DA AB

et la formule précédente deviendra (12) tang - ? =

cos 0 4- a

c'est la formule qui convient à la déformation d'un rhomboïde quelconque (*). Soit P un point lié invariablement à la bielle BG ; M. Gayley a fait voir que sa trajectoire est une courbe du quatrième ordre

(•) La propriété sî curieuse de duplication Appartient au cas d'un rhomboïde quelconque. Les courbes roulettes pour la bielle sont des limaçons de Pascal dont un seul possède une boucle rentrante.

CHAP. Xr. — LES SYSTÈMES ARTICULÉS. 261

bi-circTi1aire à point double et, par conséquent, une podaire do conique.

Ce résultat est intére&sant si on le rapproche de celui qui a été oî)tenu pour le cas du contre-parallélogramme.

Prenons AB^ pour axe des x, une perpendiculaire en A pour axe des î/, appelons Q la projection du point P sur BG et désignons par p, q les distances BQ, QP; soit enfln ^ l'angle de BC avec la parallèle Bfl à AD, l'examen du triangle BCH nous fait voir que l'on a ? = 6 -f- «î*. De la sorte, l'équation (11) devient, par l'introduction de 4» au lieu de ç,

sm

sin

ou encore

Projetons sur les axes le contour ABQP; nous avons ainsi les coordonnées X, y du point P.

ae = o cos 0 — p cos 4» — q sin <};, t/ r= rt sin 0 — p sin tl; + g cos ij».

Posons m = -; > tang -=±t. et nous aurons

X =a ; -4- » ■; ; Om •.

On constate aisément qu'en faisant t =z — i ou t = mt on obtient dans les deux cas le même point à l'infini dans la direction y + ix =3 0; de même t = 4- t, f = — mi donnent un point à l'infini dans la direction y — ta; = 0. On peut en conclure que les formules (14) représentent une courbe unicursale du quatrième degré bi-circulaire, c'est-à-dire qui possède trois points doubles, dont un est à distance finie et les deux autres coïncident avec les points circulaires à l'infini.

Le même problème a été traité dans le cas général d'un quadri-

latère articulé qiitîlconqiie par M. RoberU et par M. Gayley(i) (PrO' cccdings of the London mathematical Society, t. VII). La courbe trajectoire est en général du sixième degré et admet comme points triples les points circulaires à l'infini. Elle admet en outre trois points doubles à distance finie.

Transformateurs articulés.

92. Les quadrilatères articulés dont on a fixé une tige constituent des systèmes à liaisons complètes. Nous pourrions continuer dans celte voie et considérer des systèmes articulés plus compliqués et également à liaisons complètes, mais il vaut mieux rattacher la considération de ces systèmes à celle des trahis formateurs articidés. Nous allons expliquer ce que nous entendons généralement par là.

Considérons un système articulé qui ne soit pas à liaisons complètes, c'est-à-dire tel que si l'on fixe un de ses membres, le mouvement des autres membres dépende de plus d'un paramètre. Nous nous en tiendrons d'ailleurs au cas de deux paramètres indépendants.

Soient deux points P, P' liés chacun à l'un des membres du système, en sorte que, sauf les limites résultant des dimensions finies de l'appareil, P et P' puissent décrire une figure arbitraire du plan. Quand P décrira une certaine figure d'un mouvement continu, P' en décrira une seconde qui sera la transformée de la première.

Nous allons étudier quelques transformations que. l'on peut ainsi réaliser au moyen de systèmes articulés.

Nous arriverons à ce résultat curieux qu'au moyen de simples quadrilatères articulés on peut réaliser la similitude, les rotations, les translations, l'inversion, toutes transformations qui sont anallagmatiques, c'est-à-dire qui changent un cercle du plan en un autre. Paiiiojfiaphft Le parallélogramme articulé va nous fournir le pnntographe.

Soit un parallélogramme articulé dont nous imaginerons les côtés suffisamment prolongés; considérons quatre points P, Q, Pi, S pris sur les côtés de ce parallélogramme et supposons que ces quatre points se trouvent en ligne droite dans une certaine position du paral-

(1) D'après M. Haton {Mécant'fmen, p. lî)3), l'équation de la courbe aurait été d'abord obtenue par M. de Prony.

lia 1'. S«heinei

CIIAP. XI. — LES SYSTÈMES aATICULKS. 263

telogramme. Nnns allons prouver qu'ils sont toujours en ligne droite quand le parallélogramme vient à se déformer.

En effet, puisque ces quatre points sont une lbi&- en ligne droite, les Pegments constants PA, QA, PB, BR vérifient la proportion