^ssent sur le point est normale â la surface, puisqu'elle est normale à tout déplacement sur la surface, et, par suite, le point est en équilibre. En résumé, pour qu'un point matériel assujetti à glisser sans frottement sur une surface soit en équilibre, il faut et il suffit que la somme algébrique des

X virtuels de toutes les forces directement appliquées au point soit nulle pour tout déplacement compatible avec les liaisons.

Le théorème ainsi énoncé s'étend à un point matériel libre ou assujetti à glisser sans frottement sur une ligne, et porte le nom i6 principe des vitesses virtuelles.

Appliquons-le, par exemple, à la recherche des conditions d'équilibre d'un point assujetti à glisser sans frottement sur une surface. Soient

m fl«, t. .-) =

l'équation cartésienne de la surface et X, Y, Z les composantes, suivant les axes, de la résultante des forces directement appliquées au point. En vertu du principe des vitesses virtuelles, on doit avoir

(3) Xûa; + YSi/-l-ZS^ =

pour tout déplacement Sa;, 3i/, Ss sur la surface représentée par l'équation (2), c'est-à-dire pour toutes les valeurs de Sa;, Sy et S; satisfaisant à la relation

<)/■, àf. i^f- „

Cela revient à dire évidemment que l'on peut déterminer un facteur — ^ tel que l'équation

soit identiquement satisfaite, quels que soient Sa conclut les équations d'équilibre déjà trouvées :

On trouverait de même les équations d'équilibre d'un doinl assujetti à rester sur une ligne.

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