Trouver le rayon de courbure de la spirale d'Archimède

22. Un point matériel parcourt une ellipse d'un mouvement dont l'accélération kr est proportionnelle à la dî.stance r au centre et dirigée vers ce point; il part d'un point situé sur le grand axe 2a, avec une vitesse «„ = 6/A, b désignant le petit axe ; trouver le rayon de courbure de l'ellipse.

23. On suppose une ellipse parcourue par un mobile dont l'accélération dirigée vers un foyer, est en raison inverse du carré de la distance ; en déduire le rayon de courbure de l'ellipse.

24. Quelle est, parmi toutes les courbes passant par le même point A et comprises dans le mÈme plan vertical, celle pour laquelle un point pesant partant du repos on k parcoTjrt un arc de

longueur quelconque dans le mÉme temps qu'il mettrait à docrtre la corde correspondante ?

25. Prouver que le centre de courbure de la parabole se projette sur le prolongement du rayon vecteur en un point distant du iojer d'une longueur égale à ce rayon. On supposera la parabole parcourue par un mobile d'un mouvement tel que la vitesse aréolaire, par rapport au foyer pris comme centre des aires, soit constante.

26. Un mobile parcourt une droite Occ dans le sens Ox, en partant d'un point A de cette droite, et sa vitesse, à chaque instant, est inversement proportionnelle à sa distance au point ; trouver l'espace, la vitesse et l'accélération en fonction du

27. Mémo question en supposant que la vitesse soit proportionnelle à la distance au point 0.

28. Un cercle de rayon r roule sans glisser sur une droite d'un mouvemont uniforme ; étudier le mouvement d'un point sur la circonférence.

29. Une droite BB', de longueur donnée 2p, est touchée, à un instant donné, en son milieu A, par un cercle donné 0. On suppose que le point A se déplace sur la circonférence d'un mouvement uniforme avecune vitesse angulaire w pendant que la droite BB' tourne autour du point mobile d'un mouvement uniforme, dans le même sens et avec la vitesse angulaire — ; étudier le mouvement du point B.

30. Un cercle de rayon i- tuuine jiitour d'un de ses diamètres avec une vitesse angulaire constante i» Un point se meut sur ia circonférence mobile avPc la même vitesse angulaire w ; trouver les équations du mouvement et de la trajectoire, ainsi que la vitesse et l'accélération.

31. Le foyer d'une parabole étant pris comme centre des aires, on suppose la courbe parcourue par un mobile avec uno vitesse aréolaire constante. On fait passer un cercle par le foyer, Icsom-

met et le point mobile ; étudier le mouvement du contre du cercle. On comptera les aires à partir du rayon vecteur qui va du foyer au sommet.

32. Un point matériel parcourt une lemniscate de lîernouilli avec une vitesse constante ; trouver son accélération et en déduire le centre de courhure en chaque point de la eourt)e.

(De SiiNl-GCRMAIX.)

33. Soit c la demi -dis tan ce focale d'une ellipse de centre 0. Un point décrit la podaire de cette ellipse par rapport au point avec une vitesse aréolaire constante = o^, le point étant pris comme centre des aires ; trouver la vitesse, l'accélération et le ravon de courbure. (De Sai\i-Gciimain.]

34. On donne un point et l'on considère un point M mobile de manière que sa vitesse soit proportionnelle à la puissance n—i du rayon vecteur OM ; déterminer la trajectoire et l'accélération du point M. Examiner les cas particuliers oi n a l'une des valeurs 2, -, — - 1 — 1 .

35. Une droite de longueur constante se meut de manière que ses extrémités A et B décrivent deux droites rectangulaires Om et Oy ; on sait de plus que le point A est animé d'un mouvement uniforme de vitesse v. Déterminer à un instant quelconque l'accélération d'un point M de la droite.

36, Les extrémités d'une droite de longueur constante glissent l'une, A, sur un cercle de rayon r, l'autre, B, sur un diamètre Oœ de ce cercle. On suppose que le mouvement du point A soit uniforme avec la vitesse angulaire to et l'on demande d'étudier le mouvement du point B.

37. Les données étant les mêmes, on suppose que le mouvement du point B soit uniforme et l'on propose de déterminci* le mouvement du point A.

38, On donne «n point et une droite D. l.'n cercle de grandeur constante passe par le point et tourne autour de ce

point A un mouvement unifiirtiH Vit M Ih i int do rencontre avec D dune tan^pnle au lei le ijeipeudiculdiie à D ; étudier le mouvement du point M

39. Ln point M paicourt une courbe (C) d'un mouvement quelconque sur la tani^ente en M à ctte ciurbe on porte une longueur constante ftIN Prouver que la normile en N à la trajectoire de ce point pa*se pii le centre Ip couihure en M de la courbe (G).

40. Un point M se meut d'un mouvement uniforme sur une circonférence de centre 0, pendant que le point décrit, en sens contraire, sur une autre circonférence, des arcs de même graduation ; étudier le mouvement du point M.

41. Un point parcourt une hélice d'un mouvement uniforme ; étudier le mouvement de sa projection sur un plan passant par l'axe du cylindre de révolution sur lequel l'hélice est tracée.

42. Un point décrit un diamètre AB d'un cercle avec une vitesse proportionnelle à l'ordonnée correspondante ; étudier son mouvement.

43. Un point se meut sur une courbe avec une vitesse constante et de manière que la composante de cette vitesse suivant une droite donnée soit proportionnelle au temps ; trouver cette courbe. (JuLLiE?i.)