LEÇONS DE CINT^MATIQUE

tion finie ne doit exister entre x, y, i et les u, ces équations doivent avoir lieu quels que soient x, y, z ; il vient ainsi

T^ -" X^ + g ^ qij + r.Y] . — )vr,; = 0, dUi aUi •' ^

à Pi à Pi

Telles sont les conditions que doivent vérifier les 6n fonctions Pi} Qi> ^i> ^/j li» ^ij t^-"^ conditions sont au nombre de

Il y a lieu de remarquer la signification des quantités ç^, y],., ÎJj, Pi» 9i> *'i *!"» figurent dans ces formules.

Si l'on suppose que le paramètre Mj varie seul avec une vitesse

diii , 1. .

-— égale à 1 unité, ces six quantités sont précisément les coordonnées du mouvement hélicoïdal tangent qui correspond à ce mouvement particulier. Les quantités H; r;,-, ^; représentent notamment les projections, sur les axes du trièdro mobile, de la vitesvse d'entraînement de l'origine de ce trièdre. On observera qu'au fond cette origine est un point quelconque lié invariablement au corps mobile, et que les quantités jj,-, g„ >\ restent les mêmes si l'on change le trièlre T en un autre qui lui serait parallèle et invariablement lié. Dans les équations (9') on peut donc mettre, au lieu de 5,, y;., Ç,, Çj, T/jf ^j, les projections des vitesses de n'importe quel point lié invariablement au corp.''; ces équations devront être encore vérifiées. Cette remarque élémentaire est une source de simplification dans certains calculs et a été notamment utilisée par M. Daiboux dans ses Leçons sur la théorie des surfaces.

CIIAP. X. — DEGRÉS DF LIBERTÉ d'uN SYSTÈME MOBILE. *>3l

^.rt. r « ,. , . , ^W| dv, dn„

82. La forme linéaire de v^., il, v, en —r-'-» — — '> •••> —r- con-

at cit dt

dnif à quelques propriétés que nous allons faire connaître.

Si l'on effectue un déplacement dans lequel m^ varie seul, les projetions de la vitesse d'entraînement auront pour expressions

dU;

les sommes des quantités analogues représentent les projections de la vitesse dans l'hypothèse d'un déplacement quelconque; de là ce théorème ;

Dam tout déplacement d^un corps dont la libeHc est supérieure à 1, la vitesse d'entraînement est la somme géométrique des vitesses que l'on obtient en faisant varier séparément et successivement chacun des paramètres indépendants.

iplacements Proposons-nous encore de rechercher les lois de mouvement d'un réductibles corps dont la liberté est n et qui soient telles que le mouvement es'oa ions. Jj^jj^qj^q} tangent se réduise constamment à une rotation.

Il faudra, conformément aux résultats du numéro 33, page 105, que l'invariant

p^ + qfi -^ rX, = 0

soit nul, c'est-à-dhe que l'on ait

Posons

Ma =Pi^i + qi-rit + rXiy 2 3éij=pi^j -h pAi + qiTtj -f- qjr,{ + i\Zj + r,Ç,.;

l'équation (li) devient, après multiplication par dt*,

Les déplarements du corps qui admettent une rotation tangente sont donc ceux pour lesquels les rapports dUi, dttj vérifient l'équation précédente (12).

Les coefficients 3^)ij qui figurent dans cette équation ont une signi. fication immédiate; ^v,,- est l'auto-moment du système de segments S; qui représente les rotations quand on ne fait varier que m, avec

d u'i une vitesse —- = 1 égale à l'unité; et ^i,j est le moment des deux

systèmes S,, S;.

Observons que si l'on imprime au corps un mouvement continu tel que l'équation (12) soit constamment vérifiée, le mouvement admettra à chaque instant une rotation tangente; ce mouvement continu résultera alors, comme nous savons, du roulement d'une surface réglée sur une autre surface réglée applicable sur elle.

Mouvement d'un corps assujetti à quatre conditions.

83. Nous nll tus indiquer l'application de ces principes au mouvement d'uQ corps assujetti à quatre conditions et dépendant, en conséquence, de deux paramètres. Les points du cor^s décrivent alors chacun une surCiice et le problème se pose de construire la normale à chaque surface trajectoire. Un beau théorème dû à Schôneman et retrouvé par M. Mannheim, donne la solution de ce problème.

Formons, dans l'hypothèse de deux paramètres, l'équation qui définit les déplacements équivalents à des rotations, nous aurons

(13) 36u du* + 2 36« du^ du, + 5^f,„ du\ = 0.

du Cette équation donne deux valeurs pour le rapport -— ; on peut,

dès lors, conclure ce théorème :

Quand un corps est assujetti à quatre conditions, parmi tous les déplacements de ce corps autour de Vune quelconque de ses positions, il y en a deux qui se réduisent à des rotations.

On observera que 3(5,i> ^'n^ ^n sont des fonctions de tij, m,; si donc on fait un changement de variables portant sur les paramètres

Théorème

de MM.

Schônemann

et Mannheim.