A;AA = A'AA — A,AA
Thôor.'me Sur la considération de ces simples appareils, Kempe a fondé la
de K-^mpe. démonstration de ce remarquable théorème :
On peut toujours trouver un système articulé dont un point décrive une courbe algébrique dojinée à V avance.
La démonstration de cette proposition offre un exemple curieux des raisonnements généraux que l'on peut faire sur les systèmes articulés.
Soit donc une courbe algébrique C^, P un de ses points, 0 un point fixe du plan et Ox, Oj/ deux axes rectangulaires.
Ck)nstruisons un parallélogramme articulé dont les côtés p, q
auront des longueurs bien déterminées et dont 0, P seront deux sommets opposés. Quand le point P décrira la courbe (?, le parallélogramme se déformera et les angles 0, f que font ses côtés avec l'axe Ox varieront en restant liés par une certaine relation facile à
Fig. 76. *'^^"™«'"-
Soient x, y les coordonnées du point P, on a
x = p cos 6 -4- ^ cos (p, y =p s'mfi + q ^\q tf]
si donc f{x, y) =zO est l'équation catièie et rationnelle en rc, y de la courbe, f{x, y) pourra s'écrire sous la forme d'un polynôme entier eu cos 0, sin 0, cos ç, sin ç et, remplaçant partout les puissances des sinus et cosinus par des cosinus ou des siuus des multiples des arcs, nous arriverons à mettre cette équation sous la forme
(15) 2 A cos (mO ± n? + a) = 0,
où m, n sont des entiers, A un coefficient positif constant et a
désigne soit zéro, soit ± -j soit x.
Gomme 0 est l'angle de OM avec Ooc et ^ celui de ON avec le
même axe, nous saurons, au moyen de réverseurs employés comme
multiplicateurs, additeurs ou soustracteurs, réaliser le guidage d'une
droite A. , x qui s'articule en 0 et fasse avec Ooc l'angle (t»,7nn,a) ^
»nO ± nç + a, tandis que OM, ON tournent autour de 0 (i).
Supposons donc construits tous les axes qui correspondent ainsi chacun à un terme de l'équation (15), et porlon> sur chacun d'eux, à partir de 0, un segment OIL^^ ^^^ . dont la longueur soit proportionnelle au coefficient A du terme cos (mO ± n^ -h a) dans l'équation (15).
L'équation (15) exprime que la somme des projections sur Ox de tous ces segments est nulle.
Pour éviter la complication des notations précédentes, dénotons par OGj, OGj, ..., OG,* les segments précédents.
Sur OGj cx)nstruisons le parallélogramme articulé OG,LjKj et puis le parallélogramme articulé L,KjO'GJ; le segment O'GJ est constamment égal et parallèle à OGj. De même, construisons les deux parallélogrammes articulés OG,LjK, et K^L^G^GI, le segment GÏGÏ sera constamment équipollent au segment OG,. On pourra
(») Si a est égal à ± -, il faudra supposer la tige A„, +„,a calée perpendiculai-
reuient à la tige A,„,4„, qui fait avec Qx l'angle wO + «9, et dont le guidage est obtenu au moyen de réverseura. Si a = it, on devra substituer à ^rn±n son prolongeaient.
