X XI
On en tire, en posant — = X^, — = Yj !es formules
Zj z^
Xj -+- iY„ = X (X -t- iY) -^ jx, Xj-iYj, = X'(X~iY)-Mx', Posons
XX' = r% X = re^, X' = re-*^ ^A-^-lx' = 2a, ji — ji' = 2»^
il viendra
/qo^ (X.-*-tY, = re«ô (X -t- iY) -t- a + .5,
y^) \ Xj — tYj = re-'^ (X — iY) -i- a - ifc,
d'où résulte
^ X^ = r (cose.X — sine.Y) -♦- a, ^^^ ( Yj=rr(sine.X 4-cose.\')4- &.
Si l'on se borne aux transformations réelles, c'est-à-dire qui font
correspondre un point réel à tout point réel, r, 6, o, b sont réels et
X', (i.' sont imaginaires conjuguées de X, jjl.
iviplacempnt L'interprétation de ces formules est évidente. Elles représentent
compliqué ^q déplacement, accompagné (suivi ou précédé, comme on voudra)
h mothétie d'une homothétie dont le pôle est le point 0, et dont r est le module
de transformation.
Ilomographics Supposons maintenant que la transformation échaiige l'un dans qui échangent l'autre les points circulaires.
es pom Conservons les mêmes notations. On aura toujours oz.z=z t, car la
droite de l'infini est sa propre homologue.
Seulement, les équations z = 0, u = 0 entraînent 2, = 0, Vj = 0 et les équations z = 0, v = 0 entraînent z^ = 0, u, = 0. Ou a donc ici
pUj = Xv -+- \i.z,
pVj = X'u-f- ix'z,
pz, = z.
Si l'on revient maintenant aux coordonnées ordinaires, il viendra
X, + tYj = X (X — iY) + IX, Xj — iY, =X'(X-hiY)4-ix'.
Si dans ces formules on remplace Y par — Y, ce qui revient à prendre la figure symétrique de la proposée par rapport à l'axe 0^x^ dans sa position primitive, on retombe sur la transformation précédente. Renversement. Appelons renversement l'opération qui consiste à faire toumer de 180o une figure autour d'une droite ou, ce qui revient au même, qui consiste à prendre la figure symétrique d'une figure par rapport à une droite. On voit que l'on peut énoncer cette proposition :
Toute homographie qui échange les points circulaires à l'infini dans le plan consiste en un renversement accompagné d'une homothétie et d'un déplacement.
Prodait
de deux 107. En appliquant à une figure F une transformation homographi-
lomo^rap ues. qugjj^^Qyg obtenons une transformée que nous représenterons par HF.
CHAP. XII. — CAS PARTICULIER D'HOMOrRAPHIE.
Ajipli juons une st^conde homographie H' à la figure HF, nous obtiendrons une nouvelle figure H' H F, qui se déduit directement de F par une homographie H' = HH' qui est dite égale au produit des deux premières. Ce produit symbolique n'est pas commutatif en ce sens que HH' et H' H représentent en général des homographies différentes.
Considérons un ensemble de transformations homographiques définies par une propriété commune. On dit que ces transformations forment un groupe si le produit de deux quelconques d'entre elles est encore une transformation de l'ensemble.
D'après cela, les déplacements d'une figure dans un plan constituent un groupe de transformations homographiques.
Plus généralement, les transformations qui conservent chacun des deux points circulaires à l'infini forment un groupe, et ce groupe comprend celui qui est formé des déplacements.
Nous allons voir que le groupe des transformations homogralihiques qui conservent chacun des points circulaires à Vinfini est identique au groupe des transformations linéaires de la forme
Zj = mZ H- n,
où Z et Z^ sont deux variables imaginaires et m, n deux constantes imaginaires.
Revenons, en effet, aux formules générales (31) qui sont équivaavec celui des {entes aux formules (30) et représentent un déplacement plan quelsa i u ions ^j^^^g accompagné d'une homothétie. Ces formules (30), où nous supposons r, 6, a, h réels afin que la transformation soit réelle, peuvent être comprises dans une formule unique, à savoir la première, car la seconde s'en déduira par le changement de i en — i.
Groupe de transformations qui conservent chacun des
points circuiaii-es.
Son identité
linéaires entières.
tmoiB
Nous poserons donc m = re'
ih, Z
Z, = X, -H tYj et les équations (30) se trouveront condensées dans l'équation unique
Z, = mZ + n.
Si le module r de m est égal à 4 , l'homothétie disparaît et le déplacement seul reste.
Si m lui-même est égal à 1, le déplacement se réduit à une translation.
Si m est réel, la transformation se réduit à une homothétie accompagnée d'une translation, etc.
Expre sion
de la vitesse
d'eiUraiiie-
meiit.
L'introduction des variables imaginaires Z et Z, et leur représentation d'après la manière de Cauchy ramène ainsi à la théorie des transformations linéaires entières à une variable celle des transformations homographiques qui conservent chacun des points circulaires à rinfini.
L'emploi de la représentation de Cauchy offre, au langage prés, la même méthode que le calcul des équipollences de Bellavitis. Sous la forme analytique que nous adopterons ici, elle a été développée par plusieurs géomètres.
Supposons que m, n soient des fonctions d'un paramètre t, qui sera la mesure du temp§.
Si l'on prend le point de la figure qui est caractérisé par rapport aux axes mobiles xOy par son affîxe Z, l'affixe Z, de ce point par rapport aux axes mobiles variera avec le temps et par une extension de mots, malgré qu'il ne s'agisse pas d'un simple déplacement, mais d'un déplacement accompagné peut-être d'une homothétie; nous appellerons vitesse d'entraînement la vitesse du point Z, sur la courbe qu'il décrit. Si, par l'origine Oj des axes fixes on mène une parallèle OjVj à cette vitesse, l'affixe du point V^, extrémité de ce segment, sera, par rapport aux axes fixes,
L'équation (33)
dZ^ dm dn
dt dt
Centre instantané.
fournira un point dont la vitesse d'entraînement est nulle et que nous appellerons encore le centre instantané. L'affixe absolue du point en question, c'est-à-dire son affixe par rapport aux axes fixes, sera donnée par l'équation Z, = mZ -t- n où Z sera remplacé par sa valeur tirée de (33), nous avons ainsi
dn dm
dm It
Accélération. Pareillement, la vitesse absolue de Vj sera représentée par un
CIIAP. XII. CAS PARTICULIER D'hOMOGRAPIIIE. 329
<PZ
Centra segment 0,Vj dont l'extrémité V, a pour affixe absolue -— • Cette d'accélération. " *
vilesse absolue de V, est, du reste, raccélération d'entraînement.
On a donc le centre d'accélération en écrivant
(.36) Z. = rnZ -j- n = ^r
Traitons un problème où cette méthode donnera plus directement la solution que toute autre.
108. Exemple. — Cherchons les mouvements plans dans lesquels le centre instantané et le centre des accélérations décrivent deux courbes semblables, cù occupant au même instant des positions homologues sur les deux courbes.
On passe d'une figure à une figure semblable par une homothétie accompagnée d'un déplacement. Si donc ZJ, ZJ sont les affîxes, par rapport aux axes fixes O^x,, 0^y^ du centre instantané et du centre des accélérations, on devra avoir
(37) Z\ = aZ; 4- 6,
où a, b sont deux constantes imaginaires. Or, Z[ et ZJ sont donnés par les formules (34) et (36).
On peut donc écrire immédiatement l'équation différentielle qui exprime le problème
d'n d'm dn dtn
^ dt* dt* dt dt .
' d^m dm
'dF "dt
Si a = 1, il saute aux yeux que Ton passe de la courbe G lieu du centre instantané à la courbe G' lieu du centre des accélérations par une simple translation.
Si a n'est pas égal à 1, effectuons un transport d'axes équivalent à
330 LEÇONS i3E CINÉMATIQUE.
l'addition aux afiixes Z, d'une constante imaginaire k, on aura
Z; + fc = a (Z; -4- fe) -f b,
et si l'on choit k de sorte que (1 — a)k=z b; ce qui est possible si i — a n'est pas nul,
z; = az;.
Nous pourrons donc supposer b = 0 si a n'est pas égal à 1 et l'équation (37) devient
dn dm dm
*** 57 "~ " "dF "dt
en intégrant il vient
dn dm . /dmY
dt dt \dt/
où A est une constante. Or, cela s'écrit
^\m) . J (dmy dt " m*\dt)' d'où
. r/dmy dt
en sorte que la formule symbolique Z, = *nZ + n devient
(39) Z. = „(Z + B) + Amj (-)..
En transportant les axes mobiles parallèlement à eux-mêmes, on pourra foire disparaître B; il restera donc
On traiterait de même le cas où a = 1.
Dans le cas particulier où m est de la forme C®, et où 0 = wt, déplacement avec rotation uniforme, la quadrature s'achève et le problème peut être conduit jusqu'au bout.
