LEÇONS DE CINÉMA.TIQUË
lélogramme de Walt. Ce mécanisme offre une application du mouvement du trois-barres, combinée avec le pantographe de Scheiner.
Le dispositif que l'on désigne sous le nom de balancier et contrebalancier nous fournira tout d'abord le cas du trois-barres utilisé
dans le parallélogramme de Watt.
Figurons deux tiges horizontales égales OB^, GAj, reliées à leurs extrémités par une tige plus courte que la distance OC. La tige OB^, mobile autour du point 0, constitue le balancier, tandis que la tige CA^, mobile autour de C, constitue le contrebalancier. Le milieu M de la bielle AB décrit une courbe qui a reçu le nom de couibe à longue inflexion.
Nous allons former en quelques lignes l'équation de cette courbe en prenant pour origine la position M, du point M correspondant à la position A^B, de la bielle; les axes de coordonnées seront M,a: l'horizontale et M^i/ la verticale du point M,.
Comme M^ est le milieu de OC, si (/», k) sont les coordonnées dn point 0, celles du point C seront ( — /i, — k)\ désignons encore par a la longueur commune du balancier et du contre-balancier. On constate aisément que la bielle A,B, a pour longueur
Fig.lS.
Ao^o
= 2 K(a — hy -+- k*.
Supposons que OB, s'élève en OB et 0A„ en OA, en décrivant respectivement les angles 6,ç. Les coordonnées des points B, A seront
h — a cos 0, . i x' = — h + acos (p,
y = fc -♦- a sin 0, d*oà, pour la distance AB
— k + a sin "^f
AB
=y(/.aco.»±-»cas«:^»)V(
acos
Exprimons que AB = A^B^rr 2 ^(a — h)* + fe*, il viendra, après quelques simplifications,
(16) a sm* -— !■ + 2 ( /i cos — -^ — k sin — ^^ ) ces -~^' = 2 /t.
Or, d'autre part, les coordonnées du point M ont pour valeurs
a . .^ . 8 — 9 . 0 + (P a; = - (cos ç — cos 6) = a sin — -— ^ sin ' »
t/ = - (sm 0 + sm ç) = a cos — — ? sm — — -' •
Il est, dès lors, très facile d'introduire oc, y dans la relation (IG). On trouve
(18) (.«« + y » — 2 « }if (x* H- y») = 4 (/i t/ — fc x)» (a« — ce» — t/').
On obtient donc une courbe tricirculaire du sixième degré (fin du paragraphe 91) qui a pour centre et pour point double le point M<,, Elle a la forme d'un huit allongé dont une branche touche en M^ la verticale de ce point et y présente une inflexion. Elle coupe la verticale, outre le point M,,, en deux autres points Nfj, M, situés de part et d'autre de M„ à une distance 2 Vh (a — h) de ce point.
Si l'on va de M^ à M, en suivant la branche qui louche en M^ la verticale, on passe par trois points d'inflexion, dont le point M„ et deux autres points symétriques par rapport à M^. De là le nom Je courbe à longue inflexion.
Nous allons montrer que si Ton suit la branche en question, l'écart de la courbe avec la verticale est exti'êmement petit.
Nous nous servirons pour cela du principe de l'échange de bielle et manivelle.
Je construis le parallélogramme CDBA en introduisant les tiges articulées CD, DB, et je prolonge DB d'une quantité égale, BN = DB. Le point N est par rapport au point G l'homothétique de M, le rapport d'homothétie est égal à 2. Le point N décrit donc une courbe à longue inflexion, qui a au point 0 une tangente d'inflexion verticale, ON, et qui coupe cette verticale en un point Nj homologue du point M, ci-dessus défini.
Joignons D, N au point 0; comme BO = DB = BN, il en résulte que l'angle DON e«t di-oit; abaissons NP perpendiculaire sur ON, et
DH perpendiculaire sur OD,,. Les triangles DHO, N PO sont semblables et nous avons
PN
