Chapitre IX. — Mouvement continu le plus général d'un corps solide

Courbes liées à la figure mobile et qui ont une enveloppe. — On trouve par des quadratures toutes les courbes douées d'enveloppe. — En général il y a un glissement. — Viralion des surfaces réglées. — Cas Où 11 existe à chaque instant une rotation tangente. — Applicabilité des surfaces A/, Aw si le glissement est nul. — Déformation des surfaces réglées.

— Remarque sur les courbes à enveloppes liées à la surface Am. — Roulement des dcveloppables et des courbes gauches. — Cas où Am, A/ sont des développables. — Cas des cônes. — Roulement des courbes.

— Cas où les développables roulent sans glisser. — Roulement général des surfaces réglées. — Caractère distinctif de la viration. — Cas des développables. — Remarques sur l'accélération dans le mouvement général d'un corps solide. — Proposition générale relative à r.iccélération d'entraînement. — Application à un exemple. — Lieu du centre des accélérations quand la loi du temps change.

Chapitre X. — Des degrés de liberté d'un système mobile. — Mouvements à plusieurs paramètres 219

Liberté d'un point. — Liberté d'un segment. — Cas d'un segment dont le degré de liberté est 2. — Normales aux surfaces trajectoires d'un point du segment. — Congruence engendrée par le segment. — Foyers et plans focaux. — Surfaces focales. — Congruenccs de normales. — Remarque sur CCS congniences. — Segment dont trois points décriveift trois plans rectangulaires. — Segment dont ti-ois points décrivent des sphères. — Files de sphères. — Des divers degrés de liberté d'un corps solide. — Degré de liberté d'un corps. — Équations aux différentielles totales. — Réciproque. — Conditions d'intégrabilité. — Déplacements réductibles à des rotations. — Mouvement d'un corps assujetti à quatre conditions. — Théorème de MM. Schônemann et Manuheim. — Autre démonstration du théorème précédent. — Congruence linéaire. — Complexe spécial. — Contact d'uue surface avec son enveloppe. — Foyej*s d'une droite d'une congruence. — Théorème de Ribaucour. — Mouvements à trois paramétres. — Mouvements à trois paramètres réductibles à des rotations successives. — Sphère glissant sur elle-même. — Plan glissant sur lui-même. — Mouvement d'une figure qui reste symétrique d'une figure fixe.

Historique des systèmes articulés, — Pcaucellier. — Lipkine. — Sylvester.

— Les géomètres anglais. — Travaux français. — Définition d'un système articulé plan. — Systèmes à quatre membres. — Quadrilatères articulés. — Tiois formes de quadrilatères articulés. — Discussion de la construction d'un quadrilatère artioulé. — Pivots à révolution complète. — Condition pour qu'un quadrilatère ait des pivots à révolution complète.

— Quadrilatères qui ont trois pivots à révolution complète. — Quadrila-

TABLE DES MATIÈnïï.3. W5

Irreâ qui oui tous iours pivots à rr\oIution complète. — flepréscDlatii'ii do. M. Diubou-N. -- Aulrc loprâseiifalioii. — Tianîîlbnnation des mou\>'iiir ats ifn rotr»tion au moyen de quodi ilatores aHicuk's. — Parallélogiiiminf». — (lontie-parallclogrammo. — Description dos podaires delliiises et d'hypcibolcs ;vec un systèinfi nrticuli'. — Dup'iiateur de tonis de Rouleaux. — Cas fiéiiéral d'un rlioinboïde qurlconqiio. — Transformateurs arlicuics — Paiilogtapiie du P. Scheiner. — Panlographe de SyKoslti'. — néali;;itii)n d'une rotation. — Application à la combe décrite par un point d'une bielle. — Principe de l'échange de bielle et ir;anivelle. ~ Antre démonstration du théorènie de Cayley. — Inverseur de Hart. — Inver.^eur de Peaucellier, - Génoralisatio:) de l'inverseur Peaucollifr. — Translateur d ; Kompe. — riévtîrseiir de Kuinpe. — Réalisation de la symétrie. — Multiplicateur de lîempe. — Addilenr et soustracteur de Kempe. — ïhéolème de Kempe. — Du guidage exnct ou approché du mouvement rectiligne d'un point. — Balancier ot contre-balancier — Balancier de Oliver Evans. — Autre guidage approché. — Solutions exactes de Peaucellier et de Hart. — Double rhomboïde de Kempe. — Autre appareil de Kempe. — Sextilalère de Kempe. - Autre appareil dû à Hart. — Description d'une ellipse au moyen de cinq tiges. — Des mouvements et des transformations que peut réaliser un m«^me système articulé. ~ Avec un système articulé on peut produire plusieurs mouvements. — Plusieurs transformations. — Autre usage des inveisours.

— Description des cubiques circulaires unicursales à axe de symétrie. — Utili.sation du mouvement inverse. — Piotracteur. — Description des conchoïdes. — Applications des systèmes articulés à la résolution des équations et à la représentation des fonctions. — Résolution mécanique de léquatiou du 3« degré. — Systèmes articulés gauches. — -loint de Canlan. — .Toint Goubet. — Joint Gléraens. — Planigraphe. — KIlipsoïdographe. — Théorèmes généraux sur les systèmes articulés. — Articulation de deux corps. — Jonction ponctuelle.

— Lemme I. — Lemme II. — Lemme III. — Lcmme IV. — Réalisation de toute liaison algébrique entre des points. — Cas de plusieurs équations. — Description des surlaces et des courbes algébriques gauches. — Mouvements algébriques. — Remarques sur les pro[)03itions précédentes.

CiiAtiTRE XII. ~ Le déplacement comme cas particulier d'homographie. , , . . . 308

Glissement d'une droite sur elle-rnûae. — Mouvement d'une figure

plane. — Identité des formnles qui représentent un déplacement avec celles d'un changement de coordonnées. — Points de coïncidence d'une homographie. — Éipiation caractéristique — Disco^sion des homographies planes. — Cas d'une racine double. — Cas sini;ulier de ritomoiogi'-.

— Cas de la racine triple. — llomologie singulière. — Translation — Cas dtia déplacement quelconque. — Conce[ition projective des liniil»'?. - Symélrie par rapport à un point. — Remarque. - Déplacement d'une figure dans l'espace. — Remarques générales sur l'homographie dans l'espace. — Cas parlicnlior d'un déplacement. — Cas de I ind'termination. — P'ormc canonique d'un déplacement fini. — Forme liolicoïd.ile de tout iléplacement lini. — Le cercle de l'infini et le.s déplacements. — Les imaginaires dans la ciuémati<{ue du plan. — Recherche des homographies planes qui conservent les points circulaires. — Déplacement compliqué d'une honiothctie. — Homographies qui échani;ent les points circulaires. — Renversement. — Pioduit dedeux homographies. — Groupe di; transforuiations qui conservent chacun des points circulaires. — Son identité avec celui des substitutions linéaires entières. — Expression de la

vitesse d'entraînement. — Centre instantané. — Accélération. — Centre d'accélération. - Exemple. — Les substitutions linéaires à une variable et les déplacements autour d'un point lixe. — Recherche des homographies de l'espace qui conservent le cercle de l'infini. — Déplacement et homothétie. — Coordonnées rapportées au cercle de l'inflni. — Application aux figures sphériques. — Coordonnées syméti iques. — Introduction de l'homographie créée par un déplacement sur le cercle du l'inlini. — L«s substitutions linéaires et les rotations autour d'un point tixe.

Note I. — Nouvelle démonstration des formules d'EuIer et d'Olinde Rodrigues 343

Note II. — Sur les renversements et les inversions planes. 346

Renversement. — Invoi-^ion plane. — Représentation des rotations par des renversements. — Représentation des translations. — Composition des rotations. — Représentation d'un mouvement quelconque. — Retour au déplacement hélicoïdal. — Théorème de M. Stéphanos.

Note III. — Sur les mouvements algébriques 352

Définition de« mouvements algébrique', — Relations de dimlité entre un moavement et son inverse. — Mouvement dont toutes les trajectoires sont planes. — Distinction préalable. — Emploi du mouvement inverse. — Refour an mouvement direct. — Équation du mouvement cherché. — Équation du plan de la trajectoire d'un point. — Discussion. — Représentation du mouvement. — Examen des cas écartés au début. — Conclusion de cet examen. — Emploi des formules d'Oiinde Rodrigues dans l'étude des mouvements algébriques. — Formules du mouvement rapporté à des paramètres rationnels, — Mouvements algébriques unicursaux. — Mouvement à cubiques gauchos. — Mouvement à biqnadratiques unicursales. -• Mouvement à surfaces do Steiner. ~ Points qui décrivent des plans. — Exemple particulier. — Exemple d'abaissement du nombre des points. — Du degré de la surface tiajcctoire d'un point. — Représenation **ur le plan. — Examen des conditions d'abaissement du degré. — Application au mouvement à surfaces de Steiner. — Kemarquo sur le mouvement à siirtares de Steiner. - Sur les mouvements dans lesquels certains points du corps décrivent des plans ou des courbes planes. — Exarncn du cas où deux points décrivent des plans.

— Exaiucii du cas où trois points décrivent des plans formant un triédre.

— Examen du cas où trois points décrivent trois plans parallèles à une même dioite. — Les points d'une droite décrivent les plans tangents d'un cylindre parabolique. — Cas général où quatre points décrivent quatre plans formant un tétraèdre. — Cas de décomposition. — Retour au cas général. - Cas où les quatre plans n, FI', H', II'" forment un prisme.

— Cas où un même plan est décrit par plusieurs points. — Cas où une droite balaie un plan et où tous les points d'une autre décrivent des plans,

— Cas où deux droites balaient des plans.

NOTE DE MM. Eugène et François GOSSERAT

Sur la cinématique d'un milieu continu : • . 391

Quelques généralités sur les coordonnées curvilignes. — Uappel des formules fondamentales relatives au trièdre mobile. — Détermination d'un système ae coordonnées curvilignes au moyen de son ds"-. — De la déformation d'un milieu continu en général. — Introduction des six lonctions liabilueliement associées à une déformation. — Propositions lelatives aux fonctions associées à une déformation. — IJôformation homogène; ses six composantes. — Déformation en un point d'un milieu; ses six composantes. — Les deux ellipsoïdes de déformation et la rotation en un point du milieu. Déformation puie. — Décomposition de la déformation en un point du milieu en une rotation suivie d'une déformation pure. Détermination de la rotation en un poinb du milieu. — Dilatalion cubique en un point Équation de continuité. — Transformation des compo.santes de la déformation en un point. Invariants de la déformation. Cas particuliers de déformation en un point : extension simple et glissement simple. — De la déformation infiniment petite. — Déiinition de la déformation infiniment petite. — Dilatations linéaires et glissements relatifs à la déformation intinimcnt petite. — Rotation relative à la déformation infiniment petite. — Proposition se rapportant au cas où les dilatations linéaires et les glissements relatifs à la déformation inlinimcnt petite sont nuls. — Équations de Barré de Saint-Venant. — De remploi du trièdre d'e référence mobile. — Quelques formules relatives à la déformation im général. — Formules relatives à la délormalion infiniment petite lorsf|u"on pai'ticularise le trièdre mobile : équations de Barré do Saint- Venant. — Du cas où le milieu non déformé' est rapporté à des coordonnées curvilignes quelconques. — t'ormules relatives à la déformation en général. — Formules relatives à la déformation infiniment petite.

NOTES DE L'AUTEim Note I. — Coordonnées tétraédriques des segments 410

Décomposition d'un segment suivant les arêtes d'un téfntèdi-e. — Coordonnées téfraéilriqnes. — Itelalion identique. - Moment de deux i5<!yit.enls — Autres coordonnées tétraédriques. — C ordonnées tétraédriques d'uii>; dioite. — Coordonnées tétraédriques d'un système de segments. — Forme réduite quand on rapporte à deux droites conjuguées.

Note II. — La théorie de Grassmann sur l'étendue figurée. 423

Systèmes de points. — Systèmes de segments. — Systèmes ue triangles. — Notation abrégée. — Addition et soustraction. — Multiplic.dion. — Application,

Noté III. — Propriétés infinitésimales des complexes linéaires 4'2i)

Plan osculaleur d'une courbe dont les tangentes font partie d'un complexe linéaire. — Détermination des courbes cnvel'ppos des droites d'un com-

plexe linéaire. — Propriétés de ces courbes. — Hélices d'an complexe. — Cubicpies gauches. — Surfaces dont les normales appartiennent à un complexe linéaire. — Propriété des lignes asymptotiques et des lignes géodésiques de ces surfaces.

Note IV. — Sur l'expression du travail virtuel des forces appliquées à un corps solide 434

Note V. — Sur les volumes engendrés par un contour fermé. 437

Note VI. — Sur le problème des centres de courbure dans le mouvement d'une figure plane 441

Cas où la construction de Savary tombe en défaut. — Considérations géométriques sur la construction de Savary. — Nouvelle construction du centre de courbure. — Transformation quadratique bi-rationnclle. — Conique de Rivais.

Note VII. — Sur les accélérations 446

Interpi-éfation des équations de raccélérafion. — Directions qui sont leurs propres homologues. — Ellipsoïdes d't'Kale accélération. — Point d'accélération minimum dans un plan. — Théorème de M. Gruey. — Théorème de M. Résal. — Calcul des accélérations supérieures.

Note VIII. — Sur la théorie de la vis de M. Bail 451

Rappel de la déniiition de la vis. — Tout système de segments est le produit d'une vis par uu nombre. — Exemple tiré ties rotations. — Mouvement suivant une vis. — Système de forces agissant suivant une vis. — Vis île coordonnées dans un corps doué d'un de^^ré n de liberté. — Introduction des notions dynamiques. — Equations générales du mouvement. — Recherche des vis principales. - On est conduit à la réduction simultanée à des carrés des formes T et il. — Remarques.

Note IX. — Sur le cylindroîde 458

Lieu des axes des complexes linéaii'es d'un faisceau. — Lien entre la composition des systèmes de segments et les faisceaux de comploxes linéaires. — Formules de composition. —Le cylindroîde. — Simplification de l'équation.

— Propriétés diverses. — Origine du nom. — Expression du pas. — Formules définitives. — Représentation du pas. — Remarque importante. — Proposition générale. — Remarque sur la nature de la cougruence commune aux complexes du faisceau. — Indifférence de certaines singularités.

Note X. — Sur la composition des rotations et les quaternions 464

Ofiérations géométriques et opéiations algébriques. — Ri-radiale. — TenseTir.

— Verseur. — Ri-radialos conjuguées. — Inver.ses. — Opposées. — Scalaire. — Rectangle. — Réduction au même dénominateur. -- Addition des bi-radiales. — Décomposition de toute bi-radiale en une bi-radiale scalaire et une bi-radiale rectangle. — Représentation par un vecteur d'une bi-ra-

TABLE DES ^fATlÈRES. 499

(Haie rectangle. — Remarque. — Autre définition de l'acidition de deux bi-radiales. — Réduction de l'addilion des bi-radiales à celle des nombres et à celle des segments. — Commutativité générale de l'addition des biradiales. — Bi-radiale nulle. — Sousti-action des bi-radiales. — Décomposition de toute bi-radiale rectangle en trois autres d'orientations données. — Expression des résultats précédents par les moyens ordinaires de la géométrie analytique. — Multiplication dos bi-radiales. — Ordre des facteurs. — Tenseur du produit égal au produit des tenseurs. — Verseur du produit. — Addition géométrique des arcs de grands cercles. — La miiltiplication n'est pas commutative. — Associalivité. — Produit de deux Li-radiales conjugaées. — Produit de deux bi-radiales inverses. — Bi-radiale unité. — Formule relative au produit des conjuguées de deux bi-radiales. — Multiplication de deux verseuis rectangles à axes rectangulaires. — Puissances de bi-i*adiales. — Puissances d'un verseur rectangle. — Représentation par les formules ordinaires de la géométrie analytique. — Formules de multiplication. — Distributivité de la multiplication vis-à-vis de l'addition. — Application de la multiplication de deu.x somme?. — On retiouve les formules (12) par une autre voie. — Quaternion. — Somme et diflérence de quatcraions. — Multiplication. — Relations fondamentales. — Choix particulier. — Représentation de toute rot?tion par un verseur. — La composition des rotations finies se ramène à la multiplication des verseurs. — Les paramètres du verseur qui représentent la rotation sont les variables d'Olinde Rodrigues. — Raison de l'identité de la composition des rotations en paramètres d'Olinde Rodrigues avec les formules de la multiplication des quaternions. — La théorie des renversements comme base de la doctrine des quaternions.

Note XI. — Sur les représentations graphiques 484

Représentation graphique de la variation d'une fonction du temps. — Diagramme. — Représentation de la vitesse. — Construction des diagrammes. Tracé par points. — Tracés continus. — Appareils enregistreurs. — Graphiques des chemins de fer.