CHAPITRE X

Des degrés de liberté d'un système mobile. — Monvemenls à plusieui's paramètres.

Libt'iip 78. La position d'un point dans l'espace dôp'îi<^ (îe trois para-

d'un l'uni mètres; on peut traduire ce fait f n disant qu'un point do l'espace qui n'est assujetti à aucune condition possède une liberté de degré égal à 3. Si l'on assujettit le point à rester sur une surface, son deg:ré de liberté s'abaissera à deux unitr=. Il s'abaisse à 1 si le point est assujetti à rester sur une ligne.

Liberté Considérons encore un segment de droite AB de longueur inva-

l'un segment, riable. Sa position dans l'espace dépend de cinq paramètres; si donc, sa longueur étant donnée, il n'est assujetti, en outre, à aucune condition, on pourra dire qu'il est doué d'une liberté de degré 5.

En assujettissant le segment à k conditions, se Iradui.sant chacune

par une équation, on abaissera son degré de libc» té de 5 à (5 — k).

Cas Si, par exemple, on introduit 3 conditions, le segment aura une

H'uii segment liberté de degré égale à 2. Tous les points de ce segment décrivent

*d'i^t t^*^ ^^^"^ chacun une surface, sauf cependant le cas exceptionnel où un

est 2. point particulier serait assujetti à rester fixe ou à décrire une ligne;

encore dans ce cas exceptionnel tous les autres points décrivent- ils

des surfaces.

Soient A, B, G trois points d'un segment qui décrivent chacun une surface. Soient A A,, BB, , CCj les normales à ces surfaces. Tout déplacement infiniment petit du segment équivaut à une rotation autour d'un axe A (n** 36, p. 112), et les plans menés par A et les points A , B, G sont les trois plans normaux aux déplacements de chacun de cea points. Le plan mené par A et A, par exemple, contient toutes les

Normales

aux surfaces

trajectoires

d'un point du

segment.

droites issues de A normalement au déplacement du point A ; il contient donc la normale A A, à la surface lieu du point A. On voit ainsi que l'axe A coupe les normales AA,, BK,, GC,. Gomme il y a, du reste, une infinité de déplacements du segment ABG, il y a une infînité d'axes A et il est évident que ces axes A constituent un système 1 de génératrices de la quadrique Q définie par les trois droites Ax\„ BBj, GGj. Appelons 1' le second système de génératrices, dont ces trois dernières droites font partie.

Si Ton pi'end un point quelconque M sur le segment ABC, la normale MMj à la surface que décrit ce point devra rencontrer tous les axes A et par suite faire partie du système 2'. On a donc ce théorème.

Si un segment possède un degré de liberté égal à 2, les normales aux surfaces trajectoires de tous ses poiiits constituent à chaque instant un système de génératrices d'une surface de second degré.

Quand le segment ABG se déplace, la droite !3) qui le porte engendre une congruencc (voir n° 14), et récipi'oquement toute congruence de di'oites peut être définie comme le lieu des supports d'un segment rigide dont trois points décrivent des surfaces données. Nous pourrons utiliser la proposition précédente pour établir la propriété fondamentale des congruences de droites, à savoir, celle qui vise l'existence des surfaces focales.

Observons que la droite *3), qui porte le segment ABC, fait partie des génératrices du système 2. Il y a deux plans x', t:' tangents à la quadrique Q et normaux à la droite if). Le plan x' et le plan v' contiennent respectivement des génératrices A', A' du môme système 2, qui sont deux axes de rotation particuliers, rectangulaires avec la droite 2). Appelons F', F' les points où la droite 2) est coupée par les plans x', %'. Dans le mouvement qui équivaut à une rotation autour de A', le point F' décrit un arc de cercle auquel est tangente la droite 2), en sorte que, dans ce déplacement, celte droite engendre un élément de surface développable. Même remarque pour F' à l'égard de la rotation autour de l'axe A'.

11 y a donc deux manières de déplacer la droite ^, de telle sorte

que cette droite engendre un élément de surface développable et les

Foyers et plans points F', F", ci-dessus définis, sont respectivement les points de

contact de (S) avec les arêtes de ces développables, tandis que les plans

Congmcnce

engendrée

par le segment

focaux.