AE

Hart.

Ainsi la longueur P'Q' reste constante quand le sextilatère (ABGD, EFG) se déforme. Supposons alors qu'on prenne un point R à une distance de P égale à AB et qu'on relie R à B par une bride RB égale et parallèle à AP; si l'on fixe en même temps le point P par un pivot, A, B, R, P sont les sommets d'un parallélogramme et la droite AB se meut parallèlement à elle-même; la distance du point P à la droite QQ' demeure constante, puisqu'elle égale P'Q', de plus, comme QQ' a une direction constante, elle est fixe dans le plan et le point Q décrit cette droite.

Autre ^^ doit à Hart un autre appareil à ligne droite, étudié aussi par

appareil dû à Kempe (Proceedings of the London Mathematical Society), qui a été l'objet d'un mémoire de M. Darboux, inséré au Bulletin des Sciences mathématiques (2® série, t. III), et réimprimé dans la Mécanique de Despeyrous.

Soient OA, OA' deux segments de longueurs a, a' issus d'un point 0, AB, A'B' deux autres segments de longueurs moy m' a' issus de A, A' respectivement et faisant avec OAj OA' un même angle 0.

Si l'on prend le point 0 pour origine d'un .«ystéme de coordonnées rectangulaires, on pourra regarder A, A' comme les points représentatifs de deux variables imaginaires Z^, Z^- dont a, a' sont les modules et dont nous appellerons ç, 9' les arguments. Le produit de Zx par le facteur m&'^ se représente par un point qui est l'extrémité d'un segment d'origine 0, équipollent à AB; il en résulte que l'affixe du point B sera

Z„ = Za + Z., . me'^ = Zx (1 4- me'^) = ae'f (1 -1- me'^);

de môme

Z.. = Zv (1 + m'e'^) = a'èf (1 + me%

sera l'affixe dû point B*.

CHAP. xr. — ■ LES SYSTÈMES ARTICULÉS. 283

Cherchons à exprimer que la distance BB' est constante et égale à une longueur l; si nous appelons Z^, ZS- les quantités conjuguées de Zb, Za-, il faudra écrire que

i« = (Za - Zb.) (ZS - ZJ.)

= £i% Ln -f- là%iùa< — Zb ^b' """ ijo'^o )

c*esl-à-dire

i« = a» (1 -+- me'^) (1 + twe-®) + a'» (1 + m' è^) (l + w'c-^)

— aa' e'fy-f'^ (1 + mé^) (1 •+• wi'c-'®)

— aa'e— '(f-?'^ (1 + mr-^)(l -+- m' e*^),

ou encore, en faisant (}; = ç — 9'=A0A',

a» (1 + m») 4- a'* (1 -4- m'») — P H- 2 (a'rn -h a' «m') cos 6 — 2aa' (1 -+- mm') cos <j> — 2aa' m cos (t|< + ô)

— 2aa' m' cos (<|; — 0) = 0.

Fiy. 8

Si l'on suppose articulées en 0, A, B, A', B' les cinq liges OA, OA', AB, A'B', BB', nous obtenons un pentagone articulé dont les angles variables sont liés par la relation précédente, en y ajoutant l'égalité supposée des angles OAB, O'A'B', dont nous avons désigné par 6 la valeur commune. Sans cette égalité supposée la déformation du pentagone dépendrait de deux paramètres.

Cette condition d'égalité d'angles peut être réalisée ici d'une façon très simple; on va prouver, en effet, que deux autres points C, C pris sur AB, A'B' sont à une distance invariable, et dès lors il suffira d'introduire une tige GC articulée en C, C aux tiges AB, A'B' pour réaliser l'égalité d'angles supposée.

Ce couple de points G, G' , s'il existe vraiment, sera analogue au couple de points B, B', et si l'on désigne par p,, j;/ les valeurs de m, m' qui lui correspondent, par X la distance G G', nous devrons avoir

«' (1 + i^.*) + a" (1 + ia") — X' + 2 (aV- + a'*!^-') cos 0 — 2aa' (1 + ii.i>.') cos à — 2aa' jx cos ((]^ -f- 0)

— 2aa' \)J cos (tj; — 6) — 0;

équation qui devra avoir lieu en même temps que la précédente, s'il est vrai que X soit constant. Or, l'identification nous donne

ifl — Jfl — J Iîliî±L «V + «'*!*' m rn' 1 -f- mm' a^m -f- a'*w'

__ g» (1 4- jji') 4- g" (i + p.") - \\ "~ g» (1 + m*) + g" (1 4- m'*) — V'

les trois premières équations se réduisent à

et la dernière équation nous fait connaître X par la formule

a* (1 + m») + a'* (1 -+- m'*) — i* mm' '

qui fournit pour X' une valeur constante

l* (mm' — 4) (m' — m

mm' mm'

nous pourrons donc, au moyen de la tige auxiliaire G G', réaliser l'égalité constante des angles OAB, OA'B'. Calculons les carrés des modules de Zn, Z,. ou OB = Zn.ZS,

Nous avons déjà calculé ces expressions en calculant l', on trouve ÔB* = a» (1 -H m' + 2m cos 6), Ôl?' rr: g" (1 + m'* + 27n' cos 0), en sorte qu'entre OB, OB' a lieu l'équation

îîi! . Ôb' - ~ Ôf' = (m' m) (i — mm'), ar g ' '

lescription ellipse moyen de inq tiges.

CHAP. XI. — LES SYSTÈMES ARtICULÉS. 286

Dans ces conditions, si l'on fixe la lige BB' et si l'on déforme le système articulé, on constate que le point 0 décrit un cercle. Gepen-

dant si les coefficients — r > — ; sont égaux, ce cercle se réduit à une

ligne droite perpendiculaire à BB'.

En réalisant ces conditions on a donc le moyen de décrire une droite au moyen de cinq tiges articulées.

C'est à dessein que nous avons choisi la méthode précédente, qui montre le parti que Ton peut tirer des imaginaires ou, ce qui revient au même, du calcul des équipoliences dans la théorie des systèmes articulés.

On peut s'arranger Je sorte que la droite décrite par le point 0 aille passer au point B'; il faut pour cela que l'on puisse avoir OB' = 0, OB = i, ce qui donne

—- l* = (m or

m) (1 — m ni').

. «* «'* .... , Soit pose — 7 = — = ûf*, il viendra "^ m' m

Supposons de plus que A'B' égale OA' ou que ni' =: 1, on a donc j/' = rt', en sorte que

Dans ces conditions, le segment mobile OA' s'appuie par .ses extrémités sur une droite fixe B'O et suf un cercle de centre B' dont lo rayon B' A' = OA' lui est égal ; si donc on prolonge 0 A' d'une quantité égale ju.squ'en K, en sorte que A' est le milieu de OK, le point K décrira une droite perpendiculaire en B' à B' 0, et qui n'est autre dès lors que BB'. La tige OK glisse donc par ses extrémités sur deux droites rectangulaires et un quelconque de ses points décrit une ellipse. Ce système de cinq tiges permet ainsi de décrire une ellipse et de réaliser rigoureusement le mouvement de l'ellipsographe que le balancier d'Oliver Evans réalisait approximativement.

Avec un système articulé on

peut produire plusieurs

mouvements.

Plusieurs transformations.

Autre usage des inverseurs.

Des mouvements et des transformations que peut réaliser un même système articulé.

96. Soit un système articulé à liaisons complètes. On peut, avec cet appareil, réaliser plusieurs mouvements et plusieurs transformations.

lo Plusieurs mouvements, car on peut fixer l'un quelconque des membres du système et considérer la trajectoire d'un point de Tun quelconque des autres membres. Par exemple, dans le cas du rhomboïde, suivant que le côté fixé sera un des deux grands ou un des deux petits côtés, le lieu d'un point lié à la bielle sera une podaire d'hyperbole ou bien d'ellipse. Ainsi encore dans le contre-parallélogramme.

Qp Plusieurs transformations : fixons, en effet, par un pivot un point 0 d'un membre du système articulé; choisissons ensuite un point M et un point N liés chacun à l'un des membres (ou bien même servant de pivot à deux ou plusieurs membres du système). Le point M sera le point directeur et N le point haceur.

Si l'on fait décrire au point directeur M les contours d'une figure, le point N tracera les contours correspondants de la figure transformée. Or, on voit que l'on peut choisir arbitrairement les points 0, M, N dans le système et réaliser ainsi diverses transformations. Toutes ne seront pas également intéressantes, mais dans certains cas, cependant, on pourra, avec le même système, obtenir plusieurs résultats utiles.

Ainsi reprenons le contre-parallélogramme qui nous a déjà servi à décrire des podaires d'ellipses et des podaires d'hyperbole, nous savons que Hart l'a utilisé comme inverseur en fixant un point 0 sur un côté et prenant sur les deux côtés adjacents deux points M, N qui restent alignés sur le point 0.

On a alors OM.ON = constante.

Mais au lieu de fixer le point 0, fixons le point M, la relation ci-dessus s'écrit

MO (MN — MO) = fe == constante,

et la relation antre MO et MN exprime une transformation de la

Description

forme

CHAP. XI. — LES SYSTÈMES ARnCULÉS.

Pl = p-^p=

où p, Pi sont les rayons vecteurs MN et MO.

Par exemple, si le point 0, considéré comme point directeur, des cubiques jj^crit une droite p cos 0 = p, on trouve que le point N, considéré onicursales à comme traceui', décrit la cubique circulaire

axe .

de symétrie. ^^ p^ ^^, + y«) =, * x«,

cette courbe a un point double et un axe de symétrie ; si, k étant négatif, on prend p = K — fc on a une cissoïde, et une strophoïde

Utiiisntion

du mouvement

inverse.

droite si p

Si, après avoir fixé un membre A d'un système articulé à liaison complète, on constate qu'un point M d'un autre membre décrit une courbe C par rapport au membre A, il est clair qu'en supposant celte ligne tracée sur le membre A, elle ne cessera pas de passer par le point M lorsque, ayant rendu libre le membre A, on aura fixé le point M par un pivot; le même appareil nous permettra donc de réaliser le fait d'une plaque plane A assujettie à cette seule condition qu'une courbe G tracée sur cette plaque aille passer par un point fixe du plan.

Exemple. — Nous savons guider au moyen d'un système articulé le mouvement rectiligne d'un point, nous saurons donc^ avec le même instrument, réaliser le guidage d'une figure plane assujettie à l'unique condition qu'une de ses droites glisse sur un point fixe.

Prenons l'appareil à ligne droite de Peaucellier; on supposera les deux pivots fixes 0, 0' réunis par une tige qui constituera avec le double rhomboïde {fig. 85, page 288) et la bride O'B un système articulé tel que si l'on fixe le membre 00' le point M décrira une droite A perpendiculaire à 00' et coupant 00' en son prolongement en un point fixe Q.

Concevons qu'on ait réalisé un segment RR' de cette droite, calé perpendiculairement à 00' (prolongée s'il le faut). Le segment RIV et la tige 00' ne forment qu'un seul et même membre. Si Ton vient à fixer par un pivot 1» point M et à rendre sa liberté au

Pro tracteur.

Description

des conchoïdes.

membre 00', ce membre se trouvera assujetti à cette condition unique que la tige RR' qui lui est liée aille passer au point M.

Fig. 85. fy^

Cet appareil permet alors de réaliser une transformation nouvelle.

Si, en effet, on amène le point R' en un point V du plan, le point R viendra en un point V situé sur le même rayon vecteur M V que le point V , seulement ce rayon vecteur aura été accru d'une quantité constante R' R. Cet appareil réalise donc la transformation qui a pour effet d'augmenter (ou de diminuer) d'une quantité constante tous les rayons vecteurs d'une courbe. Cet appareil a reçu le nom de protracteur.

Si le point R' vient à décrire une courbe, le point R décrit une conchoïde de cette courbe.

Les exemples précédents suffisent pour monfrer de quel genre sont les questions qui peuvent se présenter à propos des réalisations des transformations au moyen des systèmes articulés.

Applications des systèmes articulés à la résolution des équations et à la représentation des fonctions.

97. On a fait la remarque que les systèmes articulés pouvaient servir à représenter des fonctions ou à résoudre des équations. Nous

Hésolution W'caniquo de

iVquntion du 3» .k-L'ié.

CHAP. Xt. — LES SYSTKMES ARTICULÉS. 289

ne dirons que quelques mots de celle application qui est plutôt curieuse qiie vraiment pratique.

Fixons une lige A d'un système articulé, à liaisons complr'te?; un point M d'un membre du système décrit une courbe qui coupe A en corlains points, dont les distances à un point pris pour origine sur A sont racines d'une certaine équation algébrique. Si donc on a gradué A, il suffira de noter les cotes des points de A où peut être amené le point M par la déformation du système articulé ; on connaîtra ainsi les racines de l'équation proposée.

Los coefficients de cette équation sont des paramétres qui figurent dans la définition du système articulé; les racines de l'équation constituent les valeurs d'une fonction algébrique de ces paramètres indépendants, et à cet égard le système articulé fournit une représentation des valeurs de cette fonction algébrique, au moins dans certaines limites de variation des paramètres.

Si l'on sait trouver facilement les longueurs des tiges qui font prendre aux coefficients de l'équation de$ valeurs numériques données, et contenues entre certaines limites, on aura une classe d'équations résolubles au moyen du système articulé proposé.

A ce procédé de résolution mécanique on peut d'abord adresser le reproche de ne fournir qu'avec une faible approximation les racines cherchées ; mais à cet inconvénient s'en ajoute un autre.

Nous avons vu qu'il est des quadrilatères qui, par déformation continue, nn peuvent prendte qu'une partie des formes que Ton peut obtenir en construisant tous les quadrilatères imaginables dont les côtés ont des longueurs données et un ordre de succession déterminé. Imaginons que notre système articulé offre une circonstance analogue; alors, par une «léforrnation continue, le point décrivant M ne décrira qu'une partie de sa trajectoire et il pourra arriver que l'appan^il no fournisse qu'une partie dos racines qu'il s'agit de trouver.

97*'*. Soit im quadrilatère A nCD dans lequel nous prolongeons les

côtés AR, CD jus-

^c qu'à leur rencontre

en E; appelons 0

l'angle DKA, nous

avons

Al3'=lID*-f-jTÂ* — 2KD.I;Acus 0,

2t)0 LEÇONS DE CINÉMATIQUE.

KG* = ÈC' + ÈB* — 2EG.EB cos Ô; d'où, en éliminant cos 0,

(in)' + Ê\' - AD*) EC.EB = (Ëg' 4- ËB* — Bc') E\.ED.

On constalo fiicilement que celle équation est générale et indépendante de la «lisposition des points situés .sur une même droite, pourvu qu'on affecte de signes contraires deux segments opposés.

Imaginons que l'on arlicule en A, D, G, D le quadrilalère et que l'on fixe la tige AB supposée prolongée. Un point E de la tige CD prolongée décrit une courbe qui coupe en certains points la lige AB; nous nous proposons de former l'équation qui aduiet pour racines les dislances du point E au point A.

Ap|)elons a, h, c, d les côtés AB, BG, GD, DA du quadrilalère, f la distance DE, x la distance AE; nous comptons x posilivcment dans le sens BA; l'équation ci-dessus devient

if -I- c) (x' t- r — d') {x -f- a) =:f[{x + «)» + (f-h cy — 6'j X,

ou en développant,

ex* + a [c - - n •«* — [«-' (r + d'-) -h /■(«* - &« 4- c' + d*)] x

On peut identifier celle équation avec n'inqwrle quelle équation du troi.^icnie degré

X* -f- nx* + px + q = 0.

Plaçong-nous dans le cas particulier où n est nul, il faudra prendre f=.: c, cl les équations d'identification deviennent

On en tire

Ces foi-mulc* nous font connaître c, d ; a et 6 peuvent être pris constants ; cependant si les valeurs précédentes de c*, d* de\ enaient

CUAP. XI.

LES SYSTEMES AtlTICULÉS.

négatives, il faudrait pouvoir faire croître h de manière à rendre les se<:onds membres positifs;

On pourra réaliser ces conditions en insérant les tiges dans des douillos articulées entre elles et dans lesquelles les tiges iKjuriitmt lanlôt glisser, tantôt être fixées au moyen de vis de serrage. Le point A sera fixe sur la tige graduée AU et la fige Cl) devra aussi être graduée alin qu'on puisse plus facilement prendre le point C qui doit être le symptrique de G par rapport à D, attendu que f=^ c.

Systèmes articulés gauches.

08. Nous dirons que deux corps sont articulés s'ils sont réunis par une charnière ou un pivot ne leur permettant pas d'autre mouvement relatif qu'une rotation autour d'un axe, fixe dans les deux corp:;.

Prenons un ensemble de corps qui sont articulés cliacun avec certains autres, de manière à limiter la déformation du système, nous aurons là un système articule au sens le plus général de ce mot.

Les numéros préc('dents ne visaient que les cas où les pivots sont parallèles entre eux et où l'on peut se borner à la considération de:i plaques planes superposées. Ce cas est le plus fréquemment employé, mais les autres sont aussi utilisés. Par exemple, le pantographe de Scheiner a été étendu aux figures gauches et appliqué par M. Collas à ia reproduction des statuv»s.

Le joi«t de Cardan se compose :

4° D'un croisillon, c'est-à-dire de deux tiges égales AI>, A' IV réunies à angle droit en leur milieu C ;

Ftg. 87. Fig. 88.

2» De deux tiges Ox, 0 x' qui sont munies chacune d'une fourche

292 LEÇONS DE CrXLMATIOfK.

portant à ses extrémités des œils dans lesquels s'engagent les extrémités cylindriques A, B, A', B' des deux liges du croisillon; les fourclies sont construites de telle sorte que les prolongements de Ox et de 0' x' aillent se croiser au point G.

Le joint de Cardan peut être utilisé de plusieurs manières. Si l'on fixe invariablement la tige 0' X', le point C demeure fixe et la tigr 0 X peut prendre tous les déplacements possibles autour du point C On réalise par là le fait d'un axe géométrique pivotant autour d'un point fixe. Ce dispositif est employé dans nombre d'appareils de mécanique ou de physique et constitue alors le procédé de suspension dit à la Cardan.

Dans certains cas, comme dans le gyroscope, par exemple, on modifie un peu la disposition précédente, mais schématiqnement le principe est le même. Rien n'empêche, en effet, de remplacer le croisillon par une couronne métallique armée, aux extrémités de deux diamètres rectangulaires, de prolongements cylindriques faisant le même office que les extrémités cylindriques des liges du croisillon. Et même, rien n'empêche d'armer les fourches elles-mêmes de ces mêmes pivots, et de pratiquer, par coutre, les œils où ils s'engagent dans la couronne elle-même.

Mais le joint de Cardan est encore employé à d'autres usages. Imaginons qu'au moyen de douilles ou autrement on interdise aux axes O.c, ()' x' tout autre mouvement qu'une rotation sur eux-mêmes. Le système devient à liaisons complètes, et toute rotation de O.c sur luimême entraînera une rotation de 0' x' sur lui-même. Le joint apparaît donc comme un organe propre à transmettre un mouvement de rotation d'un axe à un aulie axe qui le coupe.

Désignons par w, <.>' les vitesses angulaires de ces deux axes Oj', O' x' et ob.servons que sur la sphère S de centre de C et d«' iii\<>n C A = «, le point A décrit Cfig . 88J un grand cercle (A) dont 0 e-t le pôle, tandis que A' décrit sur la même sphère un grand cercle (A') de jwle 0'. De plus, les points A, A' décrivent leurs cercles avec les vitesses au), aw'.

Observons que, sur la sphère S, l'are de grand cercle .\A' vaut un quadrant. Le mouvement du croisillon est donc celui d'un quadrant de grand cercle A A' dont les extrémités A, A' décrivenl deux autres grands cercles.

Désiguuus {ar H un des points de rencontre des deux grand»

r.IIAP. XI. — LFS SYSTJ-IMF.S ARTICULAS. 293

ceivlos (A) (A'), le triangle A A' H nous donnera

0 = cos A A ' = cos H À . cos H A ' + sin H A . sin H A' . cos H .

Or, H = 180» — 2x où 2x est l'angrle toujours obtus x'Cx. On a donc

cotg HA.cotg HA' = cos 2a.

I)é*l}rnnns HA par 0, HA' par 0' ; le quotient — est le rapport

des vilesses des points A, A', il est égal au rapport des viles^^es angulaires des axes Ox, O'x' . Or, de cotg O.cotgO' = cos 2x, on tire

(ÎH'

- = — cos 2x.sin» Ô -h — cos' 0 •

i' L '^os 2a J

Le rapp«)rt en question oscille donc entre — cos 2a et

cos 2 a

C'est nn inconvénient, car si l'axe O.»*, par exemple, est animé d'un mouvement uniforme de rotation, l'autre axe sera anim»'* d'une vitesse variable et périoilique. On reconnaît en même temps que si 2x s'approche de 90**, ces oscillations augmentent considérablement, et que le mouvement sera rigoureusement impossible pour 2a = 9j".

Enfin, si l'appareil est à disposition variable, c'est-à-dire si l'on a besoin de faire varier l'angle 2a, les conditions de la transmission varieront avec cet angle.

Joint <:onliot. Dans le joint Goubel, toutes ces imperfections se trouvent écarli-es et l'on arrive à transmettre une rotation uniforme, toujours la mt^nie, quel que soit l'angle constant ou variable des deux axes.

Il y a plus de seize ans que le joint Goubet a été inventé; un modèle figura à l'Exposition universelle de 1878. L'attention des savants a été attirée récemment sur cet ingénieux appareil par l'application remarquable que l'inventeur en a faite à la propulsion et à lu direction du bateau sous-marin qui porte son nom. La théorie en a été donnée par M. Résal dans les Comptes roiihis de l'Acudihnic dea Sciences (tomeCXVll). Mais on peut sans aucun calcul se rendie compte de la propriété essentielle de ce joint.

Il consiste, au fond, dans la ré inion de deux joints de Cardan.

Reporlons-nous à la ligure H7 et concevons qu'au point 0' on mène un plan normal à l'axe O'x', puis que pai- rapport à ce plan on prenne les symélrique.-> de la fourche A' O' B', soit A"'0' IH; du croi-

sillon ABA'B', soii A'ir A"'B'^ de la fourche AOB et de l'axe Ox, soit A'O'B' et O'x'. De plus, supprimons l'axe O'x' et soudons entre elles les deux fourches A'O'B', A'"0'B"'. Les extrémités A'", B'", A", B' des tiges du croisillon qui a G" pour centre sont enîragées dans des œils pratiqués dans les fourches correspondantes. Enfin, si 0.ï, O'x*' sont enj^agés dans des douilles qui leur défendent tout autre mouvement qu'une rotation sur eux-mêmes, nous aurons évidemment réalisé un système articulé à liaisons complètes qui reste symétrique par rapport au plan médian mené par 0' perpendiculairement à ce.

Si le système des doubles fourches vient à tourner, il est clair qu'à cause de la symétrie, les axes Ox, O'x' prendront des rotations éîrales sur eux-mêmes. Donc, inversement, si l'on impose à l'axe Ox line rotation o, l'axe O'x' prendra une rotation sur lui-même égale à (0. En particulier, si Ox tourne sur lui-même avec une vitesse constante, O'x' tournera sur lui-même avec la même vitesse constante.

Ce résultat est remarquable non seulement à cause de la transmission intégrale de la vitesse angulaire de rotation, mais encore parce que V angle que font les deux axes n'intervient pa^.

Supposons, par exemple, que OX soit l'arbre de couche parallèle à la quille d'un bateau à hélice et O'X' l'axe qui porte l'hélice.

A l'état normal, c'est-à-dire dans la marche rectiligne du navire, O'x' sera dans le prolongement de Ox. Mais imaginons que, par »m système d'engrenages se gouvernant de l'inlérieur, on incline la direrlion de O'x' tout en conservant la propriété essentielle {*) de la symétrie, l'hélice gardera sa vitesse uniforme, la même que celle de l'arbre de couche, en sorte qu'il n'en résultera aucun choc dans le jeu de la machine, et cependant, grâce à l'inclinaison de l'axe O'x', l'hélice produira l'effet d'un gouvernail, et d'un gouvernail actif, ce qui, on le conçoit, augmente beaucoup la rapidité d'évolution du navire.

Joint Clémens. Le joint Clémens offre la même propriété que le joint précédent, mais il est moins commode, du moins dans certaines applications.

(') M. Goubet rôaiise cette condition essentielle au moyen d'un engrenage limité à quelques dents.

CKAP. Xr. — LES SYSTÈMES àRTIC\ LÉS. 293

11 a figuré en 1876 à l'Exposition de Philadelphie et a fait l'objet d'une note intéressante aux Comptes rendus (tome LXXXIV), par M. Rozé, le distingué Conservateur des collections de l'École polytechnique.

Imaginons deux tiges aeO, AT5 «'articulant entre elles par leurs extrémités respectives 0 et A; par exemple, xO portera une petite tige formant un T dont les branches cylindriques s'engageront dans les œils d'uoe fourche terminant en A la tige AB. Concevons un plan iictif T. passant par l'extrcmitê B et ne coupant pas la tige Ox; prenons, par rapport à ce plan, les symrtriqucs des tiges Ox, AB, soit 0' iy x' , A'B'. Réalisons ces tiges et

Ij ( J articulons-les, comme les précé-

/ \ dentés, par leurs extrémités A', 0'.

y^ \ Munissons l'extrémité B de AB

V*-x d'une enveloppe sphérique creuse

'^ où s'engagera une sphère pleine

égale terminant l'extrémité B' de A' B' . Par ce pro<;6dé on réalisera la coïncidence permanente des points Fig.89. •^\ B, B'. Enfin, engageons les tiges

Ox, 0' x' dans des douilles qui leur permettent seuiement de tourner sur elles-mêmes. Bans ces conditions, l'ensemble des tiges forme un système à liaisons complètes ; le point B, extrémité commune des deux tiges A B, A' B', décrit une cercle contenu dans le plan de symétrie r et la figure reste symétrique par rapport à ce plan. On voit donc, par la même raison de syniétrie que ci -dessus, à projws du joint Goubet, que les tiges Ox, 0' x' auront des vitesses do rotation constamment égales.

Bans la pratique, et pour assuiwr un guidage plus parfait, on ne se contente pas d'un si-ul couple de tiges AB, A'B', on en introduit un second.

Planigraphi» Comme autre exemple de système articulé gauche nous décrirons rap[iareil qui, en application du théorème de M. Barboux «lémontré a la page 222, permet de décrire le plan ou plus exactement une zone plane,

11 s'agit, comme on sait, de réaliser le fait d'une tige ABC dont trois points A, B, C décrivent des sphères; Ic^ routre> A,, B„ C, de ces sphères sont eux-mêmes en ligne di-oile. Il y a alors un point M

296 LEÇONS LE CINÉMATIQUE.

de la lige ABC qui décrit un plan normal à la tige AjB^G,. Il suffit donc de relier les points A et Aj, B et Bj, G et C^ par trois tiges de longueur invariables s'articulant par leurs extrémités aux tiges ABC et A, BjCj. Nous sommes ainsi amenés à réaliser, par le moyen d'un système articulé, le fait de deux tiges s'articulant en un point, c'est-à-dire assujetties à l'unique condition d'avoir constamment en commun le même point; par exemple, le point A s'il s'agit des tiges A A, et ABC.

Voici comment on peut y parvenir :

Considérons un cylindre F de révolution, dont l'axe figure la droite ABC. Imaginons un anneau assez étroit embrassant le cylindre et pouvant glisser sur lui à frottement doux. Si l'on enfile ainsi plusieurs anneaux dont la largeur totale soit égale à la hauteur du cylindre et si, par des vis à tête placées aux extrémités du cylindre, on empêche les anneaux extrêmes de glisser dans le sens de l'axe, tous ces anneaux se caleront les uns aux autres et ne pourront prendre chacun qu'un mouvement de rotation sur eux-mêmes autour de l'axe du cylindre.

Imaginons maintenant que l'un de ces anneaux .soit tel que son plan moyen passe par le point A ; il y passera constamment. Dans ce ]ilan moyen munissons l'anneau de deux broches cylindriques figurant les prolongements d'un diamètre, qui passe par le point A; puis engageons ces broches dans les œils d'une fourche F identique à celles que l'on utilise dans les joints de Cardan. Désignons par A la droite qui représente l'axe géométrique de la fourche. Par suite de la rotation de la fourche autour de la broche et de l'anneau autour du cylindre, la droite A peut recevoir toutes les orientations possibles autour du point A; l'effet produit est le même que dans un joint de Cardan dans lequel on aurait fixé l'une des deux fourches.

Figurons-nous maintenant un cylindre de révolution délié, dont l'axe figurerait la droite A et qui serait soudé à la fourche F. Enfilons sur ce cylindre plein un cylindre qui en sera la forme en creux et que nous empêcherons de prendre aucun mouvement de glissement par rapport au cylindre plein dans le sens des génératrices. Ce cylindre V pourra s'orienter de toutes les façons possibles autour de A et, par rapport au cylindre V, réalisera le fait d'une tige articulée sur une autre en un point.

L'emploi d'un autre anneau dont le plan moyen pa-ise par B et

CIIAP. Xr. — LES SYSTÈMES ARTICULÉS. 297

d'un troisième dont le plan moyen passe en C, permettra d'articuler do même en ces deux points les deux tiges BB, et CC^.

On fera de même pour la tijje AjEjCj et les extrémités A,, Bj, C^ des tiges A Aj, BB,, GC,.

Fi.j. 'JO.

Tel est l'appareil qui a été construit et que représente la liguto IK).

Supposons qu'une tige ABC soit assujettie à la condition que trois de ses points A, B, G décrivent des plans formant un trièdre Oxyz; un point quelconque de la tige décrit un ellipsoïde.

Soient, en effet, X, [i., v les angles des arêtes Oy, Oz; Oz, Ox; O.r, 0?/ et a, fc, c les dislances MA, MB, MC, où M est le point décrivant. Désignons par l, m, n les projections sur les axes, faites parallèlement aux plans de coordonnées, d'un segment do longueur 1 porlé par la droite ABC; les coordonnées x, y, z du point M auront les expressions suivantes : x est la projection du segment A M, donc

et de même

Or, /, tn, n sont liés, comme on sait, par l'équation l* -f- /*«' ■+■ n* — 2m:î'*osX — 2nlcos[x — 'ilmcos v =:: 1.

Nous aurons donc, d'après les équations ci-dessus,

x* y* 2* yz zx xtf

-; -f- -,-r -h -r — 2 -.— cosX — 2 — COSu. — 2 -~ cosv = i.

a' o' c' oc ca ao

Le point M décrit donc bien un ellipsoïde.

Or, pour obliger les points A, B, G à décrire chacun un plan, il suffira d'articuler ponctuellement en A, B, G, sur la lige ABC, les extrémités des tiges de trois planigraphes. On réalise donc de la sorte un système articulé susceptible de décrire un ellipsoïde ('),

Théorèmes généraux sur les systèmes articulés.

Articulation 99. Je terminerai ce chapitre sur les systèmes articulés en démonde dpux corps, jij^nt plusieui^s propositions que j'ai fait connaître en avril 1895 dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences.

Rappelons que nous appelons articulés deux corps dont le mouvement relatif se réduit à une rotation autour d'un axe, fixe dans chacun d'eux, qui sera Vaxc d'articulation.

Si l'un des corps est une lige assimilable à une droite, nous supjwserons toujours que la tige coupe à angle droit l'axe d'articulation. Le point de rencontre sera le point d'articulatiân, et le plan lié au corps dans lequel peut se déplacer la tige sera le/)/an d'articulation. Ce plan est ainsi à chaque instant le plan mené |>ar la tige normalement à l'axe d'articulation.

Lorsqu'il s'agira de deux tiges articulées entre elles, nous supposerons que l'axe d'articulation est perpendiculaire aux deux tiges et que celles-ci coupent cet axe au même point d'articulation; le plan des deux tiges est normal à l'axe d'articulation et constitue le plan d'articulation commun des deux tiges.

Ces suppositions n'ont rien d'essentiel, mais elles précisent et simplifient les raisonnements.

Jonction Nous avons rencontré ci-dessus un autre mode d'articulation de

ponctuelle, (jg^x tiges OU de deux corps, pour lequel nous adopterons la locution de jonction ponctnelle, où la condition imposée consiste dans la coïncidence constante de deux points, fixes dans chacun des. corps.

(') Nous avons vu, pao-c 2'2'i, que si IfS plans décrits sont rectangulaires, la tig'e ABC reste normale & uua eurface.

On peut modifier le dispositif que nous avons déjà décrit et opérer comme ii suit :

Concevons une sphère pleine S, qui porte deux petites broches cylindiiques figurant les prolongements d'un diamètre. Ces broches s'engagent dans des œi!s pratiqués, aux extrémités d'un diamètre D, dans l'épaisseur d'un anneau extérieur et concentrique à la sphère S. L'anneau,, à son tour, est muni de broches figurant les prolongements du diamètre perpendiculaire au diamètre D; ces broches s'engagent enfin dans les œils d'une fourche F pareille à celles qui ont été décrites plus haut. Dans ces conditions, l'axe de ia fourche F est une droite a capable de s'orienter de toutes les façons posf^ibles autour du centre 0 de la sphcre. En réalisant alors, au r.ioyen d'une douille comme il a été expliqué, un cylindre dont A soit Vaxc et libre de tourner autour de A, on aura réalisé le fuit d'un corps libre d'évoluer autour d'un do ses points 0.

Que l'on fasse de mênn.e pour un second corps oi employant In même sphère S, et nous aurons de la sorte un second mode de réalisation de la jonction ponctuelle de deux corps.

L'avantage de ce dispositif est de rendre possible la liaison invariable du point 0, centre de la sphère et point d'articulation, à une figure mobile, sans gêner autrement le mouvement des corps qui se joignent en ce point.

Imaginons, par exemple, que l'on soude la sphère S à un système articulé qui oblige le centre 0 à décrire une droite, par exemple ù un appareil Pea»icellier, nous aurons réalisé le fait de deux corps mobiles assujettis à la condition de se joindre en un point qui doit rester lui-même sur une droite fixe.

Nous allons déduire de là une démonstration de lemmes importants. \jRmmt 1. Soient A et B deux corps tournant librement et indépendamment

l'un de l'autre autour d'un axe fixe Or. l'ne tige A s'articule au point 0 avec le corps A et de telle manière que le plan FI d'articulation passe par Or, ce qui fait que l'axe D d'articulation est une droite issue de O et rectangulaire avec Or. Une seconde tige A' s'articule dans les mêmes conditions au point 0 avec le corps 15 et le plan 11' d'articulation passe au.ssi par Ta-xe Or. Les azimuts des plans II, 11', qui sont aussi ceux des droites A, A', varient d'une façon quelconque, indépendamment ou non. 11 s'agit de forcer les tiges A et A' à fahu avec Oz le même angle, sans altérer en quoi que ce soit l'état

de liberté o\i de dépendance relative des azimuts des plans tl et n'. Je dis qu'on peut y parvenir à laide de si/stèmcs articulés.

En effet, prenons les longueurs OD, OD' sur A, A' é^jules à une ménie longueur l. Prenons deux autres tiges DE, D' E égales aussi à l et qui se joindront ponctuellement aux extrémités D, D' des premières. Nous relierons ensuite ponctuellement par une double articulation effectuée sur une sphère les tiges Df], D'E, de sorte que le point E où elles se joignent soit justement le centre de celte sphère et ensuite, en soudant cette sphère à un système articulé de Peaucellier, nous forcerons le point E à décrire la droite Oz. Dans ces conditions, l'égalité des tiiangles isocèles ODE, OD'E entraîne l'égale inclinaison des tiges A, A' sur l'axe Oz, et cela sans que les relations entre leurs azimuts se trouvent en quoi que ce soit altérées. Lemrne II. Soient T, T' deux tiges de longueurs a, a' .

La première s'articule en 0 sur le corps A de tout à l'heure, libre de tourner autour de Or, et le plan d'articulation II contient Oc, en sorte que l'axe D d'articulation est une droite du corps A perpendiculaire à Oz.

La lige T' s'articule avec la tige T à son extrémité, de sorte que le plan d'articulation soit le plan II que nous venons de définir. Ainsi les tiges T et T' se meuvent toutes deux dans le plan H, tandis que le plan, solidaire du corps A, peut tourner autour de l'axe Oz en même temps que le corps.

Soient 0, b' les angles avec Oc des tiges T, T' et ç l'angle que fait le plan II avec un plan fixe zOx mené par Oz.

Je dis que si p, p', j désignent «/es entiers positifs ou négatifs et >,, \i l'une des quantités 0, -, 4- ô' — ô' ^" s«W''« réaliser avec un système articulé le fait d'une tige T (p, p', X, <:, |i.) faisant avec 0: l'angle pO -f- p'ô -f- /. et dont es -+- |x sera l'azimut.

En effet, nous saurons, d'après Kempe, réaliser le fait d'une tjfc'e Ac.c'.À articulée au point 0, sur l'axe d'articulation D, avec le corps A (en sorte que II est son plan d'articulation) et qui fasse avec Oz l'angle p6 -f- p'O' -+- X. Il suffira d'établir dans le plan x un système articulé convenable dont feraient partie les tiges TetT'. (Voir page 270.) Grâce à ce sy.slème, quand on déplacera T ef T' de façon à faire varier d'une façon quelconque leurs angles 0, 0' uvec Oz, la

CHAP. Xr. — LES SYSTÈMES ARTICULÉS. 301

lige \s,-',\ se placera d'elle-mcme sous l'angle pO + p'O' + X avec l'axe Or.

Imaginons nn second corps A^jji tournant aussi librement autour de Oî et articulons une tige T (p,p', a,7,;x) avec ce corps au point 0, de sorte que son plan II- ,, d'articulation passe par Or.

D'après le lemme I, nous saurons, par le mojen d'un système articulé, qui reliera les axes A- ;-,> et T (p, p', À, t, [>.), obli^rer les axes à rester également inclinés sur l'axe Or et cela sans toucher à la liberté relative de leurs azimuts qui sont ceux des plans H et If^ .ji. Alors T (p, p', X, (7, i;.) fera avec Or l'angle p9 -t- p'ô' -I- X.

Maintenant, passons aux azimuts, qui sont restés indépendants. Matérialisons en une tige i), solidaire du corps A, la trace du plan II sur le plan des xy, et soit de même Q„,-j. une tige solidaire du corps Ajix représentant la trace sur le planxO^ du plan \ï^,,i. ha lige û fait avec Taxe Ox l'angle ç; on pourra, grâce à un système articulé plan, obliger Q^^,,. à faire avec Ox l'angle 79 -f- [i (Kempe).

Dès lors, la tige ï (p, p', X, 7, \j.) remplit les conditions angulaires de l'énoncé.

Son azimut es! zo h- jj., et l'angle qu'elle fait avec Or est pO + p'O' ^- X.

Soit une tige Al^; on peut, au moyen d'an systrnie aHicuU, réaliser le fait d'une l\<je A'B' cqnipoUcnlc à AB cl dont V origine A ' peul être jn-kc en un point quelconque fixe ou mobile de l'espace, sans gêner le monverneut de la lige ATÎ si celle lige esl mobile.

En effet, concevons un corps C libre de tourner autour de AB, puis un corps C articulé avec C, de sorte que l'axe d'articulation soit paiallèle à AB, puis un troisième corps C articulé au corps C, l'axe d'a»ticulation étant aussi parallèle à AB, on pourrait coiitinuer si l'on voulait, mais arrèlons-nous au corps C", et soit A,B, un segment lié au corps C qui soit, dans une position do ce corps, équipollentà AB, il esl clair que A,B, sera équipollent à AB dans toutes les positions du corps C. Imaginons alors que dans un plan II lié invariablement au corps C, on construise un parallélogramme articulé dont A,B, serait un côté; on pourr.iit njôme construire une chaîne de parallélogrammes articulés dans le plan 11 dont le premier aurait ^^B^ po.ir cô'.é et <lont les autres auraient tous deux cotés équipollents à A, 13,.

Le dernier de ces côtés dans le dernier de ces parallélogrammes c:d une lige A'B' qui demeure équipolleute à AB, soit quand on fait

Lemme IV.

Réalisation

toute liaison aljjôbriquo

eiific des points.

OO/H LEÇONS r)E CINKMATIQrE.

tourner les corps C, C',G', soit quand ou déforme Ift chaîne dfts parallélogrammes articulés ; or, il est bien évident que par ces mouvements combinés on pourra, quelle que soit la position du seg-ment AB et sans {;;èner sou mouvement, amener le point A' en un point arbitraire de Tespace.

Soient Tj, Tj, ..., T,„ m liges s'arliculanl au point 0 sur »« corps A,, Aj, ..., A„, que nous supposeron^J susceptibles de tourner autour de Or. Les plans d'articulation passeront tous par Oc et nous désiguerons respectivement par ^^^, ç,, ..., ■^„, les azimuls de ces plans et par 0,, Oj, ..., 0,^ les angles des tiges 'i',, T,, ..., T,„ avec Oz. Ces divers angles jwurront être in<Iépcndants ou liés par certaines conditions physiquement réalisées, comme par exemple les tiges T (sp'a7;a) dans le lemme II.

Je me propose do prouvei" que Von peut rénliiêr par des sustêwes articulés ce fait que la soynmc des projections des tifjcs T.jT,, ..., T,„ sur un axn, taxe Ox par exemple, soit nrdle.

En effet, par Temploi de systèmes articulés nous saurons guider une tige T^ équipollonle à T, et dont l'origine soit sur un point fixe F [lemme 111]. Nous saurons do même construire une tige Ti se joignant pfinctuellement par son origine à l'exlréjnité de TJ et (îonsfamment équipollente à T,; puis une lige T, équipollenle à T, et se joignant par son origine à l'exlrémilé de 'J'i et ainsi de suite.

Nous arriverons finalement à iine dernière lige T^ équipollenle à T„ et dont on désignera par T rexlrémité.

La droite FI* l'eprésente la sonune géométrique des segmenls T,, T,, ..., T,„; pour que sa projection sur Ox soit nulle, il faut et il suffit que le point P d.'crive le plan mené par F perpendiculairement à O.r. Or, c'est ce que l'on saura réaliser en articulant ponctuellement la tige l'nt par le point i* au point décrivant d'un planigraphe.

Le lemme est donc démontré.

Ces divers lemmes nous conduisent à une proposition générale qui s'énonce dans les termes suivants :

Soient M,, M,, ..., M„ n points liés par une relation alijéhrujue. On peut réaliser cette relation algébrique à Vatde d'un sjjfitcmc articule.

Soient, on ollel, x^, ?/„ r,, .r„ j/,, r^; x^, y,, r,; ..., x,„ y,, z, les coordonnée»* rectangulaires des n points; la relation algébrique consi-

dérée so traduira par l'équation

fi^if y%y «1» *«» î/f) ^„ •••, 3^„, V«> O = 0, où ^est un polynôme en x,, »/„ r„ ..., a:,, y„ z..

Je me servirai de tiges T, T' comme dans les Icmmes précédents. Ainsi M< sera lextrémité d'une lige T<' articulée à rexlrémité d'une tige ïi qui s'articule elle-même en 0 à un corps A; libre de tourner aulour de O 2 et le plan d'articulation 11^ contient à la fois l'axe Or et les tiges T„ T,'. Une tige 1}^, figurant un prolongement du corps A^ dans le plwii .tOj/, malérialise la trace du plan II, sur ce plan; 9. est l'angle de Û< avec Ox-; 8^,6; les angles de T„ ï; avec Oz; enlin si a„ a'i sont les longueurs des deux tiges, on a pour les coordonnées du point M„

Xi = (a, sin Oi -I- a,' sin ôj) cos o„

j/i = (a, sin Oi 4- a- sin 0,') sin ç,-,

?j = a, cos 0< -\- a'i cos ô,'.

La relation algébrique prendra alors la forme

0=2^^ sin^'ô, ... sin'»0„ sin''''Oi ... sin"'"0;. cos^Ô, ... cos''''ï-

cos"ô| ... cos''''0;, sin'^'ç, ... sin'^'*ç„ oos''^, ... cos'"(f„.

Or, en faisant usage d'une transformation déjà ulilisêe dans le théorème de Kempe, nous mettrons cette équation sous la forme

[Pi P« •••?»/« 7j 7, ... 7„ J/.

sin apiO.H- SpiO; + X)cos(2î<9i 4- h),

où pj, p, ..., p„, pi, pâ- •-., .;'„ 7,, 7,, ..., 7„ sont des entiers positifs ou négatifs et X, p. les quantités 0, "^j ^- îj' — 5; quant au coefficient

[Pi Pi ••' P-'-l pi p» ••• p» j' <7j î, ... (7„ [xj

il est essentiellement positif.

Nous allons maintenant considérer un plan fl passant par 0;r, plan qui sera lié invariablement à un corps A auxiliaire libre de tourner autour de cet axe.

Nous articulerons en 0 sur ce corps A et dans le plan H, pris comme plan commun d'articulation, n liges A,, A,, ..., A„ que nous assujelliïOJis, par le procédé du lemme I, à faire avec 0« les mêmes «ingles 9^ •„ ..., 0, que T„ T„ ..., T„.

1 mobile

Pl'?25 •'

304 L?:çoNS DE cinématique:.

Après avoir construit les parallélogrammes sur T,, Tl, T„ Ti, ... articulés respectivement dans les plans II,, lïj, ..., 1I„, ce qui nous donne les tiges Tï, Tï, ..., 1^ équipoUentes à Tl, T», ..., T,^, mais articulées eu 0 aux corps A,, Aj, ..., A, respectivement, nous pourrons j^uidei- dans le plan II n autres tiges Al, Aâ, .,., A^ articulées en 0 au corps A et faisant avec Oz les mêmes angles Ol, 6?, ..., 0,', ,, 1^, ..., 1„ ou que T,, 1?, ..., 1„.

Nous saurons alors, par le moyen d'un multiplicateur et addileur

de Kempe, guider dans le plan II une lige A ('',*' P*' '"' P«' M f,,isant

avecOî l'angle ilp.O^ + Ip.'O.' -h X.

(Pi' ?î> pi, p2,

autour de l'axe Or et dont nous représenterons part]

un prolongement en forme de lige situé dans le plan des a »/, tn sorte que cette tige matérialise la trace sur le plan des xy d'un plan

(?i> fi» •••' fn» 'A ri' ps' •••' f'" ) '•*-' invariablement au corps et passant par C7,, Jj, ..., v„, \)./

/ l'i' ri» •••' r«' '^ \ 0:; dans ce plan II 1 pi, pi, ..., p,', 1 articulons en 0 une lige

\7„ C„ ..., (J„, iV

Pi) pS) •••' pm '^\

sur le corps A | pi, p2, ..., p,'„ | ; on pourra,

en application du lemme I, relier cette tige avec la tige

/Pi' ?»' '••' pnJ 'A

de sorte que les in linaisons do ces tiges sur 0- demeurent égales. On ponira ensuite, par <l( s ailditeurs et des mulliplicaleurs, lelier

/ri' Pî' •••' P"' '^\ la tige il 1 fl, p;, ..., p;„ 1 aux tiges Q„ <J„ ..., 0„ de façon

"i> 'jj •••' ^»' M-/ qu'elle lasse avec Ox' l'angle ilcj^j -»- p..

/?!> Pî» ••■' P'«> '^X I Pu ?£' •••> ?"» ) \3'i» îj) •••? ^K» !^'/

«le plusieurs équations.

Descr'plitin

Jtfs surfaces

et (les oourhcs

algébriques

gfluches.

(?1> fji •••» pnJ 'A pî, p^, ..., pi, I fait avec Oc ^1) ^1' •••> ^n> !•'•/

l'angleipiOj + Sp.'G,' +X, tandis que son azimut est égal à Sp,?, M- ja.

/>«> ?î' •••» P«> ^«\ Si l'on donne à cette tige la longueur Ai I pi, pi, •••, pi, 1 l'équa-

tioii (E) exprime que la somme des projections de toutes ces tiges sur Ox est nulle.

On est alors conduit à appliquer le lemme IV. Par des articulalions on guidera un polygone articulé formé de tiges équipollentes

(Pv Pî» •••» P«» *^\ pi, pi, ..., pi, I et l'origine F de la première tige de 7,, 7„ ..., !7^, {A/

ce polygone étant maintenue fixe, il sera nécessaire et suffisant que l'extrémilé de la dernière décrive le plan normal à l'axe O.r mené par le point F, ce que l'on réalisera au moyen d'un planigraplie. Le théorème est démontré.

Si la condition géométrique imposée à l'ensemble des points M,, M,, ... se traduit par plusieurs équations entre leurs coordonnées, chacune de ces équations se trouve représentée par un système articulé. Il suffira de joindre ponctuellement entre eux ces divers systèmes aux points Mj, M,, ... pour que ces points se trouvent être assujettis à la fois à l'ensemble des conditions- exprimées par les équations proposées. Le théorème est donc acquis quel que soit le nombre des équations de condition.

Plusieurs cas particuliers de cette proposition sont dignes d'une mention spéciale.

D'abord s'il s'agit d'une condition unique imposée aux coordonnées d'un seul point M, ce point décrit une surface algébrique, et l'on a alors ce théorème :

Toute surface algébnque peut être décrite par le moucn d'un système articulé.

Si l'on a deux équations algébriques entre les coordonnées d'un point unique, ce point décrit une courbe gauche algébrique. Donc :

Toute courbe gauche algéh'iquc peut être décrite par le moyen d'un système ai'ticulé.

Ciyiéinatique.

ao

306 LÎÎÇON'S DE CINEMATIQUE.

Mouvenieiiis On {)eut sc rendre compte aussi qu'il n'est point de mouvement ïiigobviiiues. algébrique d'un corps qui ne puisse être réalisé au moyen de simples articulations.

Observons, en effet, que la position d'un corps solide est connue si Ton connaît celle de trois de ses points.

Une condition algébrique imposée au mouvement relatif de deux corps se traduira par une ou plusietu's relations algébriques entre les coordonnées de trois points liés à l'un et de trois points liés à l'autre. Donc, tout état de gène, représenté par des conditions algébriques, existant entre deux corps est réalisable par le moyen d'un système articulé.

De même, s'il s'agit d'un système de corps solides.

I-.es mêmes remarques s'étendent à des conditions plus abstraites.

Considérons deux points qui soient constamment conjugués par rapport à une surface du second degré. Il existera un système articulé qui réalisera cette relation.

Pareillement si la droite de jonction de deux points P, Q fait partie d'un complexe donné, algébrique, il y aura un système articulé qui assujettira le segment PQ à cette condition.

Les transformations géométriques algébriques sont dans le mémo cas. Il y a, par exemple, des systèmes articulés qui réalisent l'homographie la plus générale. Nous avons eu occasion de donner à la page '264 un cas particulier, celui de l'homothétie jointe à un déplacement (').

Il est clair que l'introduction de simples articulations ne peut fournir que des liaisons de nature algébrique, c'eet-à-dire se traduisant par des quantités algébriques entre les lignes ou les lignes trigonométriques des angles des figures assujetties à ces liaisons. Des relations de nature transcendante ne sauraient être réalisées par leur moyen.

Mais il était permis de se demander si les systèmes articulés fournissent réellement le moyen d'établir toutrs les liaisons algébriques concevables ou bien si les liaisons qu'ils permettent d'établir ne forment pas une classe particulière dans l'ensemble des liaisons algébriques.

(') Dîins le BuîUtiti da Scitiirrx r.taihêmatiquts (novembre 1895), M. DelauDHY a fuit coDuattre tm sj-stdine articulé projac ù réaliser la projectioa orthogonale.

CH.VP. Xt. — LES SYSTÈMES AnTICULÉS. 307

Le raisonnement tiré du nombre suffisant des paramètres, que permet d'augmenter à volonté Taddilion de nouveaux corps et de nouvelles aiiiculalions, ne saurait passer pour satisfaisant. Dans l'article tîes Nouvelles Annalna, où M. le général Paucellier a publié sa belle découverte de l'appareil à ligne droite, l'auteur fait remarquer que le nombre des paramètres dont on dispose dans un système articulé plan peut être aussi grand que l'on veut, pourvu que Ton complique suffisamment le système, et il en déduit que l'on pourra toujours, grâce à ce nombre indéterminé de paramètres, faire en sorte qu'un point du système décrive un arc de courbe algébrique donné a pj^on.

Celte remarque rend probable le théorème, mais elle laisse subsister ce doute que les courbes qui naissent du mouvement d'un système articulé sont peut-être marquées d'un caractère particulier.

Il n'en est rien, c'est vrai, mais lu démonstration de Kempe était nécessaire pour le mettre hors de doute. Ainsi en est-il des théo. renies plus généraux que nous venons de démontrer.

Pour Unir, une réflexion concernant les systèmes articulés. L'intérêt qui s'attache à leur étude n'est point justifiable a priori. Des avantages de précision, de facilité de construction, de légèreté, de mobilité en ont rend» l'emploi précieux aux praticiens. Leui: usage dans les machines est indispensable; on les rencontre dans les mécanismes les pins primitifs, comme aussi dans les plus modernes; aussi est-il permis de prédire à leur théorie un développement incessant. Jusqu'à ce jour, on ne peut dire qu'elle ait été poussée très loin, malgré les travaux si ingénieux de Tchebichcif et de tant d'autres géomètres. Les principes généraux de la théorie des systèmes articulés n'ont pas encore été éclairci;i et on est réduit à un ensemble de recherches isolées et de ivsuUats curieux sans liens apparents entre eux. C'est une raison de plus pour engajçer les géomètres à éclairer cette question encore obscure; les progrès de la science se fout parfois par les côtés les plus inattendus»

LEÇONS DF, CINEMATIQUE.