Hejiaiique. — U suit de \k qui
sont les équations de la trajectoire, célération sur les axes, c'est-à-dire s ces axes, sont
d^x dh/
di"
dl'
les projections de l'ac- !s composantes suivant
48 CINEMATIQUE
74. Application I. — Proposons-nous, commeapplication, d'évaluer l'accélération du mouvement d'un point rapporté à trois axes rectangulaires. Appelons, pour cela, a, [J, y les cosinus directeurs de la vitesse w en A [/ig. 23), ai, [i,, -/i ceux de îa direction de la normale principale dirigée vers le centre de courbure . En vertu du théorème I, on a
; dx
on en déduit
^- > di' dt ■ dt
et des expressions analogues pour --— et pour — ■ Or, st
l'on appelle s l'arc de la trajectoire compté à partir d'une origine fixe et p le rayon de courbure en A, on sait, d'après une formule d'analyse bien connue, que l'on a
d'autre part, on a identicjuement
d-Ji d-i ds dt ds di
et par suite, eu verlu des équations (3),
dt~o dt '
dt
chapitrk in par conséquent
dt On trouverait de mâme
di
dt " ' p ' et, en remplaçant dans l'équation (2) et dans les éqnalions analogues, on obtient finalement
du v^
1 dl^ "
^ ' df ^ de ■' ?
\d'z dv ^
' dl^^''"di^''' p ■ Il en résulte évidemment que l'accélération est la résiil- 6.V Tt
sur les directions k, p, ^ et a.^, pi, f,, c'est-à-dire suivant la tangente et suivant la normale principale en A.
Nous retrouvons ainsi, par un procédé purement analytique, la composante tangenlielle et la composante normale de l'accélération.
75, Application II. — Comme autre application, cher chons les composantes de !a déviation suivant les axes. Soient, pour cela,
les équations de la trajectoire, A et A' (fig. 26) les positions du mobile aux instants t ot t-i-^t■, si l'on appelle X, y, z les coordonnées du point A, x+ \x, y-\-\y,
50 CINEMATIQUE
S + i! col^GS du point A', on a en particulier ou bien encore
en supposant, bien entendu, que la fonction f{l) puisse être développée suivant la formule de 'laylor.
D'autre part, soit A, la position qu'occuperait le mobile sur la tangente en A s'il se déplaçait sur cette tangente d'un mouvement uniforme pendant le temps M; en appelant x,, y^, z, les coordonnées de ce point, on a en
particulier or, le vectei
Cl — a,' = proj. vect AA| sur Ox ; AAi est égal à
tcsse multipliée par M ;
dx donc sa projection sur Ox est égale à ~ .si, c'est-à-dire à
f'{l)M, et l'on a par suite
,Ti = x-\-f'(i)U.
Cela posé, la composante de la déviation suivant Ox, composante qui n'est autre chose que la projection du vecteur AjA' sur Ox, a pour expression lx + !^x)-x,; et, en se bornant aux infiniment petits du second ordre, on voit qu'elle est égale <i
mais f"[i) est la composante de l'accélération suivant le
