I-ig
OÙ l'on fait ; — =0. Alors 0„est à
l'infini sur Oj/ etO^esten K. La construction précédente s'applique. Il faudra joindre le point mobile M à 0„, c'est-à-dire mener M H parallèle à Oy jusqu'au point de rencontre II avec la perpendiculaire en O à OM.
On joint ensuite le point H au jioint Oj ou K, et le point do
rcnc/>ntre ;x de cîtle droite HK avec; OM est le centre de courbure cherché.
CIIAP. VI. — MOUVEMENT 1> UXE FIGl'aE PLANE.
On pourrait, au fontrairp, supposer, que c'est la courbe I^ qui a été réduite à la droite O.f-, alors ï„, sera réductible à un cercle dont le cxMitre sem le point K* symétricjue du point K. Dans ce cas O^est à l'infini sur Oj/, 0,^ est en K'; pour construire le point ;j, joijvnons le point mobile M au point K', prenons le point de rencontre H de MK' avec
ri>j. is.
la perpendiculaire en 0 à OM et menons H^ paialièle à Oj/, le point ;a où cette parallèle coupe OM est le centre de courbure cherché.
La correspondance des points M, [j. sur la droite A est une homographie; mais c'est une homographie d'espèce particulière, car les deux points <loubles propres à toute division homographique sur une droite sont ici confondus et confondus avec le point 0 (*).
(•) Dans le plan la transformation qui fait passer du point M au point jjl est une tranefonnation bi-ratiotmeUe quadratique. Désignons par œ, y les coordonui'cs de M, par î, r, celles de (a, on a
hyx
«t l'on en dé<luit, en résolvant en j», y, iït,
Au point de vue métrique il y a dans toute homographie entre les pctints d'une droite deux points remarquables, celui qui correspond au point à Tinfini de la droite et cehii auquel correspond le point à rinfini.
Cen\« 52. Clieithons d'abord le point M pour lequel le point •/. est à l'in-
ilos iitikfsions. fmj j j^ trajectoire du point M ayant son centre de px)urbure à rinfuii, ce point M sera un point d'inflexion sur sa trajectoire.
ï^ troisième construction du point ;j, nous prouve que le point ;a sera à l'infini lorsque la parallèle H;x à O/y sera elle-mèuie à l'infini; K' H doit donc être parallèle à A' ou perpendicuUiire à A. On voit ainsi que l'angle OMK' doit être droit et le liou du point M, quand A tourne autour de 0, est le cercle décrit sur.OK' comme diamètre. Ce cercle a reçu le nom do cercle des inflexions; il est le lieu des points de la figura qui, à l'instant considéré, sont des points d'inflexion sur leurs trajectoires.
s,.ns ^^t>it A le point autre q>ie le point 0 où Taxe A coupe le cercle des
de la cjucaviu'. inflexions; désignons par r^ la valeur correspondante de »•; puisque p = « pour )• = jv, on a
^^ <•« ~" k sin 0*
donc pour un couple quelconque de points M, «jl on peut écrire
sin
ou encore
Centrt s de
courbure
dc'S eiiveloppi's
(Je droites.
ÎÇ^ on voit ainsi que les segmenta
Fig. 40. M'/, et MA ont toujours le
môme sens; autrement dit, la concaiùlé de la tmjectoire d'»oi
poiut M est toujours tournée vers le point A où la normale à la
trajectoire coupe le ceèxle des in/lexio)is.
Cherchons maintenant quelle est la limite du point ;a lorsque M s'éloigne à l'infini sur l'axe A. Nous devrons faire »• = x> ; soit p. la
ClIAP. M. — MOUVEMENT d'UNE FIGURE PLANE. 153
valeur correspondante, et ^ le point correspondant sur i; on a
p, "^ A: sin 6 "" r.
ce qui pitnive que ^ est le syniétriciue du point A par rapport au centre instantané 0. Le lieu du point ^ est le cercle .symétrique du cercle des inflexions; il est décrit sur OK connae diamètre.
Ce cercle possède une propriété importante qu'on peut énonrer comme il suit:
Le cercle décrit sur OK comme diamètre eut le lieu des centres de courbure des enveloppes des droites de la figure mobile.
Soit, en effet, D une droite de la figure mobile et (D) son enveloppe.
Menons un axe A par le point 0 normalement à D; le point P où A coupe la droite D est le point de contact de la droite l) avec son envelopj>e (1)).
Or, pour avoir le centre de ctiurbure 51. de celte courbe enveloppe, il faudra chercher le centre de courbure de la trajectoire du centre de courbure de D; comme ce dernier est à l'inllui sur A, il faut en conclure que le point 7. cherché est le point ^ (jui correspond à l'infini sur la droite A. Le théorème est donc démontré.
On reconnaît que le même point ^ correspond à toutes les enveloppes des droites parallèles à la droite D et qui font partie de la li^Mire mobile. Cela n'est pas surprenant, car il est évident que deux droites parallèles qui restent à une dislance invariable l'une de l'autre ue peuvent (ju'envelopper des courbes parallèles. O-ic'p Considérons en particulier celle des parallèles à la droite D qui
» rclMoussc- passe par le point p, ap(>elons D' cette parallèle. Le point ^ est tout à la fois le point oii D' touche son enveloppe (D') et le centre de courbure de (l)'); c'est dire que la courbe enveloppe (D') a un point de rt'b»"oussemont au point ,9.
On ne manquera pas d'observer que la droite D' passe au point K; on a donc ce théorème :
Les droites de la figure qui, à Vinstant considéré, touchent leur enveloppe en un point de rebroussement concourent toutes au point K, et le lieu des points de rebroussement relatifs à ces diverses droites est le cercle décrit sur OK comme diamètre.
