X.c* + irX.y

Mais puisque X est une fonction arbitraire de t, on pourra choisir X de manière à connaître a ^irïori une intégrale de Téquation de liiccali. Dès lors on obtiendra par quadratures l'intéirrale générale de rotle équation. On aura ainsi par quadratures la solution générale du système (2) et par trois autres quadratures la solution générale du système (l).

Ainsi, malgré que le problème du mouvement fini, quand on donne les rotations, dépende d'une équation de Riccaii irréductible, loutefois on peut déter)iiiner par quadratures les courbes liées au corps ([ui ont une enveloppe. Ces enveloppes constituent inversement les courbes de l'espa»!e lixe qui, dans le mouvement inverse, ont une enveloppe.

Si, au lieu de procèler comme nous l'avons fait, nous nous étions donné a priori la lonclion X, nous serions tombé sur une équation de Kiccati (.5), dans laquelle on ne connaît aucune solution et, par conséquent irréductible. C'est ainsi que si l'on cherche les courbes de la figure mobile qui passent par des points fixes, on doit prendre X = — 1. Le système (1) devient alors celui dont dépend le passage des rotations au mouvement fini et l'équation de Riccati est alors exactement l'équation (-4) de M. Daiboux,

Ou observera que si une courbe C de la figure mobile touche une courbe fixe (C), la vitesse absolue et la vitesse relative ont Une différence égale à la vitesse d'entraînement du point P. Cette vitesse n'est jamais nulle, sauf toutefois le cas intéressant où le mouvement hélicoïdal langent se réduirait à une sin)ple rotation et où le point P serait constamment sUr l'axe autour duquel elle s'effectue. Donc la courbe C, tout en restant tangente à son envelopjie (G), glisse en général sur elle.

72. On ne doit donc pas espérer de réaliser le mouvement contittu le plus général d'un corps solide au moyen d'un rouhMncht sans glisseihent, comme nous l'avon.'? vu dans les deux cas déjà étudiés.

Appelons A/ la surface lieu de l'axe du mouvement hélicoïdal dans

CHAP. IX. — MOUVEMENT CONTINU D'uN C.ORI'S SOLIDE'.. 203

l'espace fixe et A,„ la surface lieu du même axe dans la figure mobile. A chaque instant A,„ et \/ ont en commun une génération A qui est, à cet instant, l'axé du mouvement hélicoïdal. On va montrer que ces deux surfaces rcglées se raccordent à chaque instant suivant celte droite.

Prenons, en eftét, un point M sur la droite A et observons quo la Ir.ijectoiro absolue de M est une courbe tracée sur A„ tandis que !sa trajectoire relative est tracée sur A,,.. Le plan mené par A et par la vitesse relati\e V,. est tangent en M à A^. ; le plan mené par A et la vitesse absolue V„ est tangent en M à Ay. Or, la différence géonK'tîique Va — V^. rr:: \\ représente la vitesse d'entraînement, laquelle est ici portée par A puisque le point M est «ur l'axe du mouveruMit hélicoïdal. Donc Y„, V,., Y, étant dans un même plan, il en est de même de V^, V,. et A. Les deux plans tangents ci-dessus définis coïncident donc. Les suifacos A„,, A/ admettent ainsi le mèine plan tangent en chaque point de leur génératrice com.inune A.

On peut donc énoncer ce théorème :

Dans le mouvement le plua général d'une fujure invariable il y a toujours une surface réglée A,„ qui se raccorde à chaque instant avec u)W surface réglée A/ suivant une génératrice rectiligne A, qui se trouve être Vnxe du mouvement liélicoldal tangent.

Reuleaux, dans son édition française de sa Cinématique, désigne par lo mot de viration le roulement particulier de A,„ sur A/-.

Si l'on se reporte à la démonstration précédente, on voit que jamais aucune courbe tracée sur A^/ho restera tangente à une courbe Cette seconde courbe devrait être, eu effet, tracée sur A;- et alors, en regardant la courbe tracée sur A^ comme la trajectoire relative du point M où elle est coupée par la génératrice A, on voit que les vitesses V„, V^ devraient être portées par une même dxoitc. Or, la dilîérence géométricjue V,, — V^ est égale à la vitesse d'entraînement, qui est le glissement hiù suivant l'axe A. Donc les vitesses V^ et V^ ne pourront être portées par une même droite que dans deux cas : 1" si V^ est nul, ce qui exige h =. 0, et alors le mouvement hélicoïdal tangent se réduit à une rotation» 2" si V„ est dirigée suivant A, auquel cas V^ est aussi dirigé suivant A, alors A/ et A,„ sont deux développablés dont les arêtes sont constamment en contact.

Nous allons étudier ces divers cas.

Cas où il existe à chaque instant une rotation tangente.

73. Supposons d'abord le cas où le mouvement hélicoïdal tangont se réduit à une simple rotation. On en sera averti par ce fait que l'expression

P^ + ^"fl + r^ = 0

sera nulle sans que p, q, r le soient ; si p, g, r étaient nuls constamment nous aurions à chaque instant une translafion tangente et (p. 31) le mouvement se réduirait à une translation continue. Applicabilité Dans le cas d'une rotation tangente, tous les points de l'axe instandes surfaces tané A ont alors une vitesse d'entraînement nulle; je vais montrer si le glissement ^"^ ^^^ surfaces A/> A„, qui se raccordent suivant cet axe A, sont est nul. en outre applicables l'une sur Vautre.

En effet, reprenons un point M mobile sur l'axe A, soient G„ sa trajectoire sur A„ et C/sa trajectoire sur A,-; nous avions trouvé précédemment V„ = V^ + V,; puisque V^ est ici nul, on a simplement

Il en résulte que la courbe C,„ roule sans glisser sur la courbe Cj^ Comme on peut régler le mouvement de M sur A de sorte que C„ soit une courbe quelconque de A„, on voit que dans le mouvement toute courbe C„ tracée sur A,„ roule sans glissement sur une courbe correspondante tracée sur A/.

Au cours du mouvement tout point P de A,„ vient s'appliquer sur un certain point Q de A/; en sorte que, par suite de ce mouvement, une corre'spondance se trouve établie entre les points P de A„ et les points Q de A/. Quand P décrit C„ sur A„, Q décrit C/ sur A/; or, d'après la propriété du roulement sans glissement des courbes G„, et C/, un arc de G/ se trouve être égal à son homologue. La correspondance ponctuelle entre les surfaces est donc de telle nature que les longueurs des arcs homologues sont égales ; il en résulte que les deux surfaces réglées sont applicables l'une sur l'autre et la correspondance considérée réalise cette application.