ARTICULÉ PLAN

Cest un ensemble de plaques ou figures planes assujetties à rester dans un seul et même plan, parmi lesquelles un certain nombre sont reliées entre elles par des charnières ou pivots normaux au plan commun.

Nous avons ajouté l'épitbète plan parce que l'on rencontre aussi des systèmes articulés sphériques, ou plus généralement gauches, ainsi que nous l'indiquerons plus loin.

Si deux plaques d'un système articulé sont reliées par deux pivots, elles sont invariablement liées et ne forment qu'une seule et môme plaque.

Si trois plaques A, B, C sont reliées deux à deux par des pivots formant un triangle, elles constituent un système indéformable et ne

forment qu'une seule et même plaque. Si donc on met de côté le cas peu intéressant de trois plaques montées sur un même pivot, on voit qu'il n'y a pas de système articulé comportant moins de quatre plaques ou membres, car tel est le terme que nous emploierons désormais.

Quadnlatèt*e articulé.

Trois formes

quadrilatères

articulés.

Systèmes à quatre membres.

88. Les systèmes à quatre membres sont ainsi les plus simples des systèmes articulés. Ils ont, du reste, une importance réelle par l'usage constant que l'on en fait dans les systèmes plus compliqués. Conformément aux remarques précédentes, nous pourrons réduire par la pensée chaque membre à la tige rigide qui joint les pivots auxquels s'articulent les membres adjacents.

Supposons donc que nous disposions de quatre tiges de longueurs a, b, c, d, que nous articulons entre elles par leurs extrémités dans l'oi'dre même qui précède^ savoir, la tige a avec la tige 6, puis b avec c, puis c avec d et enfin d avec a.

Nous formons ainsi un quadrilatère articulé.

Il est à remarquer que le quadrilatère que l'on obtient ainsi est déformable et que sa forme dépend d'un seul paramètre. Un quadrilatère articulé peut présenter trois formes, d'aspects différents. Il est toujours possible, en premier lieu, de former avec les tiges

Fig. G3.

se suivant dans l'ordre ahcdy un quadrilatère convexe tel que ABCD;

Soit G' le symétrique de G par rapport à la diagonale BD, le quadrilatère ABG'D ainsi obtenu est ici uni-concave, il est formé par les mêmes tiges se suivant dans le même ordre abcd; soit enfin D' le symétrique du point D par rapport à la diagonale AG', le quadrilatère ABC' D', que nous appellerons hi-concave, est également formé par les tiges précédentes se succédant dans l'ordre abcd.

'i Discussion de Du reste, nous allons discuter les conditions de construction du

^laconsiniction quadrilatère articulé.

Considérons les tiges a et d qui s'articulent au point A (fig. 63),

quadrilatère articulé.

Pivots

i révolution

complète.

soit B l'extrémité de la tige a et D celle de la tige d. Appelons 0 l'angle BAD, que nous pouvons toujours supposer compris entre 0 et 180». Le triangle BAD nous donne

BD* =a* -h d* ^ 2ad.cos ô.

La tige b doit s'articuler en B et la tige c en D; pour avoir le point C où s'articuleront b et c il faudra prendre un point de rencontre des cercles de centres respectifs B et D et de rayons fc, c. Il faut, avant tout, que ces cercles puissent se couper, ce qui se traduit par les inégalités

(6 — c)* < BD* < (6 -t- c)\ ou encore

(b c)* < a« + d* — 2ad cos Ô < (6 -4- c)\

Oa peut encore écrire

a* ^d* — {b + cy ^ a« -+- d* - (6 — c)V

2ad

ces 6

2ad

Ces conditions limitent en général la valeur du cosinus de l'angle des tiges a et d, en sorte que la révolution relative des tiges atitour de leur pivot commun est limitée.

Mais si l'on a

2ad

gt ^ d« — (fe -, c)«

2ad

le cosinus peut recevoir toutes les valeurs comprises entre —- 1 el

S(ld LEÇONS DÉ CINÉMATIQUE.

■4* 1 ; nous dirons alors que le pivot est à réi^olution complète, car le quadrilatère est, dans ce cas, constructible pour toute valeur de l'angle 6.

Les conditions précédentes s'écriront

(a + d)» — (b + c)«:SO, (cî— a)» — (b — c)*>0,

ou encore, en supprimant le facteur a 4- & -f- o -I- d daiis la première inégalité,

Condition pour On peut toujours appeler à le plus petit des côtés a, d; supposons, qu'un (Je plus, pour fixer les idées 6 < c (le cas de b > c se discute de ait des pivots à •n^'"®)^ ^^ facteur d-^a-^ c — b est positif et les inégalités ci-dessus révolution se réduisent à complète.

La première inégalité s'écrit

(a^b) + {d^c):<0 61 la seconde

La première inégalité est donc incompatible avec l'hypothèse a >- b, car alors a — b et d —- c seraient positifs; leur somme ne pourrait être négative.

On a donc forcément a < b, et cortmè ?>-<:c, onaa<b-<c; on a supposé d'ailleurs a ^< d^ donc a est le plus petit côté du quadrilatère.

Amsi, quand un pivot est à rêvolutioii complète, il appartient à la plus petite tige du quadrilatère.

On peut ajouter que dans ce cas la somme du plus petit et du plus grand côté est au plus égale à la somme des deux autres.

Si d est le plus grand côté, cela résulte de la condition supposée

remplie

supposons, au contraire, que ce soit e, on ft alors b ■<cc, et nous avons vu que l'on a dans celte hypothèse

ce qui démontre encore le théorème.

Même démonstration si h est le plus grand côté.

La réciproque de ce théorème est vraie et elle va nous conduire à un résultat complet.

Supposons que le plus petit côté a, ajouté au plus grand, donne une somme au plus égale à celle des deux autres côtés ; on va prouver que les deux pivots situés sur lé plus petit côté a sont à révolution complète.

Soit, en effet, d un côté s'articulant au côté a; il suffit de prouver les in^alités

qui expriment que le pivot où d et a s'articulent est à révolution complète; car la même démonstration s'appliquerait à l'autre pivot porté par a.

Supposons d'abord que d soit la plus grande des quatre tiges, on a alors, par hypothèse,

c'est justement la première inégalité à vérifier; si l'on suppose, pour fixer les idées, 6 -< c, comme on u d :3^ Cf a -<. b on trouvera

où d — a, d — b sont positifs, et en élevant au carré,

ce qui est la seconde condition. De même si on avait b >- c.

Faisons maintenant une autre hypothèse et supposons que la plus grande tige soit b ou c, c par exemple; on a par hypothèse

a-fc~b — d^O ou encore

comme c — d est positif, il faut bien que a -\- d — b — c soit négatif, ce qui est la première inégalité à démontrer. On a ensuite, d'après l'hypothèse,

Quadrilatères

qui ont

trois pivots

à révolution

complète.

OÙ c — b et d — a sont positifs, donc

(c ~ hy < (d — a)',

ce qui est la seconde inégalité qu'il fallait prouver. Le cas où h est le plus grand côté se traite de même.

Ainsi, en résumé :

Si un pivot d'un quadnlatère est à révolution complète, il en existe un second qui se trouve dans les mêmes conditions, et ces deux pivots sont aux extrémités de la plus petite tige; de pUis, la somme de la plus grande et de la plus petite tige est alors égale au plus à la somme des deux autres tiges. Cette condition est nécessaire et suffisante pour qu'il existe des pivots à révolution complète.

Nos raisonnements n'excluent pas les cas limites, en sorte que le théorème est vrai même s'il y a égalité entre les deux sommes de l'énoncé.

Cherchons maintenant s'il y a des quadrilatères articulés admettant plus de deux pivots à révolution complète. Dans ce cas, deux pivots opposés, A, C par exemple, sont à révolution complète.

Or, nous avons trouvé les conditions suivantes pour que A soit à révolution complète (fig. 63) :

a -h d — ft — c<0, (d a)* — (& — c)'s:0;

pour que G soit aussi à révolution complète il faudra avoir, de même,

le rappix)chement de ces inégalités nous prouve que

(d - a)' - (b - cf =: 0.

Il y a deux cas à distinguer :

!a-+- d — b — c = 0, d — a -\- b — c=0; C a + d — h — c:=0, i d — a — h-hc = 0.

Le premier cas nous donne a = h^ d := c. Nous trouvons donc un quadrilatère dans lequel les côtés sont égaux par deux, les côtés oj^wsés étant inégaux. Un tel quadrilatère s'appelle un rhomboïde, il a une forme convexe appelée A;t7c ou cerf- volant par les Anglais et une forme uniconcave appelée spear-head ou fer de lance.

Ouadrilatèi-es

qui ont tous

Il urs pivots

;i révclutioa

complète.

CEnF-VOLANT.

Fig. 64.

PER DE LANCK.

Supposons que AR, 13 G soit le couple des plus petits côtés; on vérifie aisément que les pivots A, B, G sont à révolution complète, mais que le pivot D, où aboutissent les grands côtés, est à révolution limitée.

2» Examinons la seconde hypothe.se; elle nous donne a = Cy b z=: d. Les côtés opposés du quadrilatère sont égaux.

Ht'

PAnALLÉLOGRAMME.

Fig. 65.

CONTRE-PARALLÉLOG R AMM E.

Le quadrilatère est alors, soit un parallélogramme, soit un quadrilatère bi-concave qui a reçu le nom de contre-parallélogramme. Le lecteur vérifiera aisément que dans ces deux derniers cas tous les pivots du quadrilatère sont à révolution complète.

Représentation 89. Dans Un article inséré au lome III du Bulletin des sciences ûeM.Darboux. rnathématiques, 2^ série, page 409, M. Darboux a rattaché la question de la déformation des quadrilatères articulés à la théorie des fonctions elliptiques. Voici en quelques mots le principe de sa méthode :

Soient a, p, y les angles des tiges AB, BC, CD avec la tige D A; on a évidemment, en projetant sur D A et sur une perpendiculaire à DA,

d + a cos a + & cos p + c cos Y = 0, a sin a + 6 sin ^ + c sin v = 0,

+ he'^ +ce'-f =0.

Posons X = e**, y = e*^, z = e*^; ces équations deviennent

[ ax + hy -h cz + d = Oy (6) ! « & c , ^

Interprétées en coordonnées rectangulaires x,y, z^ ces équations représentent la section plane d'une surface du troisième ordre, c'està-dire une cubique plane. Or, une cubique plane est une courbe elliptique, c'est-à-dire du premier genre, et les coordonnées de ses points sont des fonctions uniformes doublement périodiques d'un paramètre. On pourra donc représenter ainsi x, y, z, et par suite cos a, cos 3» ces Y> sin a, sin p, sin y ; M. Darboux a développé ces calculs. La cubique devient unicursale si le plan est tangent à la surface cubique. On trouve qu'il faut avoir pour cela une relation de la

forme

Comme îl est impossible qu'un côté égale la somme des trois autres, il faut que la somme des deux côtés a et d égale celle des deux autres

On peut supposer que a est le plus petit côté; alors d doit être le plus grand. On retrouve donc le cas limite déjà considéré. Le quadrilatère est alors constamment circonscriptible à un cercle.

Les quadrilatères qui ont plus de trois pivots à révolution complète correspondent aux cas où la cubique se décompose,

représentation.

La méthode précédente fait correspondre des points imaginaires de la cubique à des positions réelles du quadrilatère.

On peut se proposer de trouver une représentation où les rapports de réalité soient conservés. Nous opérerons comme il suit : Autre Nous partons des équations

d + a cos a + 6 cos P + c cos Y = 0, a sin a 4- b sin p + c sin Y = 0,

a, h, c, d étant Tordre de succession des côtés du quadrilatère.

Ces équations nous donneront cos y et sin y quand cos a, ces p, sin a, sin ^ seront connus. Or, nous tirons de ces équations

(d + a cos a 4- b Ç03 P)' + (a sin a 4- & sin g)' = c',

ou encore

a* ■{• h* — c* -h d* + ^da cos a -+- Qdb cos p

( + 2a6 cos acos p 4- 2a6 sin a sin ^ = 0.

Il est clair qu'à chaque système de valeurs de sm a, cos a, sin 3, cos p qui vérifient cette équation, il correspond une forme déterminée du quadrilatère. Si donc nous posons

/ox . 2u 1— w* . „ 2v „ i — v* (8) sma=::: -r» cosa=r — — ;> sm8==:7— ,> cob3=7 .y

en sorte que u, v sont liés par l'équation

a« + î,« c* 4- d* 4- 2ad • \^^, -i- 2bd • î— il'

2«^ h 5(71 r( -^ 8 ab y. — = 0,

à chaque système de valeurs de u, v vérifiant cette équation il correspond une forme déterminée du quadrilatère. Il faut observer que l'équation précédente admet à la fois les deux systèmes de solutions (m, v) ( — u, — r), et que ces deux systèmes de valeurs fournissent deux quadrilatères symétriques par rapport à la droite AD, c'està-dire qui peuvent être amenés en coïncidence par une rotation de iSQo autour de la droite AD.

Les formules précédentes reviennent à faire correspondre à chaque forme du quadrilal.cre un point d'une courbe du quatrième degré du genre 1, dont u, v seraient les coordonnées d'un point courant.

Posons, pour abréger,

a = — a-\-h + c + d, ^ = a — &-4-c4-c?, y=:a-hh — cH-d,

Z = a + h-{- c — df a'=d4-a — b — c, ^'=ici-t-ï> — a — c, y'z=d'^c — a — b,

l'équalion précédente rendue entière s'écrit

— Sy'w*^'' + «^'"' + pa'u* + Sabuv +^<s = Q, el en l'ésolvant par rapport à r,

Aabu ± y<f (m)

où l'on pose

Ces formules vont nous permettre de résoudre la question suivante : Avec des tiges de longueur donnée se succédant dans un ordre donné a, &, c, d, on a construit deux quadrilatères Q<„ Q^^, est-on assuré de pouvoir passer de Q^ à Q, par voie de déformation en faisant varier les angles d'une façon a»nlinuc? Désignons par (m^, r,) (u^, i',> les valeurs de ît, v, correspondant aux deux quadrilatères; il faudra qu'en suivant de proche en proche des valeurs de m, v vérifiant ÎYquation ci-dessus, on puisse passer du système de solutions (tr^, Vo) au système («„ v,).

Considérons l'ensemble des nombres réels et soient p, q deux de ces nombres; ces deux nombres réels partagent l'ensemble précédent en deux, savoir : l'ensembie des nom})res tous finis compris entre p et q, et en second lieu l'ensemble des nouibres qui ne sont pas compris entre p et q. Les premiers nombres constituent une suite continue; on peut en dire autant des seconds malgré que l'infini en fasse partie, et à la condition de ne point regarder comme une discontinuité le passage brusque de — » à + 00 ou inversement. Cette conception est, comme on sait, en harmonie avec une multitude de faits géométriques; nous allons l'utiliser ici en observant que le passage par l'infini de it ou de v est un fait secondaire qui ne correspond à aucune discontinuité dans la déformation du quadrilatère. De même on peut dire que quatre nombres réels p, g, r, s partagent l'ensemble des valeurs réelles en

CHAP. XI. — LES SYSTÈMES ARTICULf';S. 255

quatre ensembles pq, qr^ rs, sp\ l'un de ces ensembles comprend l'infini ; ils sont tous extérieure les uns aux autres.

Ceci posé, si p, q, r, s sont les quatre racines de ^ (m) = 0 supposées réelles, il est clnir que, dans deux ensembles conligus, ç (u) acquiert des signes contraires, tandis que <p (u) sera positif dans deux ensembles non coutigus. Si donc on prend «, dans l'un de ces ensembles, et u, dans l'autre, il sera impossible d'aller de proche en proche de m, en Uj en laissant 9 (u) positif, comme il doit l'être, et l'on pourra trouver deux quadrilatères Q,, Q^ irréductibles l'un à l'autre par voie de déformation. Il faut donc que ç (m) ait seulement deux ou même zéro racines réelles.

Or, nous allons montrer que la dernière hypothèse doit être écartée. Si, en effet, le radical ne s'annule pour aucune valeur réelle de m, il sera impossible de passer du système de valeurs (u, m) au système (y', «) où V et v' correspondent l'un au signe -f-, l'autre au signe — du radical. Il sera, par exemple, impossible de passer d'un quadrilatère Q, à son symétrique par rapport à DA. En résumé, il faut donc que ç (u) admette deux racines réelles, qui seront forcément égales et de signes contraires. Posons u* ^:= U. Le trinôme du second d^ré

devra admettre une racine positive unique; l'autre racine sera donc négative, et par conséquent le produit des racines sera négatif. On en conclut, a, P, y» â, a étant positifs, la condition

On aura lemarqué que les équations (i) d'où nous sommes partis ne tiennent pas compte de l'ordre des côtés du quadiilatère. La condition précédente est naturellement dans le môme cas, et les côtés y figurent symétriquement. Supposons alors, pour fi^cer les idées, que a soit le plus petit côté et d le plus grand; P', -;' sont positifs d'eux-mêmes, et la condition ci-dessus se réduit à

Ainsi nous retombons bur la même différeuc e qui nous a déjà servi de critérium dans la question des pivots. Si celte condition est vérifiée, on constate aisément par les mêmes

S56 LEÇONS DE CINÉMATIQUE.

raisonnements que ci-dessus qiie l'on peut toujours passer d'un quadrilatère à l'autre par voie de variation continue des angles.

Si a' est nul, la conrbe du quatrième degré devient unicursale et les cosinus et sinus des angles a, ,$, y sont des fonctions rationnelles d'un même paramètre qui, par sa variation continue de — oo à ■+• oo, fournira tous les quadrilatères possibles en passant de l'un à l'autre par voie de déformation.

Le seul cas, par conséquent, où il y ait deux catégorie» de quadrilatères irréductibles les uns aux autres par voie de déformation, est celui où la différence

est négative, c'est-à-dire les quadrilatères qui admettent deux pivots à révolution complète, et non circonscriptibles à un cercle.

Transformation des mouvements de rotation au

moyen de

quadrilatères

articulés.

90. Supposons que dans un quadrilatère articulé ABCD on fixe une tige AD; on peut alors faire abstraction de cette tige et se contenter de porter l'attention sur les pivote fixes A et D. Les autres tiges AB, BC, CD constituent alors ce que les Anglais ont appelé un (rots-barres. Dans la pratique, les tiges AB, DG portent le nom de manivelles; BG est la bielle.

Si A et D sont des pivots à révolution complète, quand la tige AB tournera continûment autour du point A, la tige DG tournera continûment autour de D. L'appareil transforme ainsi un mouvement de rotation continu autour de A en un autre autour de D.

Si A étant toujours à révolution complète, le pivot D était au contraire à révolution limitée, une rotation continue autour de A se transformerait en une rotation oscillatoire ou alternative autour du pivot D. On réalise alors avec l'appareil la transformation d'un mouvement circulaire continu en un mouvement circulaire alternatif.

Enfin, en toute hypothèse, un mouvement circulaire alternatif autour de A se trouvera transformé en un mouvement circulaire alternatif autour de D.

Cependant si A est à révolution limitée et D à révolution complète, et si l'oscillation autour de A embrasse toute l'étendue de la révolution limitée, qui peut être accomplie autour de ce pivot, la lige DG tournera continûment autour de D et l'appareil permettra de trans-

CHAP. Xr. — LES SYSTÈMES ARÎICULÉS. 257

former le mouvement oscillatoire autour de D en un mouvement continu autour de A.

Ainsi on peut, au moyen du trois-barres, réaliser la transformation d'un mouvement circulaire continu en un mouvement circulaire continu; d'un mouvement circulaire continu en un mouvement circulaire alternatif et inversement; enfin, d'un mouvement circulaire alternatif en un autre mouvement circulaire alternatif, et le tout autour d'axes parallèles.

L'application des inégalités (i) ou (2) permettra, dans tous les cas, de définir la nature du mouvement ou inversement de construire un système qui transforme l'un dans l'autre deux mouvements donnés.

Il y a lieu d'observer qu'en dehors du cas du parallélogramme (où

il est égal à l'unité) le rapport — des. vitesses angulaires des tiges AB, DG est variable.

La tige CB s'appuyant par ses extrémités sur les cercles de centres A, D et de rayons AB = a, DG=c (fig- 66J, le centre instantané de rotation est le point de rencontre I des rayons prolongés AB, DG; si l'on appelle e la vitesse de rotation instantanée autour de I, w, w' les

Fig. 66.

vitesses angulaires autour de A, D, les vitesses de B, G auront chacune deux expressions : aw = BI . e pour B et cio' = GI . e pour G ; on en peut conclure

GI Bï'

GI Bl

Cniéniatique.

fSS LEÇONS DE CINÉMATIQUE.

Prolongeons la bielle BG', soit H son point de rencontre avec la parallèle AH à DG, les triangles semblables BIC, ABH donnent

CI AH AH BI""AB ~ a ' d'où

La ligne AH étant variable, il en est de même du rapport des vitesses.

Purallé- 91 . Parmi les trois-barres les plus remarquables on peut signaler

logramme. d'abord celui dans lequel ABGD est un parallélogramme. Dans ce cas, les tiges DC et AB restant parallèles, leurs vitesses angulaires sont constamment égales. On peut observer que dans ce cas tout point lié invariablement à l'une des tiges mobiles et formant ou non ^ un triangle avec elle décrit toujours un cercle avec la vitesse angu-

laire propre à la tige AB (ou DG). ContiT-paralié» Le mouvement dans le cas du contre-parallélogramme est plus intélograrame. ressant. Reportons-nous à la figure 65 et supposons fixée la tige AD. Le centre instantané de la bielle sera le point I, intersection des rayons (manivelles) AB, DC des cercles décrits par les extrémités B, C de la bielle. Le lecteur prouvera aisément l'égalité des triangles AID, CI B. Cherchons dès lors le lieu du centre instantané I dans le plan fixe (c'est-à-dire lié invariablement à AD). La somme

AI 4- DI = AI + IB = AB = a

est constante; ce lieu est donc une ellipse E^ de foyers A, D et dont a est le grand axe. Cherchons de môme le lieu de I dans la figure mobile (c'est-à-dire par rapport au segment BC). La somme CI 4- IB = CI + ID = a est constante; en sorte que le lieu de ce rentre instantané par rapport au segment BC est une ellipse E égale à la proposée, dont B, C sont les foyers.

La bissectrice IF de l'angle DIB est la tangente commune à E et E^ au point I; du reste la figure est symétrique par rapport à cette tangente, en sorte que B est le symétrique deD et C celui de A. De la sorte le mouvement de la bielle BC est celui de l'axe focal d'une ellipse E qui roulerait sans glisser sur une ellipse E^ égale et symétrique.

Au no 58 nous avons examiné les roulements de cette nature.

Description

des podaires

d'rllipses

\et d'hyperboles

avec

un système

articulé.

Duplicateur

de tours de Reuleaux.

Nous savons qu'un point quelconque de la figure mobile décrit une podaire (amplifiée dans le rapport 2) de la roulette fixe par rapport à un point fixe du plan. Donc, dans le cas présent, tout point lié à la bielle BG décrira une podaire d'ellipse. Les points B, C, en particulier, décrivent des cercles; cela concorde avec ce fait que, dans l'ellipse, la podaire du foyer est an cercle- Le lecteur prouvera aisément qu'en fixant la tige CD au lieu de la tige ÂD, on obtient un mouvement dans lequel tout point lié à la bielle AB décrit une podaire d'hyperbole.

Les lieux du centre instantané I' dans la figure mobile et dans le plan fixe sont, en effet, deux hyperboles égales qui roulent en restant symétriques par rapport à leur tangente commune.

On doit à Reuleaux un autre dispositif très curieux. Il consiste en un rhomboïde Cfig. 67 J dans lequel les deux grands côtés égaux BC = BA sont doubles des deux petits côtés AD =::= DC. Fixons un des petits côtés, par exemple AD, et faisons tourner AB à partir de la position AB^, DC est alors couché sur DA. Quand B déorit l'arc B^BB^ égal à 180» - 60' =: 120'>, le point G décrit

Fig. 67.

la demi-circonférence ACCj. Quand ensuite B décrit l'arc de 60°, BjB,Ct, le point G décrit la demi-circonférence G^CjA, et lorsque AB est couché sur ACj, DG est de nouveau couché sur DA. Ainsi, après un demi-tour de AB,, GD a fait un tour complet. On constatera ensuite aisément que AB continuant son tour, DG en recom*

mence un autis; ainsi, AB étant en ABj, DG est en DC,. Quand B aura la position symétrique de Bj par rapport à AD, DG sera de nouveau en DG,, et finalement AB, revenant en AB,, DG reviendra encore en DA. En résumé, après un tour complet de AB, GD aura fait deux tours.

La théorie analytique de cet appareil est, du reste, des plus faciles.

Désignons par 6 l'angle de AB avec AB,, par <p celui de DG

avec DA; dans le triangle ADB, l'angle ADB vaut | et l'angle DBA

vaut 0 — ^; comme DA = - AB, on a donc