J(YZ' -ZY') S-(XX' + YV + ZZ')X + (X' + Y» + Z»)X

(iO) 'ij=:^,[(ZX'-XZ')S-(XX' + YY'+ZZ')Y + (X' + Y'+Z»)Y'],

fi=r:^[(XY'-YX')S-(XX'4-YY'+ZZ')Z + (X«4-Y« + Z«)Z'l,

^x* = Xl(YZ' -ZY')S' -♦-(XX'4-YY' + ZZ')X'-(X'»4-Y" + Z'»)X],

(îl) J ;/' = X[(ZX' -XZ') S' 4- (XX' 4- YY' 4- ZZ') Y' —(X'* 4- Y" + Z») Y],

' r'=X[(XY'— YX')S'+(XX'+YY'4-ZZ')Z'— (X'» + Y"4-Z'»)Z],

Formules de R est alors aisé de calculer S', X*, Y", Z' en transporlaut dans les iuulti[.licaiioji, quatre dernières formules (8) les valeurs précédentes de x, j/, z,

LÇÇONS DE CINÉMAtlQUlî.

Distributivilé

de la multiplication

vis-à-vis de radilifion.*

Apptir.alion

de la

luultiplicalinn

dfc deux sommes.

z" . On trouve

S' = SS' — XX' — YY' — ZZ', X' = XS'-f-SX' — YZ' 4- ZY', Y' = YS' +SY' -ZX' +XZ', Z'=ZS' 4-SZ' — XY' -4- YX'.

Telles sont les formules qui traduisent, h, l'aide des paramètres S, X, Y, Z, la multiplication de la bi-radiale R par la bi-radiale R' (')•

Il est clair que si S, X, Y, Z, S,, )i^, Y,, Z, sont les paramètres numériques de deux bi-radiales, S + Sj, X -+- X,, Y -+- Y,, Z + Z, sont les paramètres de la bi-radiale qui est la somme de ces deux-là. Gomme, d'autre part, les formules (12) qui traduisent la multipliiation sont linéaires et homogènes par rapport aux paramètres de la bi-radiale multiplicande et par rapport aux paramèf re.s de la bi-radiale multiplicateur, on peut en conclure que la multiplication dos bi-radiales est distribntire à l'égard de l'addition. C'est-à-dire que pour mulliplier la somme R -+- R^ de deux bi-radiales par une autre R', on j»eut effectuer séparément les constructions R'.R et R'.R, et faire l'addition du résultat. Pareillement pour multiplier IV par (R -+■ R,), on pourra multiplier R' par R, puis R' par \\^ et additionner les résultats. Il faut bien prendre garde dans ces opérations de ne pas intervertir l'ordre des facteurs.

Ainsi, prenons la bi-radiale R décomposée en sa bi-radiale scalaire R, et ses trois bi-radial<;s rectangulaires R^, Rj,, R^, on a

R == R. 4- R, -f- R, + R,. De même pour une seconde bi-radiale R' on aura

(*) Ces formules fournissent la démonstration de ce fait que le produit de deux sommes de 4 carrés est une somme de 4 CAiros. On sait, eu effet, que

V s»» + X'« î- Y»»-f Z" »= V/Sî 4- X» -f- Y» + Z« V §^« + X'« -f Y * -f- Z'».

Car le tenseur du produit est le protlait des tenseurs. On a donc

(Sî 4- X» -h Y» 4- Z«) (S'« -f X"» -t- Y'i f Z*)

t=(S-S' - XX' - YY' - ZZ')î •+ tXS* f SX' - YZ' f Z Y')^ ■f (YS'.-^ BY' - ZX' -f- XZ')> -f- (ZS' + BZ' - XY' + YX')'.

NOTES DE L^AUTEUn. 479

Pour faire le produit R' H on pourra écrire

K R = r; . R, -4- ii: . R,, 4- r;. R, + r;.r„-r;.r, -h r;.r, + r:.r, -+- r:r, 4- r;r- + r;r„ + R..R,, 4-r:r,+ r;r.

Il s'agit d'évaluer chacune des bi-radiales qui fi{rurent en pvoJuils parliels.

D'aboid 11^ R, est une bi-raHiale scalaire représenlée par le nombre S. S', en conservant les notalions précédentes.

Happelons-nous que R,, R,/, W^ sont les produits des verseurs •r^ii r,, r^ par X, Y, Z et R^, R^, R^ les produits par X', Y', Z' des mêmes verseurs.

Cela posé, R . Rj^, c'est-à-dire le produit par une bi-radiale scalaire de la })i-radiale U,., est une bi-radiale que l'on obtient évidemment en multipliant r„ par S' . X ; on peut donc poser

R;R, = S'X.r„ et de même

R:.R, r^SX'.ïv,

R;R„=S'Y,r„ R;.R. = SY'.jv, r; fl, ~ S Z.r„ r;. r. = SZ' . r,.

Le produit R.iR. ésl égal au produit par XX' du carré r' du verseur )•'; or, ce carré est une bi-radiale scalaire représentée par — 1, En conséquence, lUR^ est une bi-radiale scalaire représentée par — XX'.

Semblablement, R^R,^, R^Rj sont des bi-radiales scalaires représentées par — Y Y', — ZZ. Si donc nous groupons dans la somme totale, et comme c'est permis, les quatre bi-radiales scalaires déjà trouvées, nous trouvons déjà dans R'R une partie scalaire reprôsenléo par le nombre