CHAP. IX. — MOUVEMENT CONTINU 1)'UN CORPS SOLIDE
Déformation La déformation des surfaces réglées sans altération des arcs est d«ssarface8 gjj,g- rattachée à la question du mouvement d'un corps solide. En
sorte que le problème de la déformation des surfaces réglées coïncide
avec le suivant :
Une surface réglée A,„ étant donnée, trouver tous les mouvements dans lesquels cette surface vire sans glisser sur une autre surface réglée A/.
Le problème se ramène aux quadratures.
Soient, en effet, a, h, c, l, m, n les cosinus directeurs et les moments d'une génératrice A de A,„, cosinus et moments pris par rapport à un triédre lié invariablement à la surface A^. On peut regarder ces six coordonnées comme des fonctions connues du temps t. Désignons par 2'> 9> ♦*> ^> ''Ij '^ 'os coordonnées de la rotation instantanée. Cette rotation ayant lieu autour de A,„ on doit avoir
p = a.(ùj q = h.ta, r=:c.(i),
et (I) est l'amplitude de la vitesse angulaire, laquelle est une fonction inconnue du temps. Pour résoudre le problème dans toute sa généralité il suffira, pour chaque détermination de w, de chercher à passer des rotations au mouvement fini, question qui est équivalente à l'intégration des équations
dx ^
~ + rt'i-rx — pz—0, ^ -t- C +py — qx=zQ.
Or, ici, ces équations s'écrivent
~ -+- u) (ï + 6c — cy)=:0,
(6) { -ry H- o)(«n- ex — az) = 0,
dz
■^ + tù{n+ ay — hx) ■= 0.
Nous tombons donc sur des équations qui ont la forme des équa-
lions (1) du 11° 71. Nous avons vu comment on pourra profilftr de la fonction arbitraire w pour ramener le problème à des quadratures.
Les équations (6) ont, du reste, une signification intéressante.
Supposons qu'on ait pris pour w une certaine fonction w,, en sorte que le système des rotations p, q, »*, Ç, tq, Ç est défini. Si l'on veut les courbes liées à ^^ ^^h dans le mouvement ainsi défini, ont une enveloppe, il faudra former les équations (1) du n" 71 relatives à ce problème, c'est-à-dire
— rr: XlO, {l + hz — Ctj),
chf (7) { -.-- = X{i),(m 4- cx—az)y
— = Xwo (n +ay— bx).
Mais comme X est une fonction arbitraire, de même que o> l'est dans les équations (6), on voit que les équations (7) ne diffèrent pas des équations (G).
Remarque sur On en peut conclure ce fuit curieux que quelle que soii la surface A,-
les courbes a ^^^, laquelle A„ vire sans qlisser, les courbes liées à \,„ qui ont «ne enveloppes i m . 7
liées à la enveloppe sont toujours les mk:mes. su-face Am. Cette remarque pourrait avoir des applications industrielles. Supposons, en effet, qu'on ait construit un équipajje des courbes C liées invariablement à A,„. Le même équipage pourra servir à rouler en glissant et à guider ainsi le roulement sans gli:^sement de A,^ sur plusieurs autres surfaces A/, A^, munies chacune d'équipages correspondants. On évitera ainsi de munir A,„ d'un équipage spécial pour sou roulement sur A/, d'un autre équipage spécial pour sou roulement sur A/....
Le fait de la réduction aux quadratures du problème que Ton vient de résoudre est en concordance avec cet autre que la détermination des surfaces réglées applicables sur une surface réglée donnée contient une fonction arbitraire et se résoud par quadratures. (Voir Darboux, Leçons, t. III, p. 297.)
CHAP. I)f. — MOUVEMENT CONTINU d'UN CORPS SOLIOE. 20^
Roulement des développables et des courbes gauches.
Cas où im, A/ 74. Il peut arriver que les surfaces réglées X, A, soient toutes sont dos développables. La propriété du raccordement démontrée dans le cas ' général prouve que l'une n'est jamais seule développable sans l'auti-e: car si lé plan tangent est le même tout le long de A pour l'une, il doit en être de même pour l'autre.
La condition pour que A„, soit développable est aisée à trouver. Les coordonnées de l'axe A sont proportionnelles à
P, q, »', l — /ip» »; — hq, s — ^'»% la condition cherchée s'écrit
dp.d{lç — hp) 4- dq.d (r, — hrj) + dr d (Ç — hr) = 0.
Mais nous ne l'utiliserons pas.
Appelons A„, l'arête de rebrousscment de A^, A, colle de A/, ces arêtes pouvant du reste se réduire à des points si les développables sont dc3:CÔnes. Soient A le point où l'axe A du mouvement hélicoïdal touche A„,, V^, V^, V^ les vitesses absolue, relative et d'entraînement de A. __
La vitesse relative V,. et la vitesse d'enlramement V, du point A sont toutes deux portées j»ar l'axe A; il en est donc de même de la vitesse absolue V„. Il en résulte que la trajectoire absolue du point A est une courbe à laquelle A est tangente, cette trajectoire est donc l'arête de rebroussement A/de A/. Ainsi dans le mouvement la courbe A,„ reste tangente à A^^et a constamment avec elle le même plan osculateur.
Cependant on ne peut dire que A„ roule sans glissement sur A^ car la vitesse d'entraînement V^ du point A n'est point nulle. Le glissement ne cessera d'exister que si V^ est nulle, c'est-à-dire, puisque Vp est égale à la translation suivant l'axe, que le contact des courhcs A,„, Af ne ne produira sans glissement que dans le cas déjà étudié où il y a à chaque instant une rotation tangente, m des cônes. Observons encore que si A,, est un cùne, la vitesse relative du
point A est nulle, la vitesse absolue du point A est égale à sa vitesse d'entraînement, et dans le mouvement le cône roule sur la développable A/ pendant que son sommet décrit la courbe A,..
Inversement, si A/ est un cône, la vitesse absolue de A est nulle, la vitesse relative de A est égale et opposée à sa vitesse d'entraînement; elle est encore dirigée suivant l'axe A. Pendant le mouvement, la développable A„, roule sur le cône A/, tandis que l'arête A„ passe constamment par le sommet fixe du cône A/-
Si l'une des deux surfaces Ay, A„, est un cône et si, en même temps, on se trouve dans le cas où le mouvement hélicoïdal se réduit constamment à une simple rotation, on voit que la seconde surface doit être également un cône. En effet, de la relation V^ = V,. -f- V, on lire, puisque V^ = 0, la relation V„ = V^. La vitesse absolue et la vitesse relative du point A sont donc nulles en même temps. Roulement Revenons au cas général où les stirfaces A/, A,„ ne sont pas des dfs cou Les. ,ones, mais bien des développables. Les arêtes A^, A,„ de ces développables ont à chaque instant le même trièdre T formé par la tangente, la normale principale et la bi-normale. Seulement, la normale principale n'est pas forcément dirigée vers le centre de courbure, en sorte que le rayon de courbure aura, comme le rayon de torsion, un signe. Nous avons vu à la page 124. que si l'on suppose une courbe parcourue avec une vitesse égale à l'unité, les rotations du trièdre entraîné par la courbe ont pour coordonnées
si l'on suppose que la courbe soit parcourue avec la vitesse V, il suffit évidemment de multiplier par V toutes ces quantités pour obtenir les véritables valeurs des coordonnées du système des rotations.
Prenons donc le trièdre T, qui est, comme nous l'avons dit, commun aux deux courbes Ay, A„,.
Appelons V^ la vitesse absolue du point A, c'est-à-dire sa vitesse
sur la courbe A/, R^, T„ les rayons de courbure de cette courbe, les
rotations du trièdre T dans son mouvement par rapport à A/ ont pour
coordonnées
CHAP. IX. — MOUVEMENT CONTINU D'uN CORPS SOLIDE. 209
De même, dans le mouvement par rapport à A„, les coordonnées des rotations du même trièdre T seront
où V^ est la vitesse relative de A, c'est-à-dire sa vitesse sur A„, et R^, T^ les rayons de courbure de A^ (*).
Dès lors, dans le mouvement de A„ par rapport à A^, la vitesse d'entraînement d'un point M lié à A,„ et dont x, y, z sont les coordonnées relatives au trièdre T, aura pour projections sur les axes de ce trièdre (no 42, p. 128).
Ces formules conviendraient au cas général où A„ roulerait en glissant sur Ay et en ayant constamment avec A^ le même plan osculateur. Mais, dans le cas actuel, Ox est l'axe du mouvement hélicoïdal; tous les points de Ox ont la même vitesse, ce qui exige que
l'on ait
el il reste alors simplement
I^ relation (8) exprime le fait suivant :
Soient a/, c„, les arcs des courbes indicatrices spbérîques des tangentes des courbes Ay^ A,„ et Sy, s„ les arcs de ces courbes elles-mêmes, comptés dans le sens du mouvement du point A, on a
Ry> di ' clsj. dt* R« d{ ' Téquation (8) s'écrit donc
(») Page 208, remplacer Ra et Ta par R/et T/. Cinématique H
Cas où I3S développables
roulent sans glisser.
210 LEÇONS DE cinématiouf:.
ou c^= c„, en comptant les arcs à partir de points correspondants. Or, appelons F/ le cône directeur des tangentes de A ; soit S le sommet de ce cône et construisons à chaque instant le cône directeur r,„ des tangentes de A„„ ayant lui aussi S pour sommet; les diverses positions de F», s'obtiendront en faisant rouler ce cône sur le cône F/, et l'équation précédente exprime que ce roulement a lieu, sans glissement.
Ainsi,, lorsque deux développables roulent Fune sur l'autre en se touchant constamment suivant une génératrice qui est à chaque instant Taxe du mouvement hélicoidal, les cônes directeurs die ces développables roulent l'un sur l'auti'fe sans glissement.
Supposons en outre que le mouvement Ijélicoïdal se réduise à une simple rotation, le glissement sjuivant l'axe étant nul, on a ¥„ = V^ = V et les deux courbes A/, A„ roulent Fune sur l'autre sans glisser. Dans ce cas l'équation (8) nous donne
dn sorte que les deux courbes ont même courbure aux points qui viennent on contact. Les formules (9) deviennent alors
Ce dernier mouvement des courbes Ay, A„ est remarquable à cause de cette circonstance que, dans cette sorte de roulement sans glissement de A,„ sur Ay, l'axe instantané de rotation est justement la tangente commune aux deux courbes, tandis que dans les ronlemenls que nous avions jusqu'ici considérés l'axe instantané était normal aux deux courbes roulante5.
Roulement général des surfaces réglées.
■75. Il est bon d'indiquer ici quel rôle particulier jouent les
surfaces A,„, A/ et en quoi leur viration se distingue du roulement
ordinaire avec glissement.
di&iuctif Nous arriverons à cette conclusion que dans la viration le glisse-
de la Yu-ation. ment a toujours lieu suivant la génératrice de contact, tandis que
CIIAP. IX. — MOUVEMENT CONTINU d'uN CORPS SOLIDE. 211
dans le ronlement ordinaire il y a toujours un glissement oblique à la génératrice de contact.
Examinons donc dans quelles conditions une surface réglée roulera sur une autre surface réglée.
Rappelons que pour avoir les points où une surface S mobile touche son enveloppe, il faut chercher sur S le lieu des points dont les normales sont des axes de moment nul. Sojt G une génératrice recjiiigne de la surface S supposée réglée; pour que G fasse partie de la courbe de contact de S avec son enveloppe, il faut et il suffit que les normales à S fout du long de G soient des axes de moment nul. Ces normale^ forment un paraboloïde et la droite G', conjuguée de G, doit être une génératrice de ce paraboloïde de même système que G. Telle est la condition nécessaire et suffisante pour que la surface réglée S se raccorde constamment avec une surface réglée (S).
On peut donner à cette conditioij une autre forme. Soient M un point de la génératrice G et N la trace sur G' du plan normal en M à la droite G; MN est la normale en M à la surface S.
Le plan mené par G et par N est normal en M à la surface. Le plan central est le plan qui est normal en un point situé à l'infini ; or, si M s'éloigne à l'infini, il en est de même de N, donc le plan central est le plan mené par G parallèlement à G'.
Le point central 'est le point où le plan central est tangent; on obtiendra ce point en cherchant sur G un point dont la normale soit perpendiculaire au plan en question. On trouve ainsi le point 0, pied de la perpendiculaire commune aux droites G et G'.
Mais rappelons-nous que deux droites conjuguées G, G' ont même perpendiculaire commune avec l'axe A du mouvement hélicoïdal (qo 16, p. 47). Nous pouvons donc énoncer ce théorème :
LorsqxCune surface réglée S roule en glissant sur une autre surface réglée quelle touche en tous les points d'une génératrice rccliligne G, le plan central est le plan mené par G parallèlement à l'axe A du mouvement hélieoidal et le poiitt central est le pied de la perpendiculaire commune à G et à cet axe A.
A cùlé de cette propriété il en est une autre qui la complète et qu; a trait à la valeur du paramètre de distribution. Soient 0' le pied sur G' de la perpendiculaire commune à G, G' et A le point où celle perpendiculaire coupe A à angle droit.
Appelons N* la projection du point N sur le plan normal à G nicrhô par 0, 0 l'angle du plan mené par G et N avec le plan mené par G et 0' ; cet angle 0 est celui du plan tangent en M avec le plan
central. Le triangle 00' N' donne
0'N' = 00'.tange.
Appelons a l'angle de G et de G' ; le triangle NO'N' donne
N'N = 0'N'.cotga,
ou, d'après la formule précédente,
N'N = 00'cotga.tang8;
comme N'N est égal à OM, on voit que
;c = 00'.cotga
est le paramètre de distribution.
Soient ç, ç' les angles de G, G' avec A; a*, ce' les distances AO, A 0' ; ou a trouvé (p. 50)
d'autre part
X tang (f' = x' tang 9 = — /i.
En remplaçant dans l'expression de k et exprimant s*, a;* en fonction ce, ç, h, on trouve
k =^ X cotg ç — hf
formule qui ne met en jeu que la plus courte distance x entre G et A, la tangente de l'angle de ces deux droites et le pas du mouvement liélicoïdaî.
Le raisonnement inverse de celui qui a été fait montrera aisénienl que, réciproquement, si ces trois conditions sont à chaque instant remplies pour une génératrice G de la surface réglée S, cette génératrice fait partie de la courbe de contact de S avec son enveloppe, en sorte que S roule sur une surface réglée. Mais ce mouvement est compliqué d'un glissement oblique à la génératrice G, car si l'on prend un point M sur G, la différence géométrique V^ — V^ = V^ de la vitesse absolue et de la vitesse relative de G est égale à la vitesse
Cas des développables.
