LEÇONS DE CINÉMATIO^JE
Pour ce motif on donne à ce r^rc'e le nom de cercle des rebrouS" scmenls.
Élude 53. Gomme application des méthodes que ncus avons suivies
des iiajectoires jusqu'ici, je vais montrer comment on peut étudier les trajectoires T.ùsiiia'^e ^*^ points de la figure mobile dans le voisinage d'une position partidun point, culière.
Nous avons délini au n^ 21 les accélérations d'ordre sui>éricur. Los formules de Bour peuvent être étendues au cas des accélérations d'ordre quelconque.
Soient, en effet, J^,,, Ja„, Ja,i 'es projections sur les axes mobiles de l'accélération absolue du premier ordre. Menons par un point fixe (^p î/i» ^i) im segment équipollent à l'accélération du premier ordre; soit U l'extrémité de ce segment. La vitesse absolue du jwint U est l'accélération du second ordre. En appliquant les formules générales relatives aux vitesses et tenant compte de la fixité du point ar,, y^, r,, on trouvera, par le même procé<lé qui a donné les équations de Bour, les projections de l'accélération du second ordre :
T' T T . ^ ^•'' Ja,x = <Z Jn,> '• J-.» -i JT- »
J«, » ^ »• Ja,x — P ^n,z H Vj- »
dt
On pourrait généraliser et étendre aux accélérations des autres ordres.
Montrons comment on peut ainsi parvenir à une première étude des points de rebroussement dans les trajectoires. On aura ici, en s'en tenant à l'accélération d'entraînement,
T- T dh,r h,x = — (0 Jt,y H -rr '
r L T .^^'y dt
Or, OU a trouvé avant toute simplification due au choix des axes
J..« = 5' — wr, — b>'y — w'ic, J,„ — r/ + wÇ -+- w'ac — tù*y.
CHAI». VI. — MOUVEMENT d'UNE FIGURE PLANE. 155
d'où se déduisent sans peine pour J^„ JJ.^, les valeurs
Jé,:t =z l* — 2wr/ — w'tj — w'ç — 3un,i'x — (w' — w*)î/, j;, = ■»)'-+• 2o>^' -I- «'5 — w'tj — 3o)w' y ■+- (t./ — w')a;.
Introduisons ici l'hypothèse que l'origine est le centime instantané et Ox la tangente aux courbes I„, I, ; on a vu que
Il vient alors
iV,,= — o)î/, i\g = tùXf
it.x = — w' y — w*a;, J, j, = Tj' -f w' dî — w'y, j;, = (;' — 2wt3') — 3wo>'x — (w* — w') y, J^y = T* — 3wu)' t/ 4- (w* W')3C.
Rapportons les courbes trajectoires à des axes fixes qui, à l'instant considéré, coïncident avec les axes mobiles Oaî, Oy. On aura, en appelant X, Y les coordonnées du point M au bout du temps f ,
Or, on a
x; = — wt/,
Yô = WX,
XJ 5= i^,t,
il vient donc
Posons alors
il viendra
156 LEÇOXS DK CINÉMATIQUE.
OÙ l'on aura
A = x Je,x + y J,.»= V •!/ ~ «•>*(«' + y')= — wV. y — w*(x* + »/'),
B =0; j;, + y j;,„ =:(^' — 2wV)3c -H r/ y — 3w(.)' (ic' + y'),
C = — y V,.* + aj V,, y = w (05* + j/»),
D= ~ y Je,x + œ Je,, = to' (x' + y') -4- iq'x,
E=— y C H- 3C j;,, = — (I' — 2wr;)y -+- r/x + (w' — u)*)(œ« + y').
Les quantités A, B, C, D, E n'étant pas nulles en général, on voit que les courbes seront tangentes chacune respe* tivement à la droîle X, = 0. Si A = 0, on voit que la tanjçenle X^ rr: 0 a avec la trajectoire du point M un contact du second oixJre; et en effet le point M (.r, y) est alors sur le cercle des inflexions.
Si l'on suppose le point M pris justement au centre instantané, on trouve
et Ton voit que, dans ce cas, le point M est un rebroussement de première espèce sur sa courbe trajectoire; Oy est la- tangente de rebroussement, et, par rapport à Oo;, la courbe est du même côté que le point K', car le terme principal de Y est
Cherchons dans quelles cx>ndilions d'autres points de rebroussement pourront exister pour les trajectoires.
Il faudra que C puisse s'annuler pour d'autres points que le centre instantané, donc u = 0. Cette condition, jointe à celles de $ = 0, t, ■= 0, que l'on suppose déjà, exprime que la vitesse d'entraînement est nulle dans toute la figure à l'instant considéré. La figure passe
par une pobUion stationnaire, - est nul et les roulettes ont à cet
instant un contact du second ordre, car R/ = R.. Les équations du centre instantjiné
6)dC, -f- TJ = 0, u)»/„— ;=:0, différentiées deux fois, donnent
w' Xj 4- w r; + r/ = 0, «.»' i/o + w vi — ;' = 0,
ta'x^ -¥■ 2u.' J't + war; + r,' = 0, m' U^ + 2q' y; -h w yj - ;' = 0.
CHAP. VI. — MOUVKMFNT li'lNE FIGURE PLANE. 157
Or, ici on a ^ = r, =■ x^ = j/^ = j/^ =r 0, x'^ ■= V, il ou résulte (puisque o) ::= 0)
On trouve alors
A = 0, R = — 2w' V. //, C nr 0, D =- w' (x» -4- y»), E r= — 2w' V. u; ^ (.)' (.X» + if),
Dans ce cas, tous les points de la figure sont des points de rebroussement de première espèce sur leurs trajectoire;. Mais si l'on suppose le point mobile pris sur la tangente O.r aux courbes I,„, I,le terme en f* disparait <le X^, car »/ = 0, et l'on constate alors que la courbe présente un rebiwissement de seconde espèce.
Voyons ce que donne le point qui coïncide avec le centre instantané dans ce cas. Les forniule!= (0) où l'on fait w =0, ;" = 0, ^' r= r/ = 0 se réduisent à
où X n'est pas nul ; on constate qu'il n'y a plus de rebrousseinent pour ce point.
Si d'antres siri;^ulavités se présentaient, la méthode précédente s'y appliquerait encore avec farilit*».
Théor«>ine S4. Dans certains cas on se donne un point et sa trajectoire ou relatif une courlwî G et son enveloppe. Le centre instantané une fois trouvé, a«pom . 1^ détermination des courbures dépend seulement de la connaissance soit du point K soit du point K' »
Le tbéorème suivant permet, dans plusieurs cas, d'arriver aisément à construire le point K' :
TiiÉORÈME; — Le point K' a même puissance par rapport an cercle qui a pour centre un point M de la fiyura et qui passe au
458 I.KÇONS DE CINÉMATIQUE.
centre instantané, et par rap2)oH au cercle décnt sur le rayon de courbure M;;, comme diamètre.
En effet, le cercle de centre M, qui passe au point 0, a pour équation, X, y étant les coordonnées de M,
X« + Y» — 2xX — 2y Y = 0.
La puissance du point K' (0, — k) est donc égale à
/v' -h 2ky.
Appelons ç, r^ les coordonnées du point ;a, l'équation du cercle déciit sur M;/ comme diamètre sera
X' + Y' - (; -t- jc) X - (t; + y) Y + |x -+■ v;y =0;
la puissance du point K' par rapport à ce œrcle est donc
Or, on a
X y r et
p r fc sin 0' en se souvenant que x ■=. r cos 0, y = r sin 9, on en tire (*)
Ay
Il en résulte
fc' + (ï3 + y)^ H- ?x-f- r,y ^^, ^ 2fct/(./;'-Hy» + A'y)
a' -h T/» + ky — k*-\-2kyy
ce qui démontre le théorème.
Contre des ^5. Nous avons trouvé pour expressions réduites des projections nccéli ratiojis. de l'accélération d'entraînement :
J = — urx — (o'y, «Ty =: — ta* y + u' ce — lùV.
(') Page VS\i noie.
CMAP. Vf. — MOUVEMENT Tj'UNE FH.liRK PLANE. "î^^
Si l'on chorclio lo conlro ries ncciMc rations, c'est-à-dire le point flonl racfélératioii totale est nulle, on trouve
La quantité k no dépend que des éléments géométriques du moii- Tement, des rayons de courbure des courbes I|> I„, et nullement de la rapidité avec laquelle on fait rouler ces courbes l'une sur l'autre; tout ce qui concerne \e^ courbures des trajectoires est indépendant de la \o\ du mouvement, mais il n'en est plus de mémo du centre des
accélérations, il dépend ào — ,» qui varie selon la rapidité du roulement <\e I,„ sur I,-.
PU au cenUv. Le centre des acc(Mérations est toujours sur le cercle des indexions.
**''^ Ce cercle est, en eIT»it, le lieu des points pour lesquels le centre de
••(•fléialions , , . . t.- /^ • ■,■ ■
lari.! laîui.tu <''>"'""i'G dc la trajectoire e^l a I infini; or, dans ces conditions,
entps varie, l'accélérafion normale est nulle. Le cercle des inflexions est donc le
lieu des points dont l'accélération normale est nulle. Pour le centre
des accélérations, l'accélération totale est nulle; il en est donc de
même de l'accélération normale, et, par suite, le centre des accéléra»
tions est sur le cercle des inflexions. Or, ce cercle est indépendant de
-s» c'est-à-dire de la loi du mouvement, donc si Von fait varier la
loi du mouvement, le cercle des inflexions est le lieu du centre des accéléra tions.
C'est ce que l'on constate encore en éliminant — entre les équations
précédentes; on trouve ainsi
.x' + y- -\- îi </ - - 0.
«Il Jes (M.infs On vient de voir que le cercle des inflexion-s est le lieu des points
•Joiit dont l'accélération normale est nulle; on trouvera facilement quo le célét-a'ioa ,
Dgciiliolleest ^*^''''^ nulle.
(•*' + 'f) —kx — Q
est le lieu des points dont l'accélération langentielle est nulle.
Ce cercle passe au centre instantané et eoupe à angle droit le cercle des inflexion?; il dépend de la loi. du temp-s. Le point autre que lo
i60 LEÇONS DE CINÉMATIQUE.
centre instantané on il coupe le cercle des infl<?xions est précisément le centre des acc*Hérations (').
Le lecteur prouvera de môme que le lieu des points dont l'accélération totale a une valeur donnée est un ceicle concentrique au ceuli'e des accélératinng.
Notons enfin que si 1*01» transporte l'origine au centre des accéléralions, les formules deviennent
Jj. = ~ w'r — w' y, J„ = — w' 2/ + w' a?,
en sorte que :
Au point de vue des accélérdtiona tout se passe comme si la figure plane tournait d'une façon continue autour dti centre des accélcè'utions, avec lavitesfie angulaire vtiriahlc to.
(') Il CRt bon de faire remarquer que si la vitesse nnfrulaire est, constante, le lieu (les poiuls dont raccéléralion tanpentielle est nulle serofluilàraxe()y. Lfjioiti'K' se trovtt aiorx eire le centre des arcéiérativnt.
aiAP. VII.
