CIIAP. X. -- DEGRÉS DE LIBERTÉ D'UN SYSTÈME MOBILE

M,, Mj, on pourra prendre contime nouveaux paramètres les intégrales de cette équation du second degré en du^ et dw, , en sorte que les deux déplacements qui se réduisent à une rotation infiniment petite seront définis, l'un par l'équation dw, = 0, l'autre par l'équation dit, = 0.

Nous avons remarqué, du reste, au no 82 que tout déplacement d'un corps dont la position dépend de n paramètres résulte des déplacements que l'on obtient en faisant varier successivement ces paramètres; donc, dans le cas actuel, comme ces déplacements partiels consistent chacun en une rotation, on pourra énoncer ce théorème :

Tout déplacement infiniment petit d'un corps doyH la position dépend de deux paramètres résulte de deux rotations instantanées autour de deux axes A,, A,.

Considérons un point M du corps; dans la rotation autour de A,, le point M décrit un petit arc MM' normal au plan mené par M et par Aj . De même le plan mené par M et par A, est normal en M au petit élément MM* décrit par le point M quand le corps subit une rotation élémentaire autour de A,. La droite MN, intersection de ces deux plans, est normale à la fois aux éléments MM', MM", c'est donc la normale à la surface que le point M du corps est assujetti à décrire. De là ce théorème :

Quand un corps est assujetti à quatre conditions, les normales aux surfaces trajectoires de ses points rencontrent toutes deux droites Aj, A, qui ne dépendent que de la position actitelle du corps.

Ce théorème, trouvé d'abord en 1855 par Schôneman, a été donné en France en 1866 par M. Mannheim, qui en a fait la base de plusieurs écrits insérés dans divers journaux scientifiques et notamment dans le Recueil des savants étrangers.

On peut donner de ce théorème une démonstration différente qui démonstration met en évidence le rôle des complexes et des congruences linéaires

du théorème dans cette question, précédent. ^

Reprenons l'hypothèse générale où les deux paramètres indépendants M,, Mj sont quelconques. Si l'on prend pour Wj, w, deux fonctions du temps, on obtient un mouvement dont les éléments du

Autre

mouvement hélicoïdal tangent seront

du. dv. du, du, du. du,

^ ^ du. ^ du^ du. du. „ „ du, „ du^

Si l'on ne fait venir que m,, on obtiondra un mouvement hélicoïdal tangent auquel se trouve attaché un certain complexe linéaire G, ; si l'on ne fait varier que m,, on aura un autre mouvement hélicoïdal tangent auquel se trouve attaché un second complexe linéaire G,.

Considérons un point M quelconque, la normale MN à la surface qu'il décrit appartient au complexe Cj, car cette droite est normale à la trajectoire que décrit le point M quand m, varie seul; pour une raison analogue, MN fait aussi partie du complexée,. On reconnaît ainsi que :

Lorsqu'un corps est assujetti à quat^'e conditions, les normales aux surfaces trajectoires des points de ce corps constituent à chaque instant l'ensemble des droites communes à deux complexes linéaires.

Congi-uence On appelle congruence linéaire l'ensemble de ces droites. Or, on

linéaire. démontre aisément que l'ensemble des droites communes à deux

complexes linéaires est constituée par les droites qui coupent deux

droites fixes Aj, A,, lesquelles sont conjuguées à la fois dans ces

deux complexes.

Nous retrouvons donc ainsi, mais avec des compléments géométriques qui peuvent avoir leur utilité, la proposition de MM. Schônemann et Mannheim.

Quant à l'existence de ces deux droites Aj, Ag que doivent couper toutes les droites communes aux deux complexes linéaires., on rétaîjlit ainsi :

Les complexes G,, C, ont pour équations respectivement (voir le n« 17)

p^L + g, M -H r,N + SjX + v;iY 4- ^,Z — 0,

l'équation î^uivante, où p est arbitraire,

f!(técial.

Contact d'une surface avec !on enveloppe.

Foyers d'une diuite d'une congruence.

CHAP. X, — DF.anÉS de UBEnTÉ DITN ^;YSTKME MOPII.E. 2^5

dt^fîuil un complexe linéaire qui contient toutes les droites communes aux deux premiers.

Cherchons à déterminer p de. sorte que ce complexe soit spécial, c'est-à-dire que l'invariant

soit nul. Dans ce cas, les quantités

Pi -1- PPp 7i + f 7i, »-, + p''p ;, + p;,, nt + p^i, ^» + p-a

sont les coordonnées d'un segment (n» 11) et l'équalion (15) exprime que la droite X, Y, Z, L, M, N, coupe la droite A qui porte ce segment. Un complexe spécial est ainsi formé- de l'ensemble des droites qui coupent une droite donnée A. Maintenant l'équation (16) s'écrit

(17) X<„o* + 2cX',,? + ^'.„ == 0,

elle donne pour p deux valeurs, p', p"; à chacune de ces valeurs correspond une droite A, ce qui fait deux droites Aj, A, que doivent rencpntrer les droites communes aux complexes proposés.

Ajoutons que si dans l'équation (15) on met p', puis p" au lieu de p, on obtient deux équations qui, tant que p* — p' n'est pas nul, forment un système équivalent au syslème (14).

Il en résulte que, réciproquement, toutes les droites qui coupent à la fois Aj, A, sont communes j\ nos deux complexes. On en conclura immédiatement que A^ et A, sont un couple de droites conjuguées communes à ces deux complexes C,, C,. On voit même que quel que soit p, les droites A„ A, forment un couple de droites conjuguées par rapport au complexe représenté par l'équation (15).

Considérons actuellement une surface S liée au corps, on prouve par un raisonnement analogue à celui du no 46, que pour avoir le point (ou les points) de contact de la surface S avec son enveloppe, ou doit chercher sur S les points dont la normale coupe les deux droites Ap Aj.

Par exemple, si S est un plan, ce plan louche son enveloppe au point de lencontre des projections sur S de.s droites A,, A,.

On peut de même se proposer de rechercher les foyers d'une droite liée au corps. Cette droite engendre, en effet, une congruence puisqu'elle dépend de deux paramétres.

Soient X, Y, Z, L, M, N les coordonnées de cette droite dam le trièdre mobile.

Ces coordonnées sont des constantes.

Le lecteur prouvera aisément que les foyers se trouvent à l'intersection de la droite considérée avec la quadrique représentée par l'équation

I Ej + g^z - i\y, 5, + q^z — r,y, X

I Ci + Piî/ — g.aî, ^i+p^y — q^x, Z

Du reste, si l'on voulait inlroduii^e ici les considérations du n" 78, page 220, il suffirait d'observer que les norriiales aux surfaces trajectoires des divers points de la droite proposée doivent couper, outre cette droite % les axes de rotation \, A,, en sorte que la quadrique que nous avons appelée Q est ici définie par les droites IJ), ^^ et Aj.

84. La géométrie des surfaces et des congruences offre un cliamp immense aux applications des mouvements à deux paramètres. Les formules de Codazzi, par exemple, rentrent dans les conditions d'intégrabilité (9) et (10).

Théorème Je me bornerai, pour terminer, à démontrer un beau théorème dû

de Ribaucour. ^ Albert Ribaucour et qui rattache le problème de la déformation des surfaces à l'étude de certains mouvements.

Les raisonnements qui nous ont servi à établir le théorème de Schônemann et Mannheim tombent en défaut si l'équation (13) ou, ce qui revient au mémo, l'équation (17) a ses racines égales, c'està-dire si

C'est le cas limite où les droites Aj, A, viennent se confondre. Il ne ditfére pas essentiellement du cas général.

Il en est tout autrement si les équations (iO) ou (17) sont dos identités, c'est-à-dire si

Dans ce cas, les mouvements hélicoïdaux tangents se réduisent toujours à une simple rotation, et cela, quelle que soit la loi du mouvement.

Les équations 3(\i = 0, 3^^ = 0 expriment que les déplacements

CHAr. X. — DEGRÉS DE LlDEUTÉ d'uN SYSTÈME MOBILE. 237

dans lesquels u^ puis m, varient seuls sont des rofations Q,, Q, ; appelons Ap A, les axes de ces rotations, dont (/j,, q^y r,, ^,, r,j, l,) (Pî' ^2» *'2> ?2» ''iï' ^'î) sont les coordonnées. L'éqnalion .IRi,, = 0 exprime alors que ces axes A, et A, se coupent.

Nous appellerons I leur point de rencontre et r leur plan commun.

Maintenant, les expressions

Pi«; 4-i7,«;, q^u[ H- g,w;, r,n; + r,î«;,

ou 1 on a pose pour abréger u^ = -7- » m, =: -~ > sont, quels que

soient u[,u[, les coordonnées d'un segment Q porté par un axe A, et ce segment Q représente une rotation à laquelle est réduclible le

mouvement tangent quel que soit le rapport - f • Or, il résulte des

expressions mêmes de ses coordonnées que le segment w est la résultante de deux segments portés par les axes A, et Aj et qui sont égaux l'un au produit du segment Q^ par le nombre wj, l'autre au produit du segment û^ par le nombre u'^. Le segment Q est donc issu du

point I dans le plan r. Quand le rapport - prendra toutes les

valer.is possibles, l'axe A décrira évidemment le faisceau pian (I, r).

On peut même ajouter, remarque qui a son utilité, qu'en vertu du

principe de correspondance, le rapport anbarmouique de quatre axes A

sera égal au rapport anharmoaique des quatre valeurs do -' aux-

quelles ils correspondent.

Considérons actuellement le point I; il dépejid des deux paramètres Uj, Hj et décrit dans l'espace une certaine surface I,-: il décrit aussi dans le corps une surface l,„ qui sera le lieu des points du corps avec lesquels le point I peut venir coïncider.

Le théorème de Ribaucoar consiste en ce que les surfaces 1/ rt I,„ sont tangentes l'une à Vautre au point l, le plan r. est leur plan tangent commun et enfin elles sont applicables l'une sur l'autre.

Supposons, en effet, qu'on prenne pour n^, u^ des fonctions quelconques du temps; le point I va décrire sur I„. et sur J, deux courbes C„„ Cf, C,„ sera sa trajectoire relative et C, sa trajectoire absolue. La vitesse d'entraînement du point I étant nulle, puisque, quel que soit

le déplacement, il est constamment sur l'axe instantané de rotation, il en résulte que sa vitesse absolue se confond avec sa vitesse relative. Les courbes G,„ et G/ sont donc tangentes et roulent sans glisser l'une sur l'autre. Ceci étant vrai quelle que soit la courbe G„, que l'on obligera le point I à décrire sur I„,, on peut en conclure déjà que les deux surfaces ly, I,„ se touchent au point I.

Gomme de plus, puisqu'il n'y a pas glissement, à un arc de courbe C,„ tracée sur I„ correspond un arc égal de la courbe Gy tracée sur ly, on voit que la correspondance ponctuelle qui existe entre les surfaces îjy I„, est de telle nature que les arcs correspondants sont égaux.

Les deux surfaces I/, I„, sont ainsi applicables l'une sur l'autre.

Soient x, y, z les coordonnées du point de rencontre I des axes des deux rotations p^, q^, i\, ç,, yJi, ^^ et j9„ q^, r^, ç„ r,„ ;„ on a

E, = — g,t -H r,î/, r,, = — t\x -h p^Zy C, = - VtV + fU^- Si nous ëcrivons alors les conditions d'inlégrabilité nous trouverons ôz au àz

du^ *<?M,

ày du

âz

ày

âx

^'ôxi} "^'du.

Multiplions ces trois équations respectivement par

âx à y

du^

> ajoutons et nous trouverons

du^

du.

ày

du^

ày

du.

dUi

àUi

dx ày dz en multipliant au contraire par ——5 -r— ,? -j— et ajoutant encore ^ du, à tir du.

d itj

du^

du*

âz

ôu^

CHAP. X. — DEGRÉS DE LIBERTÉ d'uN SYSTÈME MOBILE. 239

Ces deux équations expriment que le plan des deux axes est précisément le plan tangent à la sur face I„ au point I.

Le Ihéorèmo de M. Ribaucour ramène ainsi la question des surfaces applicables sur une surf;icc donn^'e à l'élude de certains mouvements de celte surface. Le cas particulier où l'on fait rouler une surface sur sa symétrique donne lieu à des propositions analogues à celles que nous avons déjà rencontrées pour les courbes. Il est bon de dire ici que ce cas joue un rôle à part et qu'il semble échapper à la théorie qui fait l'objet du cas général.

Mouvements à trois paramètres.

85. Les mouvements à trois paramètres ont été beaucoup moins étudiés que les mouvements précédents.

Un corps qui a un point fixe et un corps dont un plan peut librement glisser sur un autre plan sont deux exemples de mouvements à trois paramètres. Dans ces deux cas une circonstance remarquable se produit : quelle que soit la loi de mouvement que l'on impose au corps, à chaque instant le mouvement hélicoïdal tangent se réduit à une rotation. Autrement dit, tout déplacement infiniment petit équivaut à une rotation.

L'équation

-+- 2 M'<^^du^du^ -+- 2 'à(^^du^du^

+- 2 jl^jjdUjdUj

qui définit les déplacements infiniment petits réductibles à des rota- Mouvements ^'^"^^ ^^*' ^^"^ ^^ ^^'^^ ^^^^ ""® identité, ainsi que cola se produit

k trois avec deux variables à propos du théorème de Ribaucour. pararnèti'os II y a quelque intérêt à rechercher si ces deux mouvements à des rotations *'^*^ paramètres sont bien les seuls qui présentent celte cirsuccessives. constance.

Sphi re

glissant

sur elle-même.

Plan glissant sur lui-mcmc,

Mouvement d'une figure qui reste symétrique d'une figure fixe.

Observons d'abord que Von a par hypothèse ces six équations

3^\l =■ 0, 5{)j2 rr= 0, Jt'j., =■ 0,

Les trois premières expriment que les quantités (p^, ^j, r^

?i» ^.1» Cl) (Pi^ ^î' ^s» ^i' "Or Q (Pt' ?3. »*3> ?3? ^v î^î) sont les coordonnées de trois segments représentai ifs de trois rotations aulour d'axes Aj, A,, A,. Les trois dernières équations expriment que ces axes sont deux à deux dans un môme plan.

Or, si trois axes pris deux à deux sont dans un même plan, ou bien ces axes forment un trièdre, ou bien ils forment un prisme, ou bien ils forment un triangle. Car nous excluons le cas où les trois axes étant dans un même plan seraient concourants ou parallèles. On prouverait, en effet, que dans ce cas le nombre des paramètres indépendants ne saurait être égal à 3.

Nous allons donc examiner les trois hypothèses précédentes. La première hypothèse ne fournit pas d'autre mouvement à trois paramètres que celui dans lequel un point du corps est fixe, ou ce qui revient au même, dans lequel une sphère du corps glisse arbitrairement sur elle-même.

La deuxième hypothèse ne donne que le mouvement d'un corps dont un plan glisse sur lui-même.

Reste la troisième hypothèse.

Dans ce cas les axes des rotations instantanées doivent être contenus dans un même plan et y former un triangle. Or, on aperçoit tout de suite un mouvement qui remplit cette condition.

Supposons une figure V qui se déplace de telle sorte qu'elle soit, dans toutes ses positions, symétrique d'une figure F, par rapport à un plan variable de l'espace. Comme la position du plan de symétrie dépend de trois coordonnées, nous aurons ainsi défini un mouvement à trois paramètres.

Or, soient F, F' deux positions de la figure; t, %' les plans par rapport auxquels elles sont respectivement symétriques d'une même figure Fj de l'espace. C'est une proposition de géométrie élémentaire facile à établir qu'on peut amener F sur F' par une rotation autour de la droite d'intersection des plans t: et z', rotation dont l'amplitude est le double de l'angle de ces deux plans. On voit donc que tout déplacement infiniment petit de la figure F est équivalent à une rota-

CHAP. X. — DEGRÉS DE LIBERTÉ d'ON SYSTÈME MOBILE. 241

lion infiniment petite autour d'un axe A situé dans le plan tc par rapport auquel F est symétrique de la figure fixe F^.

Prenons, dans la figure fixe, un trièdre trirectangle Tj ; son symétrique par rapport au plan x est un autre trièdre trirectangle T. Chaque arête de T s'appuie sur l'arête homologue du trièdre symétrique et la coupe au même point que le plan r, en sorte que T, 'V^ déterminent sur le plan x le même triangle.

Réciproquement, si deux trièdres trirectangles T, T, définissent sur un plan tt le même triangle, on sait que ces trièdres sont symétriques par rapport au plan de ce triangle. On peut donc définir sans ambiguïté le mouvement qui nous occupe en disant que :

Un trièdre trirectangle T lié au corps est assujetti à s'appuyer par ses arêtes sur les arêtes d'un trièdre trirectangle T^ fixe dans l'espace.

Si A, B, G sont les points d'appui des couples d'arêtes concourantes, les deux trièdres sont symétriques par rapport au plan ABC et toute figure F liée au trièdre T est symétrique, par rapport à ce plan, d'une figure F^ liée au trièdre fixe T^.

Toute courbe G liée au trièdre T ne cesse de s'appuyer sur une courbe C^ liée à T^ et dont elle est la symétrique, etc.

Ce mouvement intéressant convient à notre troisième hypothèse. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier qu'elle ne comporte pas d'autre solution.

Si l'on vient à assujettir le plan % à une condition, il enveloppe dans le corps mobile une surface fixe S, et dans l'espace une surface S, dont S est la symétrique, en sorte qu'on obtient alors un mouvement à deux paramètres dans lequel une surface S roule sur une surface S| dont elle est sans cesse la symétrique par rapport au plan langent commun. Nous retrouvons ainsi le cas particulier de roulement de surfaces signalé à la fin du numéro précédent.

Cinématique. M5