EF.ON
PN
ODj
Calculons ON,, OD,,EF.
On a d'abord, FD^ r= OD^ — OF — 2a — 2/f OD, = 2a ; donc OD, = OF — FD, ::^ OF = 2 (2/1 — a).
Ensuite, puisque la distance D,N, = 2a, il vient
FD,— 2/t
2 (a — /i), car 2 (a — h)
ON, = V^D,N,' — OD,* = 4 Vh (a
enfin
EF = l-CF^l — 2k,
et l'on se souvientque 1=2 |/(a~;i)* + &% d'où 2k= Vl^ — 4(a— /i)'- On peut donc écrire
pn<2'-^':-^<-'-")Vm^^^,
mais pour la courbe lieu du point M, qui se déduit du lieu de N en réduisant de moitié, l'écart sera inférieur à la moitié de cette limite.
l— Vl^ — ^ia — hY
Si a — h est petit vis-à-vis de l et de h, l'écart S sera lui-même très petit.
Watt adoptait les proportions suivantes :
Z = 24, a = 37, 2h d'où
a — h = i, yh(a — h) = Q, on trouve d'autre part
l — yi* — 4 (a — hf < —y d'où 5
Supposons, par exemple, que a = lni85, ce qui revient à supposer
que les nombres précédents expriment des vingtièmes de mètre; on
aura, en mètres, o *< 7^5157;' cest-a-dire encore moins qu'un milli-
mètre. Si l'on tient compte du jeu nécessaire au fonctionnement de l'appareil, l'écart doit être regardé comme pratiquement nul.
Balancier La figure 78 his, que nous avons tracée pour démontrer la pro-
*^^ priété si curieuse de la courbe à longue inflexion représente un méca-
nisme (tiges CD, OB et DBN) qui fait décrire au point N la courbe à longue inflexion. Or, ce mécanisme a été réalisé par "Oliver Evans. On prend {assez grand et h très voisin de a; alors DH reste très petit, et l'arc D^EDj se confond avec sa corde. Le point D .se meut sensiblement sur l'horizontale du point 0, tandis que N déorit approximativement la verticale ONj. On produit donc approximativement le mouvement de l'ellipsographe.
Autre guid.'igd approché.
278 LEÇONS DE CaNÉMlTiQUE.
Arrivons au parallélogramme de Watt.
Le système du balancier et du contre-balancier aurait l'inconvénient de ne fournir pour la course du point M, milieu de AB, que de trop petites amplitudes. Une application du pantographe nous a conduit au balancier d'Oliver Evans qui atteint ce résultat; une autre application du même principe nous conduira à l'appareil bien plus ancien et bien plus parfait du à Watt.
Prolongeons le balancier OB d'une quantité BE = OB et achevons le parallélogramme ABEP; ce parallélogramme sera articulé en ses sommets. Tirons la ligne idéale OP, cette droite passe au milieu M
du côté AB, et d'après la propriété essentiel le du pantographe de Scheiner, le point P va décrire une courbe homothétique à la trajectoire de M; le rapport d'homothétie est égal à 2 et 0 est le centre de simi- ^y^ Fig. 79. litude. Le point P décrira
donc sensiblement une verticale et l'amplitude de son déplacement sera le double de l'amplitude du déplacement du point M.
Dans la pratique, on utilise à la fois le mouvement sensiblement rectiligne du point P et celui du point M (}).
On a proposé d'autres guidages approchés du mouvement rectiligne d'un point. En voici un. Soit ABGD un trapèze isocèle articulé dans lequel AB est double de CD, et CMD un triangle isocèle lié invariablement à sa base DC; le point M tombe au milieu de AB. Lorsque le M B système se déforme, le point M dé-
Fig. 80. crit une courbe qui se confond par-
tiellement avec le segment A B, On voit immédiatement que la courbe passe aux points A el B ainsi qu'au milieu de AB.
(•) On trouvera à la fin du volume une note r-elatîint quelques travaux de Tchobicjieflr sur le parallélogranini* de Watt.
Solutions
exactes
de Pecucellier
et «le Hart.
Le guidage exact du mouvement rectiligne d'un point a été résolu par Peuucellier et puis par Lipkine au moyen d'un même appareil. Observons tout d'abord que tout inverseur fournit le moyen de réaliser le guidage rectiligne d'un point. Il suffit, en effet, au moyen d'une bride d'obliger un point à décrire un cercle passant au centre d'inversion, pour que le point inverse décrive un segment de droite. L'inverseur de Peaucellier et celui de Hart fournissent donc une
solution immédiate du problème. Par exemple, dans le B cas de l'appareil de Peaucellier(fig.81), on introduira une bride 0' D articulée en 0' et D, dont la longueur soit égale à 00'. Le point D fig- 8i. décrira un cercle
passant au point 0' et le point B un segment de droite.
Il peut sembler paradoxal qu'un point soumis à des conditions géométriques décrive non une droite entière, rnais seulement un segment fini. Le même fait se produit forcément à propos des courbes algébriques à branches infinies; le théorème de Kempe nous prouve qu'on peut décrire un arc de cette courbe, mais le jeu même de l'appareil articulé exige que cet arc soit limité.
Il n'y a là rien qui doive surprendre, et la géométrie descriptive, à l'occasion des projections des intersections des surfaces, nous offre des exemples analogues.
La remarque suivante explique comment ce fait peut arriver. Supposons qu'un point M d'une figure décrive, par exemple, un segment de droite; un point M' voisin de M décrit alors une courbe fermée allongée, qui, lorsque M' se rapproche de M, va en s'aplatissant de plus en pins jusqu'à se réduire au segment de droite. Tel est le cas du mouvement de l'ellipsographe. Tous les points de la figure décrivent des ellipses qui s'aplatissent indéfiniment et deviennent des segments de droites quand le point décrivant est très voisin de la circonférence qui, dans le mouvement, roule sans glisser dans une circonférence de rayon double.
Double rhomboïde de Konipe.
Autre
appareil
de ICempe.
Kempe et Hart ont fait connaître plusieurs autres appareils à ligne droite.
iTg'
Soit ABCD un rhomboïde articulé et prenons EB = — ; articu-
AB Ions en E une tige EF égale à EB et introduisons enfin une tige
CF == BG articulée en F et G. Nous aurons ainsi réalisé un second rhomboïde semblable au premier. Les droites D G et G F sont également inclinées sur le côté AB, car l'angle des côtés opposés du grand rhomboïde, DG, AB, est égal à celui des côtés opposés G F et BE du
petit rhomboïde. La bissectrice de l'angle G du triangle DGF est donc parallèle à AB et, par suite, la base DF de ce trian- ^ ^ ^' gle est perpendiculaire
Fig. 82. à AB.
Introduisons alors une bride BG, pivotante autour de G, égale à AB et fixons le point D à une distance de G égale aussi à AB. Le quadrilatère ABGD est un losange, et dés lors DF restant perpendiculaire à AB, c'est-à-dire à DG, le point F décrit une droite perpendiculaire àGD.
Reportons-nous à la figure 82; imaginons abaissée du point C une perpendiculaire sur AB, et prenons les tiges symétriques des tiges déjà construites (sauf BG) par rapport à cette perpendiculaire. Nous construisons ainsi un second double rhomboïde dans lequel les tiges GD', G F' sont les prolongements des tiges CF, GD. Remarquons alors que si l'on fixe le côté AB du premier double rhomboïde, la tige A'B' demeure dans le prolongement de A B et tous les points de A'B' décrivent ce prolongement.
On peut observer que ce procédé permet de réaliser une translation rectiligne quelconque d'une figure liée au segment A' B' (*).
(') A l'éyfnrd des mouvements réalisables par des systèmes articulés, on peut émettre la proposition générale que voici : Tout mouvement plan aîgébriqve, c'està-dire dont les trajectoires de tous les points sont ix\géhr\(\\iQfi. petit être gnidé par vn fystcme articulé. On peut, en effet, comme nous savons, guider par des systèmes articulés le mouvement de deux points de la figure; cela suffit pour établir le théorème. (Voir aussi mes notes de 1895 aux Comptes rendus de l'Académie des Sciences.)
Sextilatère . de Kempe.
Soit un quadrilatère ABGD,
AB = a, BG=zh, CD = c, DA^^d.
Prenons E arbitrairement sur AB et construisons le quadrilatère BEFG semblable au quadrilatère primitif; l'angle en B étint le même dans les deux et l'angle en G égal à l'angle en A, l'angle en E égal à l'angle en G et l'angle en F à l'angle en D. On prend sur AD un point P et sur EF un point Q, tels que
AP EQ
hTc'
Projetons P en P' et Q en Q' sur AB. La distance P'Q' eut constante quand le système se déforme.
P'Q' = AE — (AP' +EQ').
Or, SI Ion pose AP = — ' EQ = — > on a
AP' = AP cos A = -— cos A,
d'où
EQ' = EQ cos (180 — G)
— cos G,
AP' -+- EQ' = - [ad cos A — &c cos G].
D'autre part, le carré de la diagonale B D a cette double expression BD* = a* + d» — 2ad cos A = 6» + c* — 2bc cos G,
LEÇONS DE CINÉMATIOUE.
d'où
/ï fi /*n<!
— . 7»/^ nr\Q C^ ~
et, par
suite,
et finalement
