CHAP. X. — DEGRÉS DE LIBERTÉ D*UN SYSTÈME MOBILE

<I>',<^*, menés par F', F", respectivement normaux à A' et A', en sont les plans oscillateurs.

Les points F', F* ont reçu le nom de foyers et les plans 4>', fV celui de plans focaux relatifs à la droite ^, dans la congruence engendrée par celte droite.

Lorsque la droite ® engendre la congnience, les points F' , F' engendrent deux surfaces S', S' appelées surfaces focales. Ces surfaces sont 1? lieu des arêtes de deux familles de développables qtie l'on peut tonner en déplaçant la droite iD. Il en résulte que cette droite ^ qui est tangente en F', F' à deux de ces arêtes, est tangente en ces points aux surfaces focales. Déplaçons de plus la droite 3) de sorte qu'elle engendre une développable dont l'arête sera, par exemple, le lieu de son foyer F'; le lieu du second foyer F' sera une courbe tracée sur S' et suivant laquelle la développable engendrée sera circonscrite à celte surface; le plan *!>' tangent à cette développable le long de la droite ® sera donc tangent en F' à la surface S". Ainsi le plan focal <t>' est tangent en F' à la surface focale S' et de mémo le plan focal ^* est tangent en F' à la surface focale S'.

Si la droite 2* reste, dans ses diverses positions, normale à une surface U, les plans focaux sont les plans des sections principales de celte surface, Us sont rectangulaires. On démontre ailleurs la réciproque de cette proposition.

Il nous suffira ici de faire observer que si les plans focaux sont rectangulaires, les droites A', A", déjà rectangulaires avec ^, sont aussi rectangulaires entre elles et dès lors le cône asymptote de la quadrique désignée par Q est capable d'un tnèdve trircctangle inscrit. Cette condition est évidemment nécessaire et suffisante pour que les plans focaux soient rectangulaires et, par suite, pour que la droiie Î;D engendre une congruence de normales.

79. Je bornerai là ces généralités pour les appliquer à un ou deux cas particuliers.

Supposons en premier lieu que trois points A, B, C d'un segment décrivent trois plans a, P, y formant un trièdre trirectangle. Il est aisé de prouver que tout autre point M du segment décrit un ctangulaires. ellipsoïde.

Soient, en effet, o, 5, c les distances MA, MB, MC et aî, y, z les coordonnées du point M par rapport au trièdre formé par les plans

ooo

Segment dont

trois points

décrivent

des sphères.

a, 3, y; «lésignons aussi par X, ;;., v les cosinus <:lirect«nirp de la droite ABC par rapport à ce triédre; les équations de cette droite seront

où p est la distance du point (X, Y, Z) au point M {x, y, z). Appliquons ces équations en prenant pour X, Y, Z successivement les points A, B, G nous aurons

et puisque il viendra

11 est actuellement facile de prouver que, dans ce cas, la droite ABC reste normale à une surface fixe. En effet, les normales AA,, BB„ CCt aux surfaces trajectoires des points A, B, C sont ici parallèles respectivement aux axes Ox, Oy, Oz qui sont rectangulaire>'. Le cône directeur de la quadrique Q est donc capable d'un trièdre tnroctangle inscrit. En conséquence, d'après la remarque précédente la droite ABC engendre une congnifince de normales (^).

Prenons comme second exemple celui d'un segment dont trois points décrivent trois sphères ayant leurs centres Ap Bj, C^ sur une même droite.

Ici les normales AAj, BB,, CC, pas.sent chacune par un point fixe et la quadrique Q contient une génératrice fixe A,B,Gj. La normale MM, à la surface trajectoire d'un point M quelconque de ABC coupe donc AjBjC, en un certain point M,. De plus, d'après une propriété connue des génératrices rectilignes d'une quadrique, le rapport anharmonique des quatre points A, B, G, M égale celui des quati'e points A,, B,, G,, M,.

Le rapport anharmonique de ces quatre derniers points est donc constant, et comme A,, Bj, G, sont fixes, il en est de même du

(1) Darboux, Leçom iur h théorie des sut/aies, t. I, p. 235. — Mannheim, Bnlletm àcs sciaices fitathfmatit^te^, 2« série, t. IX.