CHAPITRE PREMIER
Préliminaires géométriques. — Théorie des segments.
i. On sait quel est le principe de la représentation analytique d'un segment sur une droite.
Axe. Une droite peut être parcourue par un point dans deux sens
opposés; une droite sur laquelle un sens de parcours a été choisi s'appelle un axe.
Nombre Soit un segment AB, de longueur l, dont A est l'origine et B l'ex-
iii mesuie un trémité, et supposons que ce segment soit porté sur un axe A; on seginen . ^^.^ Correspondre à ce segment un nombre algébrique X, qui est égal à + i si le segment a le sens de l'axe et à — Z si le segment a le sens opposé.
Dans ses leçons de Mécanique élémentaire publiées en 1858 chez Mallet-Bachelier, M. Ossian-Bonnet appelle la quantité algébrique X, le nombre qui mesure le segment. Cette locution a été reprise par M. Tannery dans ses Leçons de cinématique.
Pendant longtemps on a voulu voir des difficultés dans la démons
tration du théorème des projections. Ces difficultés, cependant,
n'existent pas si l'on sait faire usage de la notion si simple introduite
par M. Bonnet.
Somme Comme la théorie des sommes géométriques fait partie de l'ensei-
féométrique. goement élémentaire, j'en rappellerai seulement les principes.
Soient A, Bj, A,B,, ..., A„B„n segments de droites; par un point 0 Cinématique. 1
on mène le segment OP, égal et parallèle (on dit aussi équipollent) au segment A^B,, puis on mène PjPg équipollent à A,B, ... et ainsi de suite, jusqu'au segment P„iP„ qui sera équipollent au segment A„B„. Le segment 0P„ est la so7nme géométrique^ ou résultante des n segments proposés.
A l'égard de cette somme géométrique on démontre sans peine les propositions suivantes que je me contente d'énoncer :
i° La somyne ne change pas si l'on intervertit Vordre des segments dans la construction du polygone OP, P, ... P,.
2'' La somme ne ciiange pas si l'on remplace plusieurs segments par leur somme géométrique effectuée.
Remarquons enfin que les définitions et les théorèmes précédents ne supposent en aucune manière que les segments forment un véritable polygone dans l'espace, et que tout subsiste si les segments se trouvant parallèles, les points 0,, Pj, P,, ..., P„ sont en ligne droite. Systèmes Lorsque le point P, coïncide avec le point de départ 0, on dit
fermés. ^^g jgg segments OP, , P,P,, ..., P«i P„ forment un système fermé.
Si ces segments forment un polygone, ce polygone est fermé; mais les segments peu.^jit ôlre disposés aussi sur une même ligne droile.
On a, sur les systèmes fermés, la proposition suivante :
Dans tout système fermé, un segment quelconque est opposé à la résultante de tous les autres.
Dans cet énoncé, on entend par segment opposé à un segment AB, le segment BA obtenu en échangeant l'origine et l'exl rémité.
Projections.
2. L'idée de projection e^^t toute géométrique. Soit un plan x el une direction de droites A; projeter un segment AB sur le plan z parallèlement à la droite A, c'est construire le segment A'B', dont l'origine A' et l'extrémité B' sont respectivement les traces sur K; plan T. des parallèles à A menées par l'origine A et l'extrémité B du segment AB.
On peut aussi projeter sur une droite A parallèlement à un plan r. Dans ce cas, projeter un segment AB sur la droite A, c'est construire
Énoncé géométrique du théorème
dfis projections.
le sefTinent A'B' obtenu en prenant les traces sur A des deux plans parallèles au plan r. menés par les points A et B.
Dans les deux cas, les projections sont dites orthogonales si le plan Tz est normal à la droite A.
Ceci posé, on a les deux théorèmes suivants, presque évidents :
La projection sur un plan d'un système fermé est un système fermé.
La projection sur une droite d'un système fermé est un système fermé.
Ces deux théorèmes conduisent immédiatement aux propositions suivantes :
Les projections sur un plan de plusieurs segments de Va^pacc ont pour somme géométrique la projection sur ce plan de la somme géométrique des segments de Vespacc.
Les projections sur une droite de plusieurs segmrtyls de Va^pare ont pour somme géométrique la projection sur la droite de la somme géométrique des segments de l'espace.
Celle dernièrt» proposition constitue ce que nous appellerons l'énoncé géométrique du théorème des projections. Jusqu'ici, en eflet, nous n'avons eu à effectuer que des constructions géométiiques; en introduisant les quantités algébriques, nous parviendrons à un énoncé algébrique du théorème des projections, qui est la forme sous laquelle ce théorème est le plus connu.
Formule rtiidamentale.
^rhéorème dit • projections.
3. Nous allons utiliser la notion du nombre qui mesure un segment donné, porté par un axe déterminé.
Considérons un axe X et plusieurs segments A,Bj, AjBj, ..., A„B„ portés par cet axe; soit S le .segment (également porté par cet axe) qui est leur somme géométrique; désignons enfin par Xp ).,, ..., >.„ et par A les nombres qui mesurent ces segments. On a la formule algébrique fondamentale que voici :
A =Xj -+- X, + ... + X,.
On commence par établir sans difficulté celte formule pour le cas de deux segments seulement; on s'élève ensuite au cas général.
Cette formule une fois démontrée, le théorème de projections, sous sa forme algébrique, en résulte sans peine.
Soient, en effet, A^B^, A,Bj, ..,, A„B„ n segments dans l'espace, S leur somme géométrique; soient AJBJ, AjBj, ..., AâB,'., S' les projections de ces segments sur un axe A. D'après l'énoncé géométrique du théorème des projections, on voit que S' est la somme géométrique des segments A,'B[, A^Bj, ..., A,',B^,. Si donc on désigne par X[, >.j, ..., a^ les nombres qui mesurent ces derniers segments sur l'axe-A, et par A' le nombre qui mesure S', on aura, d'après la formule précédente,
et en cela consiste l'énoncé algébrique du théorème des projections, c'est-à-dire ce que l'on appelle communément le théorème des projections.
4. Je ne m'arrêterai pas à montrer comment, étant donnés un axe A et un segment AjBj porté par un axe A,, on arrive à trouver le nombre qui mesure la projection de AjBj sur l'axe A. Je rappellerai seulement la proposition suivante :
Paramètre Appelons paramètre de projection de l'axe Aj par rapport à
de projection, j'^xe A le nombre qui mesure sur A le segment a'b', projection (sur A) du segment unitaire {*) ab porté par \^ et qui a le sens de A,.
Le nombre qui mesure sur A la projection (sur cet axe) d'un segment \B porté par A,, est égal au produit du paramètre de projection de A, par rapport à A, par le nombre qui mesure sur A| le segment AB.
Dans le cas des projections orthogonales, le paramètre de projection de A, par rapport à A est un élément symétrique par rapport aux deux axes ; c'est-à-dire que c'est aussi le paramètre de projection de A par rapport à Aj ; c'est ce que l'on appelle le cosinus de l'angle des deux axes. Le cosinus de l'angle de deux axes se trouve en effet avoir une valeur parfaitement déterminée, bien que l'angle de deux axes ait une infinité de déterminations.
J'ai cru devoir rappeler aussi rapidement que possible ces éléments de la théorie des projections; je montrerai encore comment les pro-
(^) Un segment unitaire est un segment dont la longueur est égale à l'unité.
jections peuvent intervenir dans la représentation des segments dans
l'espace.
Usage des Prenons trois axes rectangulaires Ox, Qy, Oz, et considéions un
projections segment AB de l'espace; désignons par X, Y, Z les nombres qui
-^présentation niesurent ses projections sur les axes Ox, Oy, Oz. Ces nombres sont
des segments ce que l'on appelle par un abus de langage les projections du segment
dans l'espace, g^j. j^g ^^^^ gj y^^ gg j^^jj^g seulement X, Y, Z, le segment ÂB
n'est pas déterminé dans l'espace, car les mêmes éléments conviennent à tous les segments équipollents au segment AB.
Donc, se donner X, Y, Z revient à se donner une famille de segments équipollents dont fait partie le segment AB.
On voit par là que les projections seules ne suffiraient pas pour déterminer la position d'un segment dans l'espace.
Pour y parvenir, il faut introduire à côté des projections un clément nouveau, le moment.
Moments.
Définition du 5. Soient deux segments AB, CD; imaginons un observateur
moment de traversé des pieds à la tête par le segment A B et tourné vers le ieuxsesrment?.
point G; si les deux segments ne sont pas dans un même plan,
l'obseiTateur verra le point D soit à sa droite, soit à sa gauche.
Dans le premier cas nous dirons que AB et CD sont dans la position dextrorsum, dans le second cas nous dirons que AB et CD sont dans la position sinistrorsum (*).
Considérons le tétraèdre ABC D; soit v son volume, nous appellerons tétraèdre construit sur les deux segments le nombre algébrique ± V, où le signe sera + si A B et CD sont dextrorsum et — s'ils sont sinistrorsum. Ce nombre est nul si les segments sont dans un même plan.
Au lieu du tétraèdre on peut considérer le parallélipipède construit sur les deux segments : son volume est six fois celui du tétraèdre ; on lui donne le même signe qu'au tétraèdre. Le parallélipipède (ou six fois le tétraèdre) construit sur deux segments porte aussi le nom de momeyit des deux segments.
(•) On constate sans peine que la disposition de CD par rapport à X1Î est ta même que celle de STB par rapport à Cl).
Tétraèdres La considération des tétraèdres s'est présentée aux premiers audcChasIes. (gQ^s (Charles, Sylvester, Môbius) qui ont écrit sur la théorie des segmenfs.
On a reconnu ensuite que l'emploi du parallélipipède permettait de rattacher cette considération à celle des moments pris par rapport à des axes, dont l'usage est beaucoup plus ancien en mécanique. Les parallélipipèdes ou moments de deux segments permettent donc de réunir dans une même idée générale l'ancienne théorie des moments pris par rapport à des axes, et les propriétés des tétraèdres introduits par Chasies.
Le moment de deux segments donne lieu à quelques propositions élémentaires que nous allons démontrer.
îiidiflci-eiice THÉORÈME L — Le moment de deux segments reste invanable an glisscmeul. gj i'q,^ ^^jj glisser l'un d'eux sur lui-même.
En effet, soient AB, CD les deux segments, il suffit de prouver, par exemple, que le glissement de CD sur lui-même laisse inaltéré le volume du tétraèdre ABCD ainsi que son signe. Pour le signe, il est bien clair que le glissement de CD sur luimême ne change pas la nature (dextrorsum ou sinistrorsum) de la disposition des deux segments, et pour ce qui est de la valeur absolue du volume, on voit aussi que celte valeur ne change pas. Il suffit de regarder ABCD comme une pyramide de sommet A et de base BGD. Le glissement de CD laisse la hauteur inaltérée, et le triangle de base BCD resle évidemment équivalent à lui-même, puisqu'il conserve sa base et sa hauteur.
D Fig.
Hf
Corollaire. — Le moment de deux segments ne change pas si Ton fait glisser arbitrairement chacun d'eux sur lui-même.
Théorème IL — Soient AB, CD deux segments, CX une perpendiculaire au plan ABC, et CD* la projection de CD sur cclic droite; on a
moment (aB, CD) = moment (aB, CD').
CHK9. l. — THÉORIE DES SEGMENTS. 7
En effet, observons que CD et CD' sont d'un même côté du plan ABC mené par AB et G, car D' peut s'obtenir en menant par D un plan parallèle au plan ABC et prenant sa trace sur CX; donc la disposition (dextrorsum ou sinistroraum) de AB et CD' est la même que celle de A B et CD. Le signe des deux moments est donc le même. Leur valeur absolue est aussi la même, car les tétraèdres (A BCD) (ABC D'), considérés comme des pyramides de base commune ABC et de sommets D et D' , ont même base et même hau- Fig.2. teurCD'.
On peut déduire de là une expression analytique utile du moment de deux segments.
Observons d'abord que la notion de disposition dextrorsum ou sinistroraum. que nous avons déûnie pour deux segments s'étend au cas d'un segment et d'un axe et au cas de deux axes.
Cela posé, considérons la droite CX construite précédemment; un sens de parcours de cette droite est dextrorsum par rapport à AB, et l'autre est sinistrorsum. Choisissons l'axe dextrorsum et soit, pour ne pas compliquer les notations, CX cet axe. Le segment CD' est mesuré sur l'axe CX par un nombre a' ; je dis que l'on a
moment (ÂB, GD) = moment (ÂB, CF)
où S désigne l'aire du triangle ABC.
Il suffit de prouver que
tétraèdre (ÂB, Gd) = tétraèdre (ÂB, cF)
Cette égalité est vraie en valeur absolue, car la valeur absolue de g' est précisément la hauteur du tétraèdre. Elle est aussi vraie en signe. Supposons, en effet, a' positif; il faut prouver que le tétraèdre est alors positif ou que les segments A B et CD' sont dextrorsum.
Or, puisque a est positif, CD' a le sens de l'axe CX qui est dextrorsum par rapport à AB; donc CD' est aussi dextrorsum par rap-
port à AB. On verra de même que si a' est négatif, le tétraèdre doit bien être négatif, car alors AB et CD' sont sinistrorsvm.
Pi'emière
généralisation
da théorème
de Varignon.
Théorème III. — Soient (^û^, CDJ, ..., oW^ n segments concouranls que l'on peut, par glissement, amener à avoir môme origine C, et AB un autre segment; construisons h segment CD, somme géométrique des n premiers segments; la somm^ des moments des segments CD, et du segment AB est égale au moment de AB et de la somme géométrique CD des n segments.
Cette extension de la belle proposition due à Varignon se démontre comme il suit :
Choisissons, comme plus haut, Taxe CX normal au plan ABC et dextrorsum avec AB; soient CDJ, CD^, ..., CDJl et CD' les projections sur CX des segments CD,, CD,, ..,, CD„, CD; et aj, ai, ..., / clf s' les nombres qui mesurent ces projections; on a, par le théorème des projections :
q' = ij! + 7' -4- ... 4. a'
Multiplions par .- S où S est l'aire du
Fig. 3.
triangle ABC, on aura
-Sa'=-Sa;-+-^Sa;-H... + iSa;.
Mais - S a'i est le tétraèdre construit sur les segments AB et CD,-; o
Seconde
expression
da moment de
deux segments.
5 S 5' est le tétraèdre construit sur A B et CD; on a donc
tétraèdre (ÂB, CD) = tétraèdre (ÂB, CD^) 4- tétraèdre (ÂB, CFj
-H tétraèdre (ÂB, CD^).
En multipliant par 6 les deux merhbres de cette égalité, on a le théorème énoncé.
Soient deux segments A B et CD, par glissement on peut amener les origines A, C des deux segments aux pieds de la perpendiculaire commune aux droites AB, CD, qui les portent, de sorte que AC est
CHàP. I. — THÉORIE DES SEGMENTS. 9
celte perpendiculaire commune. Soit p sa longueur. Élevons, comme dans le théorème II, la perpendiculaire CX au plan ABC et projetons CD en CF sur GX. On a, d'après le théorème II,
moment (ÂB, Cd) = moment (ÂB, CD^).
Or, le moment de A B et de CD' est aisé à calculer en valeur absolue. Nous avons, en effet,
Fig.4.
moment (aB, CD) = ± 2 ABC X CD' ;
or, l'aire du triangle ABC est égale à
jAB.p,
donc
moment (aB, CD) = ± p AB.CD'.
Soit CD* la projection de CD sur le plan ABC; la droite CD' est parallèle à la droite A B et est la trace sur le plan ABC du plan XCD; appelons a l'angle aigu de CD et de CD"; l'angle DCD' est le complément de l'angle DC D' ou a, et l'on a
donc, enfin,
CD' =CD.sina, moment (ÂB, CD) = ± p sin a. AB.CD.
Deux droites élant données dans l'espace, leur angle est indéterminé, comme on sait, mais le sinus de leur angle a deux valeurs qui sont ^ales et de signes contraires. Nous appellerons sinus de l'angle de deux droites celui de ces deux sinus qui est positif (*),
On peut alors énoncer ce théorème :
Théorème IV. — La valeur absolue du moment de deux segments est égale au produit de leurs deux longueurs, multiplié par leur plus couHe distance et par le sinus de V angle des droites qui les portent.
(') La même remarque s'étend aux cas de deux axes. Le cosinus de l'angle de deux axes est déterminé, mais non le sinus qui a deux valeurs égales et de signes eontruires.
Segment
uuitaire
altuché à uu
axe.
Moment
par rapport
à un axe.
Momait de deux axes.
rjf^ûnition
clahsJifne
des moments
par rapport à
un axe.
Ce théorème a par lui-même une certaine portée pratique, mais on peut lui donner une forme plus précise en introduisant les moments pris par rapport aux axes.
Cî. Faisons en premier lieu la remarque que le glissement d'un segment sur lui-même est sans importance au point de vue des moments, des projections, et du nombre qui mesure le segment ; nous sommes ainsi atnenés à regarder comme identiques deux segments AB, AjBi tels que l'on passe de AB à AjBj par un glissement de AB sur lui-même. Cette indétermination est déjà moins grande que celle qui résulte de la considération des segments équipollents. Disons dès à présent que cette indétermination due au glissement cadre exactement avec les applications mécaniques de la théorie des segments.
Considérons un axe A; il y a sur cet axe un segment remarquable, le segment unitaire (de longueur i) qui a le môme sens que A, c'est-à-dire le segment qui est mesuré par le nombre -f- 1, Réciproquement, tout segment unitaire définit sans ambiguïté l'axe qui le porte et qui a même sens que lui. Cette remarque permet, en quelque sorte, de confondre les notions d'axe et de segment unitaire.
Conformément à celte manière de voir, nous appellerons mome7it d'un segment AB par rapport à un axe A, le moment de AB et du segment unitaire attaché à l'axe A.
Le moment de deux axes sera le moment de leurs deux segments unitaires.
La définition que nous avons donnée des moments par rapport à un axe, sort un peu des traditions classiques ; il est bien facile de la ramener à la définition habituelle.
Soit 0 U le segment unitaire attaché ù un axe, et CD un segment. Prenons le point 0 (ce qui est permis par glissement), au point où l'axe A est coupé par le plan x, normal à A mené par C.
Projetons D en D' sur le plan - et ^ Fig. 5. en D' sur une parallèle à A issue de C.
On peut regarder C D comnie U somme géométrique de CD' et de CD'.
CIIAP. I. — THÉORIE DES SEGMENTS. il
On a donc, d'après le théorème III,
moment (a, CD) = moment (ÔÛ, CD)
= moment (ÔÛ, cF) •+- moment (ÔÛ, cF).
Du reste, puisque CD' est parallèle à OU, le second moment est nul et il reste
moment (a, GD) = moment (ÔÛ, CF).
Soit p la distance du point 0 à la droite CD', on a
moment (ÔÛ, CF) = 6 tétraèdre (ÔÛ, cF)
= ±GX^0UX^P.GD'
= ±p.GD',
le signe + convenant au cas où CD' va de gauche à droite pour un observateur traversé des pieds à la tête par OU, et le signe — dans le cas contraire.
C'est bien là la définition adoptée ordinairement pour le moment d'un segment par rapport à un axe.
On voit que par le fait de la réduction à l'unité du segment OU, le moment qui a été défini au début comme un volume, se trouve, pour le cas d'un axe et d'un segment, représenter une aire douée d'un signe.
En supposant, dans le théorème III, que le segment AB est unitaire et que les segments CD,, ..., CD„ sont dans un plan normal à AB, le théorie III devient en fait le théorème dit de Varignon.
Revenons au théorème IV, qui nous donne pour le moment de deux segments AB, CD l'expression
moment (ÂB, CD) = ± jp sin a. AB.GD.
Si AB est un segment unitaire attaché à un axe A, nous avons
moment (a, CD) = ± p s'm a. CD.
Si enfin ÂB, CD sont tous deux unitaires, et sont allachés à deux axes A', A
moment (A» A') •= ± /) sia a.
Autrement dit, le moment de deux axes est égal, au signe près,
au produit de leur plus courte distance par le si7ius de leur angle.
Formule Nous sommes actuellement à même de donner une expression
g nera e analytique précise du moment de deux segments AB, CD.
au moment de Soient en effet A, A' deux axes qui portent ces segmenis, et dési-
deux gnons par g, a les nombres qui mesurent AB sur A, et CD sur A';
«egments. -^ ^.^ ^^^ y^^ ^
moment (ÂB, GD) = cr.c' .moment (A, A').
Observons d'abord que dans l'équation
moment (aB, Cd) z= ± p sin a.AB.CD,
p sin a est, au signe près, moment (A, A'), et que AB, GD sont les valeurs absolues de u, c'. On peut donc écrire
moment (AB, CD) = ± a.a' moment (A, Approuvons que le signe + convient seul dans tous les cas : Si (T, c' sont positifs, c'est que AB, CD ont le sens des axes A, A'. Donc AB, CD ont même disposition que A, A' et le moment de AB, CD a même signe que celui de A, A' . On a donc, dans ce cas,
moment (aB, GD) = 4- a.cr' moment (A, A').
Que 5 devienne négatif, alors AB est de sens contraire à A^t AB, CD, seront de disposition contraire à A, A'. Le moment de AB, CD sera de signe contraire à celui de A, A'. Puisque a est négatif, le signe + convient encore. On poursuivra sans peine le raisonnement dans le cas où cr, i' deviendraient tous deux négatifs.
La formule est donc démontrée. Il est bon de constater que la formule est encore vraie si l'un des segments est de longueur nulle, ou bien s'ils sont dans un même plan.
En particulier, soit un axe A et un segment CD porté par un axe A' et mesuré sur cet axe par le nombre ç', on aura (*)
moment (a, GD) = moment (A, A').cr'.
(>) On démontrerait de même que si l'on a deux Begments AB, Cl), ce dernier porté par un axe A', et y ayant pour mesure le nombre o', on a moment (AB, CD) = moment (AB, A'). a'.
Cette formule sera utilisée dans la suite.
CIIAP. I. — TIIÉORIR DES SEGMENTS. 13
Si l'on voulait projeter ce segment CD sur l'axe A, en désignant par $ (A, A') le paramètre de projeclion de A' sur l'axe A, on aurait l'expression suivante du nombre qui mesure cette projection :
Project, (a, Gd) = lî (A, A'). ci'.
Le rapprochement de ces deux formules t^nd à établir une certaine analogie entre le paramètre de projection et le moment de deux axes. En se plaçant au point de vue projectif, on établit en effet que le paramètre de projeclion n'est qu'un moment d'une certaine nature. On pourra consulter à ce sujet un Mémoire de M. Lindemann inséré dans les Mathematische Annaloi.
Expression
analytique
dos moments
d'un segment.
7. Considérons un trièdre trirectangle Oxyz, tel qu'une rotation de 90» de gauche à droite, pour un observaleur travei'sé des pieds à
la tôt2 par l'axe Oz, amène l'axe Ox sur l'axe Oy.
Soient x, y, s les coordonnées
d'un point A origine d'un segment
B' •*^' AB, et X, Y, Z les nombres qui
y' mesurent les projections sur Ox,
Oy, Oz de ce segment AB, ou,
comme nous le dirons désormais, les projectiona de AB sur les axes de coordojinces. Cherchons à cal- Fig. 0. culer les moments <le AB par rap-
port aux axes Ox, Oy,Oz. J'appelle L, M, N ces moments. On a
L =:: moment [Ox, ABJ = moment {Ox, xW) + moment {Ox, A B') + moment (Ox, AB'"),
où ÂB", AB*, AB'" sont les projections de AB sur les axes, Ax' ,
A y' , Az' menés par A parallèles à Ox, Oy, Oz.
On observe d'abord que le moment de AB' est nul puisque AB' est parallèle à Ox. On peut appliquer au moment de AB' la formule trouvée plus haut, en observant que Y est le nombre qui mesure AB' sur A y', on a dès lors
moment {Ox, AB') = moment (Ox, Aî/').Y.
De mAme
moment (Ox, AB'") = moment {Ox, A-').Z.
La pins courte distance de Ox et de Ay' est la valeur absolue de r, et comme Ox, A y' sont rectangulaires, le sinus positif de leur angle est égal à 1 ; on a donc,
moment (Ox, At/') = ± valeur absolue z, ou encore
Or, si z est positif, A y' étant au-dessus de Ox, est sinisfronum par rapport à Ox, on a donc dans ce cas
moment (Ox, Ay') = — z;
si z est négatif, A y' est au-dessous de Ox, et est dexti'orsum par rapport à Ox, le moment doit être positif; on a encore la môme formule.
On ven-a par le même procédé que, dans tous les cas,
moment (Ox, Az') = -f- y, on a donc enfin
L = moment (Ox, AB) = i/Z — zY; on trouve, d'une manière analogue,
M = moment (Oj/, AB) == rX — xZ, N = moment (Or, À~b) r^ xV — t/X.
On observera que ces quantités X, Y, Z, L, M, N ne sont pas indépendantes et qu'elles sont liées par l'équation
(1) LX + MY + NZ==0.
Supposons réciproquement que l'on se donne les projections d'un segment X, Y, Z, ainsi que ses moments L, M, N, et cherchons à déterminer ce segment. Il suffira pour cela d'en connaître l'origine A, car X, Y, Z étant connus, sa direction et sa longueur sont déterminées. Désignons par x, y, z les coordonnées inconnues du point A.
ce, »/, z floivent vérifier les trois équations
(2) 5 <y, = M — Xz-f Zx = 0,
( S=N— Ya;+Xî/=:0,
mais ces équations sont indéterminées. On a en effet en vertu de l'équation (1), l'identité
(3) XX H- V'Ij ! ZS — 0.
Les trois quantités X, Y, Z ne peuvent être nulles à la fois, sans quoi nous n'aurions plus de segment. Soit Z =^ 0, il suffira d'avoir
pour que le système (2) soit vérifié, car l'équation (3) donne alors S =0.
Nous trouvons donc que le point A est seulement assujetti à décrire une droite dont les équations sont ^ := 0, Il =.0. Il est facile de se rendre compte de la position de cette droite; elle est en effet parallèle à la direction même du segment, direction que déterminent complètement X, Y, Z. Cette droite est donc la droite même qui porte le segment cherché, et l'indétermination du point A sur cette droite correspoiTd à la faculté qu'a le segment AB de glisser sur lui-même sans que X, Y, Z, L, M, N soient altérés.
On peut donc énoncer ce théorème :
Étant données six quantités X, Y, Z, L, M, N liées par l'équation
LX + M Y + NZrrrO,
elles délhiissent un segment dans l'esjjace [à vn glissement près de ce segment sm' lui-même).
Nous appellerons ces quantités les coordonnées du segment.
S. Goinnie application des théorèmes précédonts nous allons
résoudre ce problème :
Etant donnés deux segments dont les cordon nées sont
trouver leur moment.
Désignons par AH, A' B' ces deux Fitj. 7. segments; menons par A les axes
Aa;„ A»/j, As,, parallèles aux axes Ox, Oy, Oz, et soient AB„ AB,, AB, les projections de AB sur ces trois axes. On aura, d'après le théorème III,
moment (FF, Âb) = moment (FF, Â^^) + moment (a'B', ÂB^) + moment (FF, ÂB,)
or, le segment AB, est porté par l'axe ^.x^ et a pour mesure sur cet axe le nombre X ; on a donc
moment (FF', ÂBJ) = moment (FF, Âxj). X
et de même
moment (FF, ÂFJ = moment (FF, Ây'X Y, moment (a'B', ABj) = moment (A'B', Az^\ Z.
Mais les coordonnées du point A étant x, y, z, celles de A' étant x'^y'yz', par rapport au trièdre Oa;, Oy, Oz, les coordonnées de A' par rapport au trièdre Aa:, Ai/j As, sont •
x' —Xy y' — y y z' — z,
et par suite, en vertu des formules qui donnent L, M, N, nous aurons
moment (FF, Ax,) = (y' — y) 2' — (z' — z) Y', moment (FF, AyJ = (z' — 2)X' — (x' — a;) Z', moment (FF, kz^) = {x' — x) Y' — {y' — y) X', d'où
moment (ÂB, FF) = X [{y' - y) Z' — {z' — z) Y']
H-Z[(x'~x)Y'-(y'~y)X']; mais on a
L'=y'Z' —z'Ty W =:z'X' -x'Z', N' = x' Y' — y'X',
donc
moment (Fb, FF) = X [L' — yZ' + 2 Y'] -h Y[M' — zX' -HxZ'J + Z[N'-xY' +yX'j
OU encore
moment (15, Â^) = L'X ■+• M'Y + N'Z H- X' (yZ — cY) + Y' (zX — xZ) -h7!{xY—yX) et comme
L=t/Z — cY, M = zX — arZ, N^arY — i/X,
on a finalement
moment (ÂB, FB') = L'X -h M' Y -t- N' Z + XL + Y' M + Z' N.
Nous avons assimilé les axes à des segments unitaires. Soient a, ^,Y, X,[jL,v les coordonnées d'un segment unitaire; on a
a» + 3» 4- Y* = i, aX + ^SJt -1- 7V =0,
ces six quantités seront pour nous les coordonnées de l'axe qui porle le segment unitaire et a même sens que lui; on voit que a, P, y sont les cosinus directeurs de l'axe et X, [/., v ses moments par rapport à Ox, Oy, Oz.
D'après la définition que nous avons donnée du moment d'un sej^nient AB par rapport à un axe,
XX + ii.Y + vZ +- aL + PM + yN
est la valeur du moment du segment AB (X, Y, Z, L, M, N) par rapport à l'axe (a, P, y» X, jx, v).
De même le moment de deux axes
(a, 3, Y, X, |JL, v) (a',^',Y', X',ix',v')
a pour expression
aX' + p;x' + Yv' + Xa' + jji^' -f- >iy'.
Moment 9. La mécanique n'utilise pas seulement les moments par rapport
par rapport m,jj axes; elle emploie aussi les moments par rapport aux points.
Soient AB un segment et 0 un point, élevons au point 0 une perpendiculaire au plan ABO et choisissons sur cette droite l'axe A qui est dextrorstim par rapport à AB. Le moment de AB par rapport Cinématique. S
18 LEÇONS r>E r.lNÉMATlQlTE.
à cet axe est ce que l'on appelle le moment du se^-^ment AB par
rapport au point 0.
eprespn a uu j/ jj ^ |.^^^ d'introduire ici une représentation
par / des nioinents qui est due à Cauchy. Soit [k le
un sfgiuMut. ^ / moment d'un segment AB par rapport à un axe
quelconque A, on représente ce moment par un
segment de glissement porté par l'axe A, é^al en
longueur à la valeur absolue de [;., et dirigé dans
le sens de l'axe ou le sens opposé suivant que
Fig. 8. jx est positif ou négatif. En un mot, jji, est le
nombre qui, sur l'axe A, mesure le segment représentatif du moment.
Cette représentation des moments par des segments ne respecte
pas les régies de l'homogénéité, mais cela est sans inconvénient, car
nous n'aurons jamais à composer des segments purs avec ceux qui
représentent le'? moments.
Considérons un segment AB, un point 0, l'axe A^ normal en 0 au
A / plan ABO et dextrorsum avec AB; nous avons
dit que le moment de AB par rapport à cet axe
est le moment de AB par rapport au point 0.
I\iisque A,, est dextrorsum avec AB, ce moment
est toujours positif et le segment OG^ qui
représente ce moment sur l'axe A^ a le sens
même de A^, il est lui aussi dextrorsutii
avec AB.
^^' ' Ceci posé, on a le théorème suivant :
Théorème V. — Le segment qui représenifl le moment d'un segment AB par rapport à un axe 1 peut se construire en projetant sur A le segment qui représente le moment de kB par rapport à «n point 0 pris sur A.
Prenons le point 0 pour origine des coordonnées et A pour axe 0.r, soient x, y, z les coordonnées du point A, origine du [segment AB, X, Y, Z les projections de ce segment, L, M, N ses moments par rapport à Ox, Oy, Oz.
On a, comme on l'a vu précédemment :
/ L—ty -h Yz =0, I U—tz + Za; = 0, ( N — Y.r-+-X?/=:0,
et L, M, N, X, Y, Z, étant données,le lieu du point rr, y, z est la
droite AB.
En formant une combinaison linéaire et homogène de ces équations, nous aurons l'équation du plan mené par AB et Toii^ine 0; nous trouvons ainsi
hx -\- Mj/ + Nz = 0,
Les cosinus directeurs de l'axe A^ normal en 0 au plan AOB sont
