CII.VP. Vff« — EXEMPLES ET DÉVELOPPEMENTS

uiiiforine. La vitesse de M est, puisque I est le centre instantané,

si elle est constante, u est constant, co' est nul et les formules donnent

a; = 0, y = — . fe,

en sorte que le point K' est justement le centre des accélérations.

2* Un segment de droite AB de longueur invariable se meut en restant tangent à un cercle fixe C tandis que son extrémité X décrit une tangente fixe T de ce cercle. Trouver les courbes rouîanteSf etc. (Besançon, 1884.)

Soit M le point où AB touche le cercle, le centre instantané I est sur la normale OM; il est aussi sur la normale AI en A à la droite T

D Fig. 58.

que décrit le point A. Cela posé, on remarque que le triangle 01 A est isocèle ; en effet,

angle lAO = | — angle OAT

= ^ — angle O A M.

Or, Tangle MO A a évidemment celte même valeur. Donc ÎO = lA. Dans le plan fixe le lieu de I est donc une parabole dont 0 est le foyer et T la di lectrice.

Menons par 0 la droite OD parallèle à AB et regurdons OD comme une droite liée invariablement à la figure mobile, la relation 10 = 1 A prouve que le lieu du point I dans la figure mobile est une parabole dtint A est le foyer et OD la directrice; ces paraboles sont égales, c<ir la distance de A à OD est égale à la distance de 0 à T. Quand AB vient s'appliquer sur la tangente T, les deux paraboles sont tangentes en leurs sommets, nous avons donc un mouvement dans lequel une parabole roule sans glisser sur une parabole égale en lui restant symétrique par rapport à la tangente commune.

Tous les points de la figure décrivent alors des podaires de parabole.

La droite T, lieu du point A, est, en partic.uli.^r, la podaire du foyer, (;'est-à-dire la tangente au sommet d'une paiabole de paramètre double de celui des paraboles roulantes.

Le point K' est ici très facile à construire. Quand deux courbes symétriques roulent l'une sur l'autre, on a

et par suite

d'où k =- \\y. Donc K est le milieu du rayon de courbure de I^ et

K' le milieu du rayon de courbure de I,,.

Or, dans la parabole, le milieii du rayon de courbure est le symétrique, par rapport au point de la courbe, du point où la normale coupe la directrice. Il en résulte ici que K' est le point de rencontre de la droite T avec la normale en I aux roulettes, c'est-à-dire avec la )»aralléle menée par 1p poini 1 ù lu droite OA.

GO. Dans d'autres cas, au lieii de 8<» donner les roulettes et les iiajtcloires ou enveloppes de points ou courbes de la figure, on peut se donner des conditions «onduisan! à des équations différentieiles.

Tel est le problème suivant :

3» Quelle courbe faut-il faire roider sur une droite pour qu\in point M dé la figure décrive wœ circonférence de cercle? (Paris, 1893.)

Soient C le centre du certle et A, B les points où lo cercle est coupé

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par la droite donnée. Abaissons de G h perpendiculaire «nr A^; appelons D son pied et soit E l'extrémité du rayon CD. Quand le point mobile vient de la position E à la position M, qu'il occupe à un instant donné, le segment ED, supposé entraîné dans le mouvement, vient oœuper une position MX, et la droite MN coujie le rayon CE en un point H. L'angle MUE est l'angle dont a tourné le segment E D pour venir en M N.

Appelons I le point où, lorsque le point mobile est en M, la roulette mobile loucbe la droite fixe AB; le point I est le point de rencontre dé^ AB avec la normale CM à la trajectoire du point M. Rapportons la roulette mobile à des coordonnées polaires dont les éléments de référence seront, naturellement, liés à la figure mobile; ainsi MN sera l'axe polaire et M le pôle des coordonnées; M I = r sera le rayon vecteur, et 6 = NMI sera l'angle polaire. L'angle AIC est celui de la tangente à la courbe avec le rayon vecteur, donc

tang A1C=:

rdd dr

— taniï CID =

cotglCD.

Or, en appelant h la distance CD et a la distance CM, on a IC^a — r,

d'où

h -VA) On en lire

d'oi^, enfin,