KL'-+-M'-+-N
Vu + M* 4- N'
KL' + M'~-i N*
où e désigne ± 1. Cherchons le signe qui convient. Le moment «le AB par rapport à cet axe aura pour expression
aL + pM + vM = £ — t Vu -H M» -<- N';
Vu + M' -f N'
il doit être positif, puisque Aq est choisi dexlrorsum avec AB, donc e =r -H 1 ; et, par suite,
de plus la longueur du segment 0G<, qui représente le moment par rapport au point 0 (ou par rapport à Aq) est VU i- M' + N", donc
L = a Vu + M' -t- N*
représente le nombre qui mesure la projection OG^ sur O.r fou AI du segment OG^.
Mais L est aussi le moment de AB par rapport à Ox (ou A); le théorème est donc démontré.
On voit que L, M, N sont les projections du segment OG^j sur les axes Ox, Oy, Oz.
Le théorème que nous venons de démontrer joue en cinématique un rôle très important, comme nous le verrons.
Calcul
d'an moment
par rapport
à un point.
Autre généralisation du théorème de Vari^rnon.
20 LEÇONS r)È CINÉMATIQUE.
Cherchons à résoudre le problème suivant :
Un segment X, Y, Z, L, M, N étant donné, ainsi qu'un point P (ic^, y g, Zj), trouver le moment du segment par rapport à ce point. .
Il suffît de trouver les projections de ce segment moment sur
les axes Ox, Oy, Oz ou encore sur les trois axes Px\ Py', Pz' parallèles à Ox, 0 ?/, Oz et issus du point P, c'est-à-dire encore les moments du J[' segment proposé par rapport aux axes Vx' , Py' Pz'. Soient .x, y, z les coordonnées du point A origine du segment AB par rapport au trièdre Ox, Oy, Oz. Les coordonnées par rapport au trièdre Pjc' Py' Pr' sont
Fig. a.
^oi y y<i-> ^ ^o>
ses moments par rapport aux axes Pac', Pj/', Pz' sont donc
{y y„) Z - (z - z„) Y, (z — Zo) X — (jj — Xo) z, (x — x,)Y — (y — I/o) X,
ou encore, eu égard aux expressions de L, M, N,
L + Yzo — Zyo, M -f- Za-j, — Xzg, N+Xy,-Y:c,.
Telles sont les formules qui donnent les projections sur les axes Ox, Oy, Oz du segment moment du segment AB (X, Y, Z, L, M, N) par rapport au point 0 {x^, y^, z^). Ces formules sont essentielles.
Le théorème de Varignon est susceptible d'une généralisation importante au moyen des moments pris par rapport à un poinl. Voici cette généralisation :
Soient plusieurs segments concourants A.B^, AB^, ...^ AB„ et PG,, PG,, ..., PG, les segments qui repré-^enlent leurs moments par rapport à un poinl P arbitraire; le moment PG de la résultante AB des segments proposés est la résultante des segments moments PG,, PG„ ..., PG„.
Plaçons en effet l'origine des coordonnées au point A; les moments L,, Mj, Nj du segment AB,- par rapport aux axes sont nuls, et le moment de ce segment relatif au point P (ac,, y,, z^) a pour projections
YjZo — Z..Î/0,
