CHAP. XII. — CAS PARTICULIER D'HOMOGRAPHIE

Au lieu de supposer que l'on prend le lieu du centre instantané et celui du centre des accélérations dans le plan fixe, on pourrait se poser le même problème dans le plan mobile.

Alors les racines Z', V des équations (33) et (35) devront vérifier l'équation

Z' = aV + 6,

c'est-à-dire que l'on doit avoir

rf*n

dn

di^

dt

dm

dt*

dt

ou

«... éPn dt* dn dPm

dt

Cette équation s'intègre encore par quadratures, comme l'équation (38).

Si a est différent de 1, on trouvera, h pouvant être pris nul,

et si a r= i, il vient au contraire

(43) n = - b r Aog^\ dm + Btn + G,

où A, B, G sont des constantes.

Supposons, en particulier, que l'on s'assujettisse à une rotation uniforme, on aura m = e'^, 0 = wi et w = constante. Dans le cas de la formule (42) il viendra

(42)' n = Ae-® -h B

et dans le cas de la formule (42)

(43)' n = — biO.C® + Be'^ + G.

Mais par un changement de coordonnées fixes ou mobiles on peut

réduire B et C à zéro dans les deux formules, et il reste

(42)' n = Ae'««,

Si Ton suppose, en particulier, que a soit de la forme a=zqi on q est une quantité réelle, on trouve que le mouvement est celui d'une spirale logarithmique roulant sans glisser sur une droite avec une vitesse angulaire constante. Dans ces conditions, le centre de courbure de la spirale est précisément le centre des accélérations. Il en résulte donc que la spirale logarithmique possède la propriété de se réduire à sa propre développée par un mouvement (une rotation de 90" autour du pôle) accompagné d'une homothétie.

On a ainsi une solution particulière du problème posé et traité autrefois par Victor Puiseux dans le Journal de LiouviUe, trouver les courbes semblables à leur développée.

Les substitutions linéaires à une variable et les. déplacements autour d'un point fixe.

Recheitîhe iÙ9. Nous avons vu que tout déplacement d'une figure dans l'es-

•*** pace est une homographie qui conserve le cercle de l'infini.

dTlWwcr* Traitons le problème inverse et cherchons toutes les homographies

qui consenent de l'espace qui conservent ce cercle.

le cercle de Soient x, y, z, t les coordonnées homogènes d'un point ; «^ y^, Zj, t^ l'infini. ... . , .

celles de son transformé.

Nous supposerons que x=:0, y = 0, z = 0 sont trois plans rectangulaires et t = 0 le plan de l'infini ; dans ces conditions, comme le plan de l'infini est son propre homologue, une des équations de transformation sera

en sorte que les équations de l'homographie auront la forme suivante :

ç,x^ = lx -h l'y ■+- i'z -Hat,

py^=zmx -i- m'y -i- m'z -4- bt,

*■ '' P*» = "3c -+- n'y + n'z + ctj

aiw. xii. — CAS partici:lier d'homographie. 333

Il faut exp» imer que dans cette homographie le ccrc'e de rinfini se correspond à lui-même ou que les équations t = 0, x' -t- y* + z' -=0 entraînent t^z=0 el x] + y] -h z\ :=0.][ faut pour cola et il suffit que l'on ait une identité de la forme

(Ix + l'y -H Tz)- -f- {mx ■+■ m'y -h m'z''^ + (nx -]■ n' y + n'?)* =. /i* (x' + 1/* + z^).

Posons alors

/ l =za..h, V =(i'.h, r =x\h,

(45) m = 3. h, m'-.^',h, m'=z^\h, \ n =YJi, 7i' =y'./i, n' =y'./i,

il viendra

On aura donc les identités caractéristiques des transformations orthogonales

V aa' + PP' -t- Yï' = 0-

Il convient de remarquer que l'on peut, sans inconvénient, dans les formules (45) changer les signes de toutes les quantités a, a' a', ?> 3'. ^'» Y) ï'» ï*> à la condition de changer aussi le signe de h. Nous pourrons donc toujours supposer que le déterminant

qui est égal à ± 1 d'après les relations (4), est égal précisément à -t- 1. Dès lors, le trièdre trirectangle T, dans lequel a, p, y, a', j3', y'> <*'» ^\ Y* sont les cosinus directeurs des arêtes Ox, Oj/, Oz est superposable sur le trièdre T^ (0,, x,, y^, z^) et peut être considéré comme résultant d'un déplacement de celui-ci. Les formules (44) en y prenant maintenant p = f = t, = 1, deviendront

/ X, = 7i (ax -f- a' y -+- a'-z) + a,

W I y, = /i (Px + a't/ 4- ^'z) + 6,

( rj = h (yx h- y' y 4- y'^) + c.

Dépl» -ocnt

et hoiPOthélie.

Ces formules représentent évidemraent un déplacement accompagné d'une transformation homothétique dont h est le rapport d'homalhetie et 0^ le pôle. L'homothétie sera directe ou inverse selon le signe de h.

Nous sommes donc à môme d'énoncer la proposition suivante :

Toute transfonnatio7i hornographique qui conserve le cercle de l'infini consiste en un déplacement accompagné, s'il y a lieu, d'Une homothétie directe ou inverse.

Comme tout déplacement équivaut à une translation accompagnée d'une rotation autour d'un point fixe, comme, d'autre part, la translation laisse invariable chaque point du plan de l'infini, nous pourrons, dans l'élude des relations entre un déplacement et l'homographie qu'il établit sur le cercle de l'infini, faire abstraction de la translation et nous en tenir au cas où l'homographie conserve un point 0 à distance finie (et alors une infinité répartis sur une droite).

Nous prendrons 0 pour origine commune des deux trièdres et alors, pour rester dans le cas général où le déplacement serait compliqué d'une homothétie, nous aurons

x^ = h {oLX + d'y -h a'z),

z^ — h(vx 4- y'?/ + t'")-

Si /i = — 1, l'homothétie se réduit à une symétrie par rapport au point 0; si /j == 1, il n'y a plus d'homothélie.

Cooixloniiées

rappoi*téos

au cercle de

l'infini.

110. Ceci posé, introduisons l'homographie qui relie les points du cercle de l'infini, et, en premier lieu, cherchons une représentation des points de ce cercle en fonction d'un paramètre X.

Si nous prenons x, j/, z proportionnels à (1 -i X*) i, 1 — X*, 2X, en sorte que

(50) pa; = (1 + X*) i, py = 1 — X«, pz = 2X, t = 0,

le point correspondant à ces coordonnées est un point Q du cercle de l'infini, car ses coordonnées vérifient l'équation

Pareillement à une valeur X' du paramètre X il correspondra un

CHAP. XII. — CAS PARTICULIER d'hOMOGRAPHIE. 335

autre point Q' à l'infini pour lequel x, y, z sont proportionnels à (1 4- X") i, (1 — >.'•), 2X', en sorte que

Les points Q et Q' sont les points circulaires du plan mené par la droite QQ' et par le point 0. Ce plan a une équation de la forme

«X -+- vy + wz =0.

En exprimant que Q, Q' sont deux points de ce plan, nous voyons que X, X' doivent être racines de Téquation

wt (4 4- X') -H « (1 — X*) H- 2m;X = 0,

ce qui donne, en calculant XX' et X 4- X',

' iu -^ V — 2io tt* — V

Le plan mené par 0 et dont Q, Q' sont les points circulaires, a donc l'équation suivante :

i (1 + XX').x 4- (1 — XX') y -+- (X + X') z = 0.

La perpendiculaire OP à ce plan a donc pour équations

i(l 4- XX') 1— XX' X + X'

Cette perpendiculaire perce au point- P le plan de l'infini. Le point P est le pôle de la droite QQ' par rapport au cercle de l'infini, en sorte que PQ, PQ' sont les deux tangentes issues de P à ce cercle el les plans OPQ, OPQ' sont les deux plans i.<otropes menés par OP, c'est-à-dire les plans menés par OP tangentiellement au cercle de l'infini.

Les formules (53) reviennent ù représenter toute droite OP issue de 0 à l'aide des paramètres X, X' des points Q, Q' où le cercle de l'infiui est touché par les plans isotropes menés par 0P(*).

(') Ces courdoonée» ont été introduites dans l'étude des propriétés des figures planes autour d'une conique par M. Darboux, sur une Classe remarquable de courbes et de surfaees. Je m'en suis servi dans mon Mémoire sur les ligtm géodisiquei (Sav. étrangers).

Désignons par 5 la valeur commune des rapports (53); quand

c varie, x, y, z représentent les coordonnées d'un point quelconque

de la droite OP,

Application Cherchons en particulier les poinis M, M' où cette droite perce

*"u ■*'1'!!!1* ''^ sphère de rayon 1 et de centre 0. 1! faut exprimer que x* + y*

+ c' = 1, ou que

sphériques

coordonnées

symétriques.

[- (1 + \vf + (1 - \\y H- (a + >/)«] = 1,

c'est-à-dire

ou 7

Comme rien ne distingue X de X', nous pouvons

Seulement il faut observer que si Ton échange

prendre j = -7

X et X', X, y, z changent de signes et que l'on passe dès lors du point M à son symétrique M'. Nous aurons ainsi ;

1 + XX' (54) (Coordonnées de M) x = i ^7- ' y