KU* = KU'.KU
En repassant aux bi-radiales R, II' et désignant par KK, Kft* leurs conjuguées, on voit que l'on a
K(U.R') = KR'.Kft,
formule qui joue un certain ixSle dans les applications. On observera dans celte formule l'échange qui s'y produit dans l'ordre de R, U'.
Les multiplications des verseurs rectanjrulaires dont les axes sont à angle di-oit méritent une mention spéciale pour le rôle qu'elles sont appelées à jouer par la suite.
Reprenons les trois verseurs rectangles iv, r„, r, dont les axes Oar, 0</, Os forment un trièdre tri-rectangle direct. On constatera aisément par l'application attentive de la règle de multiplication que l'on a les relations
Pu !««.•< i»ce« de bi>radia!e-
PuissancTs
d'un versj'ur
rectang'e.
)%par— 1,
On désigne par — r,, — r^ — r^ le produit de r^, conformément à ce qui a été expliqué plus haut.
L'application réitérée d'une même hi-nidialc, ou sa multiplication p.ir elle-même, conduit aux puissances de bi-radiales. La puissance m^' d'une biradiale est une bi-radiale qui a le même axe en position et direction et dont l'angle est égal à niQ et le tenseur à la puissance m'^"^ du ten.seur de la bi-radiule. On reconnaît là une généralisation de la formule de Moivre.
Il serait ais(> de tirer de là une définition de la puissance m**"" pour une valeur algébrique réelle quelconque de m.
Si l'on multiplie par lui-même un verseur rectangle, on obtient nn verseur dont l'angle est égal à iSO^ et qui équivaut, appliqué a un segment, à un simple changement de signe, c'est-à-dire a une multiplication par — 1 ; nous pourrons donc écrire, si r est le verseur rectangle considéré,
c'est ainsi que l'on a
Telle est la signification de ces diverses notations symboliques. U nous sera très utile de traduire les résultats précédents dans le langage de la géométrie analytique.
NOTES DE l'auteur^ 477
Rcprésentatirn Soient les deux bi-radiales
/ob\ ^, /ôc\
par ]es formulas ordinaires de la géométrie UA >^ ^UrJ
analytique.
désignons par x, y, z les coordonnées de A; x\ if , z' celle de B;
x\ y\ s' celles de C; S, X, Y, Z les paramètres de H; S', X', Y', Z'
ceuîi de IV et enfin S*, X', Y', Z" ceux de la bi-radiale
OA
Nous allons voir que ces derniers .';'expriment très simplement à l'aide de ceux de R et de R' .
D'abord les formules (1) et (3), appliquées aux bi-radiales R, R', R*» donnent
x.c' -\-yy'-\-zz' U- —'^U' v zx'-{-xz' ncy' —yx
« i iiï j »»
I xj^'-hyy' + zz* yz' — :y' v» -x' — xz' y, ^y — yx*
1 x* + j/'-hc* x* + y* + z* x*-hy*-hz- x'-f-y' + z'
De ces équations on lire d'abord
({)) x' = X (YZ' — ZY'), y' — X (ZX' - XZ'), s' = X (XY' - YX'>,
où X est un paramètre arbitraire; et l'on frouve ensuite, T désignant le tenseur l/S' + X* -+■ Y' -+- Z%
