CHAPITRE PRKMIER
temps considéré est — . On appelle vitesse vraie du mobile
AS
à l'Instant (, la limite de la vitesse moyenne —, lorsque ii iend vers zéro.
Par définition, la vitesse vraie à l'instant t est donc égale à la dérivée de l'espace par rapport au temps ; de sorte que
s = /■(() est la formule des espaces, la formule des vitesses sera
" dl
36. Vitesse angulaire. — Supposons, par exemple, que la trajectoire soit un cercle {fig. 10) et adoptons comme sens positif le sens direct. Soient M et M' les positions du mobile aux instants f et t -\-At et soient
oaTom = 6,
oOm' = iB.
La vitesse moyenne pendant l'intervalle de temps i( est
arc MM' , iî '
'^' or, si l'on appelle )■ le
rayon do cercle, on a arc MM' = riO, et par suite l'expression de la vitesse moyenne devient
AO
La vitesse à l'instant t est donc
iS CIZSEMATIQUK
-7- s'appelle la vilesse angulaire du point M à l'instant l, ou
e-acore la. vitesse angulaire du J3.yon OU mobile autour du point 0. Engénéral.si estl'angle, variable avec le temps,
que fait un rayon mobile avec un rayon fixe, — ost la
vitesse angulaire moyenne du rayon pendant l'intervalle de
df) temps a;, et -j- est la vitesse angulaire à l'instant t; c'est
aussi la vitesse du point situé sur le rayon OM à l'unité de dislance du point 0.
37, Vitesse aréolaire. — Quand la trajectoire d'un mobile
est une courbe plane AB {fîg. H), si l'on appelle G un point lixe pris dans le plan de la courbe, on est souvent conduit en mécanique à.
considérer les aires décrites par un rayon allant du point C au point mobile et comptées positivement dans un sens convenu. Si A et A + iA sont les aires décrites pendant les temps t et (-l-i;, l'expression — s'appelle vitesse aréo-
fie- " laire moyenne pendant le temps a(,
et la limite de cette vitesse lorsque dA i( tend vers zéro, c'est-à-dire — ? s'à'ppeWe vilesse aréolaire
à l'instant t. Le point C ii'iipy)e]\e centre des aires.
38. La vitesse aréolaire d'un mobile à un instant donné est liée à sa vitesse vraie par une relation simple. Soient, en effet, M et M' deux positions infiniment voisines du mobile sursa trajectoire, correspondant aux temps (et ï-t-ii; la
vitesse arêolaire moyenne est la limite du rapport secteur curviligne MCM' ïï lorsque û( tend vers zéro. Or, l'aire du secteur curviligne MGM' est un infiniment petit équivalent à l'aire du triangle MCM'; si donc on désigne par »o la vitesse arêolaire et par Cl la perpendiculaire abaissée du point C sur la corde MM',
.. CI corde MM'
CI corde MM' are, MM'
ou bien va ~ hm — ■ tttt-,- ■
2 arc MM' M
Mais, lorsque a( tend vers zéro, le premier facteur —
a pour limite la moitié de la perpendiculaire menée du point C sur la tangente en M à la trajectoire; le second facteur
arc MM' arc MM'
a pour limite la vitesse vraie, v, du mobile quand il passe au point M ; donc :
La vitesse arêolaire à un instant donné est égale d la vitesse vraie au même instant multipliée par la moitié de la distance du centre des aires à la tangente menée à ce même instant à la trajectoire.
39. Voici une autre expression utile de la vitesse ari^olaire :
Soit «iû l'angle infiniment petit de CM avec CM' et soit CM = r; l'aire du secteur CMM' est un infiniment petit équivalent à l'aire du secteur circulaire GMMi de centre C et de rayon !-; or, l'expression de l'aire de ce secteur est
— d1; on a donc
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