LEÇONS DE CINÉMA.TIQUE

parallèles; elles sont donc équivalentes à une translation normale à ces plans et, par suite, parallèle à la plus courte distaftce des axes AJ, A,. Or, une translation et une inversion plane dont le plan est parallèle à la translation sont deux transformations échangeable^., en ce sens que l'ordre dans lequel on les opère est indifférent. On pourra donc échanger cette translation avec la première inversion plane, qui, en se combinant alors avec la dernière, donnera lien à une rotation qui a lieu autour de la plus courte distance des axes A| et A,.

On voit que tout déplacement ftni se ramène aune rotation et à une translation parallèle à Vaxe de la rotation.

De môme qu'une rotation est représentée par un angle, le déplacement précédent peut être représenté comme il suit. Prenons sur l'axe du mouvement hélicoïdal un point A et élevons en A une perpendiculaire 1), à l'axe; soit 6 l'amplitude de la rotation, faisons tourner 1)^

dans le sens direct autour do l'axe d'un angle -> de façon à l'amener dans une position ADJ, puis faisons glisser ADj dans le sens de la translation suivant l'axe d'une quantité égale à - > moitié de la translation. Soit D, la position ainsi obtenue. Le déplacement fini équivaut à deux renversements autour des axes D, et D, successivement.

Comme du reste la position de D, est arbitraire, en ce sens que D, est une normale quelconque à l'axe ù.i mouvement hélicoïdal, on voit que l'on pourra imprimer aux droites D, et D, en bloc un mouvement de verrou autour de l'axe sans qu'elles cessent de représenter le mouvement considéré.

De là résulte un moyen très simple de composer deux mouvements finis quelconques. Car, soient D,, D, et T)[, D[ les droites qui les représentent, et D la plus courte distance des axes de ces deux mouvements, lesquels bont les perpendiculaires commîmes aux axes Dj, D, d'une part, et D[, D^ d'autre part. Grâce au mouvement de verrou dont on dispose, on pourra amener D^ et D^ en coïncidence avec D, et alors le mouvement résultant des deux mouvements donnés s'obtiendra par les renversements autour des droile.s 1),, D, D, Di dans l'ordre même de l'énumération. Les deux renver^Joment.s intermédiaires se détruisent et il reste simplement le.s deux renversements autour de D, et de D^, qui représentent le mouvement résultant.

rhéorémc de 6- A la considération des renvers'Mnent.s se rattache très dirccte- M. Siéphanos. ment un théorème élégant déjà énoncé pur M. Sléiihanos pour le

NOTES DE M. DARDOUX. 351

cas particulier d'une figure plane se déplaçant dans le plan même où elle est tracée (Bulletin de la Société philomafJiique de Paris, 1881 ). Ce théorème consiste en ce que : Trois figures égales, situées d'une manière arbitraire, coïncident avec les symétriques d'une même figure, prises respectivement par rapport à trois droites.

Soient, en effet, F,, F,, F, les trois figures proposées.

Conservons toutes les notations piécédentes. On passera de Fj à F, par deux renversements autour des droites Dj, I) puis de Fj à F, par deux renversements dont les axes seront D, D,. De là il résulte qu'on aura une même figure en prenant les symétriques de F,, F,, Fj respectivement par rapport aux droites D,, D, D^, c. q. f. d.

Dans mes travaux antérieurs et dans mon enseignement jai plus d'une fois introduit les inversions planes et les renversements comme éléments propres à simplifier différentes recherches; mais, en reproduisant ici la méthode que j'ai employée dans la noie V de mes Leçons sur la théonc des surfaces^ je tiens à indiquer que cette méthode était suivie depuis cinq à six ans, comme je l'ai appris récemment, par M. P. Morin, professeur à la Faculté des sciences de Rennes, et aussi à appeler l'attention sur une note de M. W. Burnside ayant pour titre : Oii the finitc displacement of a rigid body, parue en 1893 dans le Messenger of Mathonialics et où se trouve donnée la représentalion d'un déplacement hélicoïdal par deux renversements, ainsi que l'application à la composition do deux mouvements hélicoïdaux effectués successivement.

NOTE m

Sur les mouvements algébriques.

Définition des mouvements algébriques.

Kelalions

de dualité

entre

an mouvement

et son inverse.

1 . La position d'un corps dans l'espace se trouve définie par Ips coordonnées a, b, c de l'origine et les 9 cosinus directeurs (X, ^f Y> '^n "• ^'^^ trièdre trirectangle mobile lié invariablement au corps. En prenant pour ces 9 cosinus, ainsi que pour a, b, c des fonctions algébriques de 1,2, ... paramètres, on arrive à définir des mouvements algébriques possédant 1, 2, ... degrés de liberté.

Les mouvemenis algébriques et leurs inverses, qui sont aussi algébriques, présentent des relations de dualité dont l'intérêt a été signalé pour la première fois par Chastes dans une curieuse note, la 34'^, insérée dans l'Aperçu historique et qui a pour titre : « Sur la dualité dans les sciences mathématiques. Exemples pris dans l'art du tourneur et dans les principes de la dynamique ».

Nous indiquerons seulement ici quelques-unes de ces relations, pour fn faire connaître la nature et pour montrer sur un exemple le parti que l'on en peut tirer.

Examinons d'abord le cas des mouvemenis à un paramètre.

Appelons C le corps mobile et E l'espace fixe auquel on rapporte son mouvement. Le mouvement relalif de E par rapport à G est, comme on sait, ce que l'on appelle l'inverse du mouvement de G par rapport à E.

Soit M un point du corps C et t: un plan de l'espace E, pris quelconque dans cet espace, de même que le point M a été pris quelconque dans le corps G. Le point M décrit une trajectoire, qui est algébrique si le mouvement est algébrique, et dont le degré est égal au nombre de fois que le point M vient traverser le plan r; soit m ce nombre.

Considérons maintenant le mouvement inverse. Dans ce mouvement le plan r de l'espace E enveloppe dans le corps G une certaine surface développable, dont la classe est égale au nombre de fois que le plan tc vient se faire traverser par un point M quelconque du corps C; ce nombre est précisément égal à w. On a donc ce premier théorème :

Le degré de la courbe trajectoire d'un 'point d'un corps solide en mouvement est égal à la classe de la développable enveloppée par un plan dans le mouvement inverse.

Considérons une droite A du corps C; le degré de la surface réglée engendrée par cette droite est égal au nombre de fois m que la droite A vient couper une droite A' de l'espace E.

Dans le mouvemant inverse, A' décrit une surface réglée dont le degré est égal au nombre de fois que A se trouve coupée par une droite A liée au corps C : ce nombre est encore égal à m. De là cet autre théorème :

Le degré de la surface réglée engendrée par une droite d'un corps en mouvement est égal au degré de la surface réglée eiigendrée par une droite dans le mouve^nent inverse.

Prenons maintenant le cas des mouvements à deux paramètres.

Soit un point M du corps C; le degré de la surface algébrique qu'il décrit est le nombre de fois que le point M vient se placer sur une droite A de l'espace E. Considérons cette droite A dans le mouvement inverse ; elle engendre une congruence dont l'ordre est égal au nombre de fois que A va passer par un point M du corps G. Donc :

Dans ttn mouvement algébrique à deux paramètres, l'ordre de la surface trajectoire d'un point est égal à l'ordre de la con~ gruence eitgendréc par une droite daixs le mouvement inverse.

On verrait de môme que la classe do la surface enveloppée par un plan est égale à la classe de la congruence engendrée par une droite dans le mouvement inverse.

Mouvement dont toutes les trajectoires sont planes.

2. Il serait aisé de poursuivre dans ce sens et de multiplier les exemples. Nous préférons indiquer tout de suite comment les propo- Cinématique. 33

du mouvement

si fions précédentes permettei^t de traiter certains problèmes particuliers, entre autres celui-ci :

Trouver les mouvements à un paramètre dans lesquels tous les points du corps décrivent dei courbes planes (*).

Distinction Pour résoudre cette question, nous établirons d'abord une distinc-

préalable. jjqjj relative aux plans des trajectoires. Il peut arriver, ou bien que

tout plan de l'espace contienne la trajectoire d'un certain point du

corps mobile, ou bien, au contraire, que les plans des trajectoires

soient exceptionnels dans l'espace.

Examinons d'abord la première hypothèse.

Emploi Dans le mouvement inverse, tous les plans v liés à l'espace E iront

passer chacun par un point M du corps G et envelopperont chacun un cône autour du point M correspondant. La classe de ce cône sera égale au degré de la trajectoire plane du point M dans le mouvement direct. Or, il est aisé de montrer que le cône est de révolution.

Prenons, en effet, deux plans parallèles II, II'; soient M, M' les points fixes par lesquels ils passent respectivement.

Les plans n et II' conservent entre eux la même distance constante a, et comme le plan n' passe par le point fixe M', le plan II demeure tangent à la sphère 2! qui a pour centre le point M' et le rayon a.

Puisque, d'autre part, le plan II passe au point fixe M, il est clair qu'il enveloppe le cône de révolution circonscrit à la sphère S; MM' est l'axe de révolution de ce cône.

Comme II' est l'un quelconque des plans parallèles au plan II, on voit que la droite MM', que nous désignerons aussi par A, est le lieu des points fixes par où vont passer tous les plans parallèles au plan II, et que A est l'axe commun de tous les cônes de révolution enveloppés par chacun de ces plans.

A toute direction de plan II correspond une droite A. Je dis que toutes ces droites A sont parallèles.

Menons, en effet, par un point fixe 0 un plan !!<, parallèle au plan n.

Ce plan enveloppera un cône de révolution dont l'axe Ag sera la parallèle à A issue du point 0. La droite X issue de 0 perpendiculairement au plan II, engendrera aussi un cône de révolution autour dé l'axe Ag.

(1) Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 1881.

Envisageons alors Tensemble des plans II de l'espace E et l'ensemble correspondant des normales X issues de O à ces plans.

Ces normales forment autour de 0 une figure de forme invarial)le, car les angles des normales sont invariables comme les angles des plans dans re<!pace E.

Comme chacune de ces normales engendre un cône de révolution, en coupant par une sphère leur ensemble, nous aurons une figure sphérique de forme invariable dont tous les points décriront des cercles. Un tel mouvement ne peut consister qu'en une rotation autour d'un diamètre fixe de la sphère.

Il suit de là que les cônes décrits par les normales X et, par suite, les cônes supplémentaires enveloppés par les plans ÏI^ ont le même axe A, de révolution. En conséquence, toutes les droites A sont bien parallèles entre elles.

On peut ajouter que, puisque Ag est fixe dans l'espace aussi bien que par rapport au système des plans II^, les droites A ont une direction invariable dans le corps G et aussi dans l'espace E. Retour Revenons maintenant au mouvement direct du corps G par rapport

au mouvement à l'espace E. Les trajectoires planes seront des courbes du second degré puisque, dans le mouvement inverse, los cônes-enveloppes sont de révolution, et partant de la seconde classe. En outre, il y a une direction de droites A qui reste invariable dans le corps comme dans l'espace, et deux points du corps situés sur une même droite A ont leurs trajectoires dans des plans parallèles.

Il est, dès lors, naturel de prendre un système d'axes de coordonnées fixes dans lequel l'axe O^Zj sera parallèle à la direction invariable des droites A, tandis que l'axe OZ du trièdre mobile sera lui aussi parallèle à ces mômes droites.

Les formules qui représentent le mouvement s'écrivent alors

direct.

Xf = a -{- X cos 6 — J/ sin 0, t/j = 6 4- X sin 0 -1- j/ cos 0, Zj = c -f- 2.

Nous choisirons 0 comme variable indépendante et il s'agit de trouver pour a, 6, c des expressions convenables en ô, de sorte que la trajectoire d'un point quelconque soit plane.

Si nous prenons trois points quelconques (x', y',*') {tc\ ?/', z") (x'", y'", z'") dans le corps, ils décrivent dans l'espace trois courbes planes situées dans des plans II*, II", II'" qui peuvent être pris quelconques, d'après l'hypothèse qui nous a servi de point de départ. Nous pouvons, en conséquence, toujours supposer que ces plans

forment un trièdre et ne sont pas parallèles à une même droite, en sorte que, si l'on écrit leurs équations

l'x\ -f- m'j/j -f- n'^i -\- p' =0, ^x^ + 'm'y^ + n''z^ -^ p" =0f rx, + m"'tj^ + n"'z, + p'" ■-= 0,

le déterminant

ne sera pas nul.

Exprimons alors que les points (a:', y\ z') (x", y\ s") (x'", y'", z'") ont leurs trajectoires dans ces trois pians. On obtiendra les trois équations

V [a -t- ac' cos 0 — y' sin 6] -\- m' [h -h x' sin 6 + y' cos 0]

r [a -f- 3c' cos 9 — y' sin 0] 4- m' [& + x" sin 0 4- »/' cos 0]

+ îl'Lc + ^1 4- p' = 0,

r [a + x'" cos e — 2/'" sin 6] + m'" [b + x"" sin 0 + y'" cos 6]

que l'on pourra résoudre en a, b, c puisque le déterminant de ces équations est justement le déterminant précédent, qui n'est pas nul.

On reconnaît par là que a, 6, c sont des fonctions linéaires de sin 0, cos 6, en sorte qu'on a

X, = L sin 0 4- L' cos 6 4- L' + x cos 0 — y sin 6, 1/j = M sin 8 4- M' cos 0 4- M" 4- x sin 8 -f y cos 8, 2, = N sin 6 4- N' cos 8 4- N" 4- z.

En effectuant une translation du trièdre fixe et une translation du

trièdre mobile, on pourra amener L', L", M', M' à être nuls et N* à

être égal à — N'. Si, de plus, on fait tourner d'un même angle a,

convenablement choisi, les axes mobiles xOj/ et les axes fixes cc^0^y^y

Équation on pourra annuler M. Il restera alors

du mouvement

cherché, ( X, = L sin 8 4- X cos 8 — y sin 8,

(4) ! î/i = X sin 8 4- î/ cos 8,

( 2, = N sin 8 4- N' cos 8 — N' -h z.

Pour 8 = 0 on a x, = x, i/j = y, r^ = 2, c'est-à-dire que, pour 6 = 0, les deux trièdres, l'un fixe T, et l'autre mobile T, coïncident.

Équation du plan de la

trajectoire d'un point.

Discussion.

Si l'on cherche l'équation

du plan n qui contient la trajectoire du point M (.t, y, r), on est conduit à écrire que i, m, n, p sont des fonctions de œ, y, z rendant identique l'équation

2 [L sin ô + a; cos 0 — y sin 6] 4- m [x sin 0 -+- n [N sin 0 H- N' cos 0- Ce qui donne

y cos 0]

Des deux premières équations on tire

N' x — Ny ^x-\-W{y — l) — y (y - L) — x*

P tandis que - est fourni par la dernière des équations (2).

On voit donc que tous les points de la figure décrivent des courbes planes, et de plus, il résulte de la forme même des équations (1) que ces courbes sont des ellipses; car, en éliminant sin 8, cos 6 entre les deux premières équations (1) et l'équation sin' d + cos* 0 = 1, on obtiendra l'équation d'une ellipse, projection de la courbe dans l'espace.

On observera sur les équations (1) que deux points situés sur une même parallèle à Oz décrivent la même ellipse qui serait transportée parallèlement à Oz.

Si les dénominateurs des équations (3) sont nuls, les équations (2) sont indéterminées, et une infinité de plans passent par la trajectoire du point (x, y, r), laquelle, dès lors, se trouve être une droite ou plutôt un segment de droite. Les équations

N'x — Ny=0, Njc + N'(î/ — L)=0, —^/(y — L)-.t»=0

en X, y sont compatibles et admettent un système de solutions X = a, y = hy en sorte que tous les points de la droite D parallèle à Oc, qui est l'intersection des plans x = a, y = b, décrivent des segments de droite.

Si l'on veut introduire dans les formules (1) les coordonnées a, b de cette droite, on trouvera qu'on peut poser, k désignant un coefficient

constant,

ft* -+- h* N =fea, N' =kb, L==

et il vient alors