CHAPITRE UNIQUK
composition par les deux vecteurs OAj et OA^, l'extrémité du vecteur résultantestle point M, extrémité du vecteur égal / à OA3 et dont l'origine est
f 1 lepointl, quatrième som-
j I met du parallélogramme
\ \ — — \~ — *. construit sur OA, et sur
\ /'^ \ /^ ' OAj. Or, soit H le qua-
'1^ i'' trième sommet du paral-
"^ lélogramme construit sur
'''" * OA2 et sur OA3; les deux
vecteurs A^H et IM étant égaux à OA5 sont égaux entre eux, par suite la figure lAjlIM est UQ parallélogramme; il en résulte que le vecteur HM est égal au vecteur A^I et par suite au vecteur OAii donc, si l'on commence la composition par les vecteurs OAg et OA3, ontrouveencorelaraême extrémité pour le vecteur résultant, ce qui démontre la proposition pour trois vecteurs.
Pour prouver que la proposition est générale, il suffit à présentdel'admettrepour n— i vecteurset delà démontrer pour !!. Soit donc Vj, Va,... V,(3, V,;.,, V„ un système de n vecteurs ; il sufût évidemment de prouver que la résultante est la même, quel que soit celui des vecteurs par lequel on termine la composition.
Supposons donc que l'on termine d'abord par V^, puis par Vn j; dans le premier cas on cherche d'abord la résultante du système Vi, Vj,... V,^,, et, comme l'ordre do composition est arbitraire, par hypothèse, on peut construire d'abord la résultante R des n — 2 vecteurs V,, Vj,... V,i 2, puis la résultante ft, de R et do V„i, et enlin celle de R, et de V,,. Kn raisonnant de même dans le second cas on sera évidemment conduit à composer R avec Vn, puis la résultante obtenue avec V^.,; dans
les deux cas on voit que la résultante est la même que celle du système des trois vecteurs R, V,^i, V,i, ce qui démontre la proposition.
li. Corollaire. — Dans la composition des vecteurs on peut remplacer deux ou plusieurs vecteurs par leur résultante.
On peut en effet commencer l'opération par les vecteurs que l'on veut remplacer.
12. Théorème. — La projection sur un axe du vecteur résultant (£un système de vecteurs est égale à la somme algébrique des projections des vecteurs composants.
Cette proposition étant démontrée dans tous les cours de géométrie analytique, nous nous bornons à l'énoncer.
13. Théorème. — La projection sur un plan du vecteur résultant d'un système de vecteurs est égale à la résultante des projections des vecteurs.
La démonstration de ce théorème est évidente : il n'y a qu'à projeter le polygone de composition sur le plan.
14. Problème I. — Plusieurs vecteurs étant donnés par leurs composantes suivant trois axes, trouver les composantes du vecteur résultant suivant les mêmes axes.
Soient X;, Y/, Z; les composantes de l'un quelconque
des vecteurs donnés ; X, Y, Z celles du vecteur résultant.
L'application du théorème numéro 12 donne immédiatement
X = ÏX,-, Y = SYf, Z = SZi.
15. Corollaire. — Pour que le vecteur résultant soit nul, il faut, et il suffit, que la somme algébrique des projections des vecteurs composants sur trois axes de coordonnées soit nulle.
En d'autres termes, il faut et il suffit que l'on ait SXi =: 0, SY; = 0, SZi = 0.
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